Triplets spectraux en géométrie d’Arakelov

Caterina Consani^{∗} Département de Mathématiques Université de Toronto, Canada

Matilde Marcolli ^{†} Max–Planck Institut für Mathematik Bonn, Allemagne

Résumé Dans cette note nous employons la théorie des triplets spectraux de Connes pour rapprocher le model de Manin du graphe dual de la fibre à l’infini d’une surface d’Arakelov et la cohomologie du cône de la monodromie locale.

Spectral triples in Arakelov geometry

Abstract In this note, we use Connes’ theory of spectral triples to provide a connection between Manin’s model of the dual graph of the fiber at infinity of an Arakelov surface and the cohomology of the mapping cone of the local monodromy.

Abridged English version

In Arakelov theory a completion of an arithmetic surface is achieved by enlarging the group of divisors by formal linear combinations of the “closed fibers at infinity”. Manin in [8] described the dual graph of any such closed fiber in terms of an infinite tangle of bounded geodesics in a hyperbolic handlebody 𝔛_{Γ} = Γ\ℍ^{3}, uniformized by a Schottky group Γ ⊂ PSL(2, ℂ). In this note we consider arithmetic surfaces over the ring of integers in a number field, with fibers of genus g ≥ 2. We use Connes’ theory of spectral triples to relate the hyperbolic geometry of the handlebody to the cohomology of the cone of the local monodromy N at arithmetic infinity as introduced in [4]. First, we construct a spectral triple, where the non–commutative space is given by the reduced C^{∗}–algebra of the Schottky group acting on the cohomology of the cone via a representation induced by the presence of a polarized Lefschetz module structure. In this setting we recover the alternating product of the archimedean factors from a zeta function of the spectral triple. Then, we introduce a second spectral triple, which is related to Manin’s description of the dual graph of the fiber at infinity. Here the non–commutative space is a C^{∗}–algebra representing the “reduction mod infinity” and acting on a “dynamical homology and cohomology” pair, defined in terms of the bounded geodesics in the handlebody and of a dynamical system T. The operator Φ, that represents the “logarithm of a Frobenius–type operator” on the archimedean cohomology of [7], gives the Dirac operator on these spectral triples. We show that the archimedean cohomology embeds in the dynamical cohomology, compatibly with the action of a real Frobenius F̄_{∞}, so that the duality isomorphism on the cohomology of the cone of N corresponds to the pairing of dynamical homology and cohomology.

A detailed version of the results presented in this note is contained in [5].

∗Partiellement supportée par la bourse du NSERC numéro 72016789

†Partiellement supportée par la bourse Sofja Kovalevskaja de l’Humboldt Foundation

1 Introduction

En théorie d’Arakelov une complétion d’une surface arithmétique est réalisée par l’élargissement du groupe des diviseurs avec une combinaison linéaire formelle des “fibres fermées à l’infini”. Dans [8], Manin a décrit le graphe dual d’une telle fibre fermée en employant un enlacement infini de géodésiques limitées dans une variété hyperbolique 𝔛_{Γ} = Γ\ℍ^{3}, uniformisée par un groupe de Schottky Γ ⊂ PSL(2, ℂ). Dans cette note nous considérons des surfaces arithmétiques définies sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres, avec des fibres de genre g ≥ 2. Nous employons la théorie des triplets spectraux de Connes pour rapprocher la géométrie hyperbolique de la variété avec la cohomologie du cône de la monodromie locale N à l’infini aritmétique qui a été introduite dans [4]. D’abord, nous construisons un triplet spectral, où l’espace non–commutatif est donné par la C^{∗}–algèbre réduite du groupe de Schottky qui agit sur la cohomologie du cône à travers la représentation définie par la présence d’une structure de Lefschetz module polarisée. Dans ce cadre nous retrouvons le produit alterné des facteurs archimédiens d’une fonction zeta du triplet spectral. Puis, nous introduisons un deuxième triplet spectral, qui est lié à la description de Manin du graphe dual de la fibre à l’infini. Ici l’espace non–commutatif est une C^{∗}–algèbre qui représente la “réduction modulo infini” et qui agit sur un accouplement d’ “homologie et cohomologie dynamique”, définie avec les géodésiques limitées dans la variété hyperbolique et à travers l’usage d’un système dynamique T. L’operateur Φ, qui représente le “logarithme de Frobenius” sur la cohomologie archimédienne de [7], donne l’opérateur de Dirac sur ces triplet spectraux. Nous prouvons que la cohomologie archimédienne est plongée dans la cohomologie dynamique, de manière compatible avec l’action de Frobenius réelle F̄_{∞}, de sorte que l’isomorphisme de dualité sur la cohomologie du cône de N correspond à l’accouplement d’homologie et cohomologie dynamique.

Une version détaillée des résultats présentés dans cette note est contenue dans [5].

2 Résultats

Soit X_{/κ} une courbe projective et lisse définie sur κ = ℂ or ℝ. Pour a, b ∈ ℕ, nous notons (A^{a,b}⊕A^{b,a})_{ℝ} le groupe abélien des formes différentielles réelles (analytiques ou C^{∞}) sur X_{/κ} de type (a, b) + (b, a).

Pour p ∈ ℤ, l’expression (A^{a,b} ⊕ A^{b,a})_{ℝ}(p) signifie le p-ème Hodge-Tate twist de (A^{a,b} ⊕ A^{b,a})_{ℝ}. Soient i, j, k ∈ ℤ; nous considérons le complexe suivant

K^{i,j,k} = \begin{cases}⨁_{\begin{matrix}a+b=j+1 \\ |a−b|≤2k−i \end{matrix}}(A^{a,b} ⊕ A^{b,a})_{ℝ}(\frac{1 + j − i}{2}) & si 1 + j − i ≡ 0(2), k ≥ max(0, i) \\ 0 & sinon. \end{cases}  (2.1)

Sur K^{i,j,k} on définit les différentielles d′ : K^{i,j,k} → K^{i+1,j+1,k+1} et d′′ : K^{i,j,k} → K^{i+1,j+1,k}, avec d′ = ∂ + \overline{∂} et d′′ = \sqrt{−1}(\overline{∂} − ∂). Ceux-ci satisfont d′^{2} = 0 = d′′^{2} (voir [4] Lemma 4.2). Nous considérons aussi les morphismes

N : K^{i,j,k} → K^{i+2,j,k+1}, N(f) = (2π\sqrt{−1})^{−1}f et l : K^{i,j,k} → K^{i,j+2,k}, l(f) = (2π\sqrt{−1})f ∧ ω,

où N peut être regardé comme le logarithme de la monodromie locale à l’infini, et l est l’homomorphisme de Lefschetz, avec ω la (1, 1)-forme réelle fondamentale (fermée) sur X_{/κ}. Ces endomorphismes commutent avec d′ et d′′ et satisfont [l, N] = 0 (voir [4]). On définit K^{i,j} = ⊕_{k}K^{i,j,k} et on écrit K^{∗} = ⊕_{i+j=∗}K^{i,j} pour indiquer le complexe simple doté de la différentielle total d = d′ + d′′ et avec l’action des opérateurs N et l.

Le complexe différentiel K^{·,·} avec les opérateurs N et l est un module de Lefschetz bigradué et polarisé, avec la polarisation ψ : K^{−i,−j,k} ⊗ K^{i,j,k+i} → ℝ(1) définie par

ψ(x, y) := (\frac{1}{2π\sqrt{−1}}) ϵ(1 − j)(−1)^{k} ∫_{X_{/κ}(ℂ)} x ∧ Cy.

Ici, pour m ∈ ℤ: ϵ(m) := (−1)^{\frac{m(m+1)}{2}} et C(x) := (\sqrt{−1})^{a−b}x est l’opérateur de Weil pour x une forme différentielle de type (a, b) (voir [13] §V.1). La forme bilinéaire

⟨·, ·⟩ : K ⊗ K → ℝ(1), ⟨x, y⟩ := ψ (x, σ(w̃)y)  (2.2)

est symétrique et définie positive (voir [4] Lemmas 4.2, 4.5, 4.6 et Proposition 4.7). La structure de module de Lefschetz bigraduée correspond à la représentation

σ : SL(2, ℝ) × SL(2, ℝ) → Aut(K^{·,·})  (2.3)

σ \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}b & 0 \\ 0 & b^{−1} \end{matrix} )\} (x) = a^{i}b^{j}x où x ∈ K^{i,j}

dσ \{( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , 0\} = N dσ \{0, ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} )\} = l.

Nous considérons le cône de l’application N

Cone(N)^{·,·} = Cone(N : K^{·,·} → K^{·+2,·}) := K^{·,·}[1] ⊕ K^{·+2,·}, D(a, b) = (−d(a), N(a) + d(b))

et l’hyper-cohomologie H^{q}(X^{∗}) := ℍ^{q}(Cone(N)^{·}). Ces groupes ont une structure gradué H^{q}(X^{∗}) = ⊕_{p∈ℤ}gr_{2p}^{w}H^{q}(X^{∗}) de la forme

\begin{matrix}H^{0}(X^{∗}) = ⊕_{p≤0}H^{0}(X_{/ℂ}, ℝ(p)) H^{1}(X^{∗}) = ⊕_{p≤0}H^{1}(X_{/ℂ}, ℝ(p)) ⊕ ⊕_{p≥1}H^{0}(X_{/ℂ}, ℝ(p − 1)) \\ H^{2}(X^{∗}) = ⊕_{p≤1}H^{2}(X_{/ℂ}, ℝ(p)) ⊕ ⊕_{p≥2}H^{1}(X_{/ℂ}, ℝ(p − 1)) H^{3}(X^{∗}) = ⊕_{p≥2}H^{2}(X_{/ℂ}, ℝ(p − 1)). \end{matrix}

Quand κ = ℝ on obtient des résultats similaires en prenant les invariants de la conjugaison de de Rham F̄_{∞} (voir [5] §2.)

Soit Γ ⊂ PSL(2, ℂ) un groupe de Schottky de rang g ≥ 2. Soit Γ̃ le Γ-stabilisateur de chacune de deux composantes connexes en ℙ^{1}(ℂ)\C, où C est un quasi-cercle pour Γ (voir [1]). Nous considérons les deux groupes Fuchsiens de Schottky G_{i} := {α_{i}γα_{i}^{−1} : γ ∈ Γ̃}, avec α_{i} les équivalences conformelles entre les deux composantes de ℙ^{1}(ℂ)\C et les deux hémisphères en ℙ^{1}(ℂ)\ℙ^{1}(ℝ). Après un relèvement de Γ̃ de PSL(2, ℂ) à SL(2, ℂ), nous considérons la C^{∗}–algèbre réelle, réduite C^{∗}(Γ̃).

Théorème 2.1 Soit X une surface arithmétique avec fibres de dimension un et de genre g ≥ 2. Soit Γ un groupe de Schottky qui fixe l’uniformisation de la surface de Riemann correspondante X_{/ℂ} à une place archimédienne. Le produit (2.2) induit un produit intérieur sur H^{·}(X^{∗}). La représentation σ_{2}(γ) := σ{1, α_{2}γα_{2}^{−1}}, obtenue par une restriction de (2.3) sur le SL(2, ℝ)-relèvement du groupe Fuchsien G_{2}, induit une représentation de C^{∗}(Γ̃) sur la complétion de Hilbert de H^{q}(X^{∗}) avec le produit intérieur ci-dessus. Ces données, avec l’opérateur

Φ|_{gr_{2p}^{w}H^{q}(X^{∗})} := \{ \begin{matrix}p & q ≥ 2p \\ p − 1 & q ≤ 2p − 1, \end{matrix}

déterminent un triplet spectral 1–sommable (C^{∗}(Γ̃), H^{·}(X^{∗}), Φ) à la Connes (voir [3]).

Sur les sous-espaces

\begin{matrix}H^{−}(X^{∗}) := ⊕_{p≤0}gr_{2p}^{w}H^{0}(X^{∗}) ⊕ ⊕_{p≤0}gr_{2p}^{w}H^{1}(X^{∗}) ⊕ ⊕_{p≤1}gr_{2p}^{w}H^{2}(X^{∗}), \\ H^{+}(X^{∗}) := ⊕_{p≥1}gr_{2p}^{w}H^{1}(X^{∗}) ⊕ ⊕_{p≥2}gr_{2p}^{w}H^{2}(X^{∗}) ⊕ ⊕_{p≥2}gr_{2p}^{w}H^{3}(X^{∗}), \end{matrix}

on définit des isomorphismes de dualité δ = ⊕_{q=0}^{2}δ_{q} qui sont produits par les puissances de la monodromie (voir [4], Proposition 4.8). L’opérateur

ω = ( \begin{matrix}0 & δ^{−1} \\ δ & 0 \end{matrix} )

satisfait ω^{2} = id, ω^{∗} = ω, [ω, a] = 0, pour chaque a ∈ C^{∗}(Γ̃), et (Φω + ωΦ)|_{H^{q}(X^{∗})} = q · id. Par conséquent, nous considérons dans la famille de fonctions zeta associées au triplet spectral

ζ_{a,P_{−}Φ}(s, z) := ∑_{λ∈Spec(P_{−}Φ)} Tr(aΠ(λ, P_{−}Φ))(s − λ)^{−z},  (2.4)

avec a = σ_{2}(−id).

Théorème 2.2 La fonction zeta (2.4) satisfait

exp (−\frac{d}{dz} ζ_{a,P_{−}Φ/(2π)}(s/(2π), z)|_{z=0})^{−1} = \frac{L_{ℂ}(H^{1}(X_{/ℂ}, ℂ), s)}{L_{ℂ}(H^{0}(X_{/ℂ}, ℂ), s) · L_{ℂ}(H^{2}(X_{/ℂ}, ℂ), s)},

où L_{ℂ}(H^{q}(X_{/ℂ}, ℂ), s) sont les facteurs L archimédiens définis en [12].

Pour un choix d’un ensemble de générateurs {g_{i}}_{i=1}^{g} du groupe de Schottky Γ, nous considérons l’ensemble S des suites réduites et doublement infinies dans les {g_{i}}_{i=1}^{2g} (g_{i+g} = g_{i}^{−1}):

S = {… a_{−m} … a_{−1}a_{0}a_{1} … a_{ℓ} … |a_{i} ∈ {g_{i}}_{i=1}^{2g}, a_{i+1} ≠ a_{i}, ∀i ∈ ℤ}.

L’opérateur de décalage T agit sur S comme

T (… a_{−m} … a_{−1}a_{0}a_{1} … a_{ℓ} …) = … a_{−m+1} … a_{0}a_{1}a_{2} … a_{ℓ+1} …

Le couple (S, T) est un espace de Smale (voir [10]), et le tore de l’application T est défini comme S_{T} := S × [0, 1]/(x, 0) ∼ (T x, 1).

Il y a une identification H^{1}(S_{T} , ℤ) ≅ K_{0}(C(S) ⋊_{T} ℤ) sur la cohomologie de S_{T} avec le K_{0}- groupe de la C^{∗}-algèbre produit croisé pour l’action de T sur S (voir [2]). Ceci munit H^{1}(S_{T} , ℤ) d’une filtration de groupes commutatifs libres F_{0} ↪ F_{1} ↪ ⋯ F_{n} ↪ ⋯, avec rang F_{0} = 2g et rang F_{n} = 2g(2g − 1)^{n−1}(2g − 2) + 1, pour n ≥ 1, de façon que H^{1}(S_{T} , ℤ) = lim_{n} F_{n} (voir [9]). Le groupe d’homologie H_{1}(S_{T} , ℤ) a une filtration de groupes commutatifs libres K_{N}, de sorte que H_{1}(S_{T} , ℤ) = lim_{N} K_{N}, avec rang(K_{N}) = (2g − 1)^{N} + 1 pour N pair et (2g − 1)^{N} + (2g − 1) pour N impair.

Définition 2.3 1. Nous définissons la cohomologie dynamique comme

H_{dyn}^{1} := ⊕_{p≤0}gr_{2p}^{Γ}H_{dyn}^{1}, où gr_{2p}^{Γ}H_{dyn}^{1} := Gr_{−p} ⊗_{ℝ} ℝ(p),

pour Gr_{n} = (F_{n}/F_{n−1}) ⊗_{ℤ} ℝ. Nous définissons le sous-espace gradué V := ⊕_{p≤0}gr_{2p}^{Γ}V de H_{dyn}^{1} avec gr_{2p}^{Γ}V engendré par les éléments (2π\sqrt{−1})^{p}χ_{−p+1,k}, pour χ_{n,k} := [χ_{S^{+}(w_{n,k})}] en Gr_{n−1}.

2. Nous définissons l’ homologie dynamique comme

H_{1}^{dyn} := ⊕_{p≥1}gr_{2p}^{Γ}H_{1}^{dyn}, où gr_{2p}^{Γ}H_{1}^{dyn} := K_{p−1} ⊗ ℝ(p).

Nous définissons aussi W ⊂ H_{1}^{dyn} comme le sous-espace gradué W = ⊕_{p≥1}gr_{2p}^{Γ}W, où gr_{2p}^{Γ}W est engendré par les 2g éléments (2π\sqrt{−1})^{p} \underbrace{g_{k}g_{k} … g_{k}}_{p−fois}.

Il y a une involution (que nous notons encore F̄_{∞}) qui agit sur l’homologie et la cohomologie dynamiques et qui est induit par le changement d’orientation.

Théorème 2.4 Il y a des isomorphismes F̄_{∞}-équivariants U et Ũ, tels que le diagramme suivant soit commutatif (avec p ≤ 0):

\xymatrix{gr_{2p}^{w}H^{1}(X^{∗}) \ar[d]^{U} \ar[r]^{δ_{1}} & gr_{2(−p+2)}^{w}H^{2}(X^{∗}) \ar[d]^{Ũ} \\ gr_{2p}^{Γ}V \ar[r]^{D} & gr_{2(−p+1)}^{Γ}W.}

Ici δ_{1} est l’isomorphisme de dualité de [4] qui est induit par l’opérateur de monodromie N, et D est l’isomorphisme de dualité induit par l’accouplement d’homologie et cohomologie de S_{T}.

L’algèbre de Cuntz–Krieger O_{A} (voir [6]), avec la matrice élémentaire A du sous-déplacement de type fini (S, T), satisfait O_{A} ≅ C(Λ_{Γ})⋊Γ, où Λ_{Γ} ⊂ ℙ^{1}(ℂ) est l’ensemble limite du groupe de Schottky Γ.

Les isométries génératrices S_{i} de O_{A} agissent sur F_{n} comme (S_{i}h)(a_{0} … a_{n}) = h(g_{i}^{−1}a_{0} … a_{n−1}) · χ_{a_{0}≠g_{i}}(a_{0} … a_{n}). Cela définit une action de la C^{∗}-algèbre (réelle) O_{A} sur une complétion de Hilbert appropriée de H_{dyn}^{1}. De plus, les fonctions f ∈ C_{0}(ℍ^{3}) définissent des opérateurs (ρ̃(f)h)(a_{0} … a_{n}) = f((a_{0} … a_{n}) · x_{0}) · h(a_{0} … a_{n}), avec x_{0} ∈ ℍ^{3} un point de base fixé. Ceci donne une représentation de (C(Λ_{Γ}) ⊗ C_{0}(ℍ^{3})) ⋊ Γ sur l’algèbre des opérateurs limités sur H_{dyn}^{1}.

Les fonctions f ∈ C_{b}(ℍ^{3}, C(Λ_{Γ})) définissent des opérateurs ρ̃(f) a_{0} … a_{p} = f_{(a_{0}...a_{p}) x_{0}}(\overline{a_{0} … a_{p}}) · a_{0} … a_{p} sur la complétion de Hilbert de H_{1}^{dyn}. Cela induit une représentation de la C^{∗}-algèbre C_{0}(𝔛_{Γ}, E) des sections du fibré E = (C(Λ_{Γ}) × ℍ^{3})/Γ ⟶ 𝔛_{Γ}, où Γ agit diagonalment sur C(Λ_{Γ}) × ℍ^{3}.

Nous considérons l’opérateur linéaire illimité D : H_{dyn}^{1} ⊕ H_{1}^{dyn} → H_{dyn}^{1} ⊕ H_{1}^{dyn} qui agit comme une multiplication par le poids D : x ↦ p · x, sur gr_{2p}^{Γ}H_{dyn}^{1} avec p ≤ 0 et sur gr_{2p}^{Γ}H_{1}^{dyn} avec p ≥ 1.

Théorème 2.5 Soit H = H_{dyn}^{1} ⊕ M ⊗_{C_{0}(𝔛_{Γ},E)} H_{1}^{dyn}, où M est un bimodule réalisant l’équivalence de Morita entre les C^{∗}-algèbres C_{0}(𝔛_{Γ}, E) et A := (C(Λ_{Γ}) ⊗ C_{0}(ℍ^{3})) ⋊ Γ. Alors, (A, H, D̃) est un triplet spectral avec D̃|_{H_{dyn}^{1}} = D et D̃|_{M⊗H_{1}^{dyn}} = 1 ⊗ D.

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