SUR L’INDÉPENDANCE DU 2–RANG ET DU 3–RANG DES CORPS QUADRATIQUES.

K.BELABAS (Bordeaux) et E.FOUVRY(Orsay)

I. INTRODUCTION.

L’objet principal de cet article est de parvenir au

COROLLAIRE 1. — Il existe une infinité de nombres premiers p ≡ 1 modulo 4, tels que le groupe de classes d’idéaux de l’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{p}) ne posséde aucun élément d’ordre 3. Plus précisément, il existe une constante c_{0} > 0, telle que l’ensemble des p ≤ x vérifiant la propriété précédente soit de cardinal au moins égal à c_{0}x/ log x pour x ≥ 5. La même propriété est vraie pour l’ensemble des p ≡ 3 modulo 4.

Rappelons qu’on conjecture l’existence d’ une infinité de corps quadratiques réels ℚ(\sqrt{p}) (p congru à 1 modulo 4) dont l’anneau des entiers est principal. On pense même que la proportion de tels premiers est d’environ 75,446% ([C–L] page 58). Cette conjecture a la réputation d’être d’une extrême difficulté : en introduisant h(p), nombre de classes d’idéaux du corps ℚ(\sqrt{p}), elle s’exprime comme le fait que l’équation h(p) = 1 a une infinité de solutions, c’est la conjecture de Gauss–Hasse. Pour mémoire, rappelons que l’équation h(−p) = 1 a pour uniques solutions : p = 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163. Notre résultat dit donc que, 3 ne divise pas h(p), pour une proportion positive de p. Bien que le Corollaire 1 paraisse très timide dans la connaissance du nombre h(p), c’est, à notre connaissance, le premier résultat inconditionnel allant dans la direction de cette conjecture.

Pour planter le décor des résultats et des techniques ayant trait à ce sujet, nous adopterons certaines conventions. On réservera la lettre p à un nombre premier et la lettre Δ à un discriminant fondamental, autrement dit Δ est un entier positif ou négatif, sans facteur carré impair et vérifiant les congruences Δ ≡ 1(mod 4) ou Δ ≡ 8 ou 12 (mod 16). Soit X > 0, on désignera alors par Δ^{+}(X) l’ensemble des discriminants fondamentaux compris strictement entre 0 et X et Δ^{−}(X) l’ensemble des discriminants strictement compris entre −X et 0.

Soit Cl(Δ) le groupe des classes d’idéaux de l’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{Δ}). Soit h_{p}^{∗}(Δ) le nombre d’éléments de Cl(Δ) dont la puissance p–ième est un idéal principal. C’est une puissance de p et on pose h_{p}^{∗}(Δ) = p^{r_{p}(Δ)}, l’entier r_{p}(Δ) est appelé p–rang de Cl(Δ).

Le nombre r_{2}(Δ) a une description élémentaire essentiellement due à Gauss. On a r_{2}(1) = 0 (puisque h(1) = 1 !) et, pour Δ ≠ 1

(1.1)  r_{2}(Δ) = ω(Δ) − 1 ou ω(Δ) − 2,

(ω(n) nombre de facteurs premiers de l’entier n), la deuxième éventualité a lieu uniquement lorsque Δ > 0 et lorsque Δ a un diviseur premier congru à 3 modulo 4 (voir [Na] Corollary 1 p. 457, Note 20 p.483, par exemple). Ainsi le Corollaire 1 implique qu’il existe une infinité de Δ > 0 vérifiant r_{2}(Δ) = r_{3}(Δ) = 0. En fait, nous montrerons l’énoncé plus précis suivant

COROLLAIRE 1’. — Pour tout k ≥ 0, il existe deux constantes c′_{k} > 0 et x_{k}, telles que pour x ≥ x_{k}, on ait la minoration

|\{Δ, 0 < Δ ≤ X, r_{2}(Δ) = k, r_{3}(Δ) = 0\}| ≥ c′_{k} \frac{x(log log x)^{k+1}}{log x} .

Puisque, de façon classique, on sait que |\{Δ, 0 < Δ ≤ x, ω(Δ) ≤ k + 2\}| ≍ \frac{x(log log x)^{k+1}}{log x} (k entier fixé, x tendant vers l’infini), on voit, grâce à (1.1) que l’ordre asymptotique de la minoration du Corollaire 1’ est correct, et qu’il y a, en un certain sens, indépendance entre le 2–rang et le 3–rang de Cl(Δ).

Il n’existe pas de formule aussi simple et élégante que (1.1) pour les autres r_{p}(Δ). Même si on est moins exigeant, c’est–à–dire si on désire simplement connaître le comportement statistique de r_{p}(Δ) ou de h_{p}^{∗}(Δ) (p fixé supérieur à 2), la situation reste vraiment pitoyable : absolument rien n’est connu pour un p général sauf pour p = 3 après le splendide travail de Davenport et Heilbronn ([D–H1], [D–H2]), qui est la clé de voûte de notre article et que nous présentons de la façon suivante :

Posons

H(Δ) = \frac{h_{3}^{∗}(Δ) − 1}{2}.

(c’est donc un entier, valant 0, 1, 4, 13..., mais peut–il être arbitrairement grand ? on n’en sait rien pour l’instant.) Pour mener de front, aussi loin que possible le cas des Δ positifs et des Δ négatifs, nous posons

(1.2)  α^{+} = 1 et α^{−} = 3.

Alors le comportement en moyenne de H(Δ) est régi par les formules asymptotiques suivantes : lorsque X tend vers l’infini on a

(1.3)  ∑_{Δ∈Δ^{±}(X)} H(Δ) ∼ \frac{α^{±}}{6} ∑_{Δ∈Δ^{+}(X)} 1 (∼ α^{±} \frac{X}{2π^{2}} ).

Signalons que, par exemple, on ne connaît pas d’équivalent à la somme ∑_{Δ∈Δ^{±}(X)} H^{2}(Δ) et que les formules (1.3) sont, pour l’instant, l’un des très rares cas où les très profondes conjectures heuristiques de Cohen–Lenstra ([C–L]), qui prévoient la structure en moyenne des groupes de classes des corps quadratiques, sont démontrées. Rappelons, par exemple, que ces conjectures prédisent, que r_{p}(Δ) peut-être arbitrairement grand et qu’il y a indépendance des comportements de r_{p}(Δ) et r_{p′}(Δ), pour des premiers p et p′ distincts. Le Corollaire 1’ s’inscrit donc dans cette dernière perspective.

La fonction H(Δ) se répartit–elle harmonieusement suivant les progressions arithmétiques ? Cette question arrive naturellement après les travaux de Davenport–Heilbronn, elle fut résolue de façon très satisfaisante par le premier auteur par le

TH^{}ÉOR^{}ÈME 0 ([Be1] Théorème 1.2). — Soit ε > 0. Pour X → ∞, on a les égalités

∑_{{Δ∈Δ^{±}(X) \atop q|Δ}} H(Δ) = \frac{α^{±}}{2π^{2}} \frac{ν(q)}{q}.X + O_{ε}(R_{0}(X, q, ε)),

uniformément pour q, entier sans facteur carré, inférieur à X^{\frac{1}{15} −ε}. Le coefficient α^{±} est défini en (1.2). On a désigné par ν(q) la fonction multiplicative telle que

ν(p) = \frac{p}{p + 1},

et R_{0}(X, q, ε) est la fonction

R_{0}(X, q, ε) = \frac{X}{q log^{2} X log_{2}^{2−ε} X} .

Le symbole log_{k} désigne la fonction log itérée k fois. Ce théorème, en faisant q = 1, précise les équivalences asymptotiques (1.3), mais ce n’est pas le meilleur terme d’erreur connu (voir [Be2]). En fait, ce théorème lors de son application au crible, est utilisé sous la forme moins forte du

COROLLAIRE 0. — Pour tout ε > 0, on a, pour X → ∞ les égalités

∑_{q≤X^{\frac{1}{15} −ε}} μ^{2}(q)| ∑_{{Δ∈Δ^{±}(X) \atop q|Δ}} H(Δ) − \frac{α^{±}}{2π^{2}} \frac{ν(q)}{q}.X| = O_{ε}(\frac{X}{log X log_{2} X} ).

Pour parvenir au Corollaire 1, nous avons notablement amélioré les exposants apparaissant dans les Théorème 0 et Corollaire 0. La première idée nouvelle est d’étudier de façon plus poussée la quantité N^{∗}(B_{i}; r, s^{2}) (voir §III) ou plutôt, les sommes trigonométriques S(h; r, s^{2}) qui lui sont naturellement associées. On utilise de façon cruciale les propriétés géométriques de la variété sur laquelle la sommation est faite, c’est–à–dire le lieu où s’annule la fonction discriminant Δ(a, b, c, d) (voir Lemmes 3.1, 3.2 et 3.3). On parvient ainsi au

TH^{}ÉOR^{}ÈME 1. — L’énoncé du Théorème 0 reste vrai, si on remplace l’inégalité que doit vérifier q par l’inégalité q ≤ X^{\frac{3}{44} −ε}.

Le théorème précédent entraîne immédiatement que, dans le Corollaire 0, on peut remplacer l’exposant \frac{1}{15} par \frac{3}{44}. L’amélioration de l’exposant n’est malheureusement pas à la mesure des innovations dans le traitement des sommes d’exponentielles S(h; r, s^{2}), évoquées ci–dessus. Ceci est, en partie, dû au fait qu’il faut s’assurer que les Δ en question sont bien fondamentaux. Toutefois cette approche est largement valorisée si on introduit une autre idée nouvelle par rapport à [Be1] : traiter en moyenne la contribution d’ensembles de points (a, b, c, d) de ℤ^{4} difficiles à appréhender mais de cardinal petit. Ces ensembles sont désignés par D(X, ρ, Q), D′(X, ρ) ou D_{m,ε}^{∗} suivant les situations (voir §II et §IV). On parvient ainsi au TH^{}ÉOR^{}ÈME 2. — Pour tout ε > 0, on a, pour X → ∞ les égalités

∑_{q≤X^{\frac{2}{7} −ε}} μ^{2}(q)| ∑_{{Δ∈Δ^{±}(X) \atop q|Δ}} H(Δ) − \frac{α^{±}}{2π^{2}} \frac{ν(q)}{q}.X| = O_{ε}(\frac{X}{log X log_{2} X} ).

Si q est restreint à parcourir l’ensemble des nombres premiers, on peut, dans les relations précédentes, remplacer l’exposant \frac{2}{7} par \frac{3}{10}.

Une forme itérée de l’égalité (5.1) ci–dessous, conduirait à une amélioration de la valeur de la quantité R_{0}(X, q, ε) et des seconds membres des estimations du Corollaire 0 et du Théorème 2 : il est possible de gagner un facteur en log^{−A} X (A > 0). La forme que nous démontrerons ici est juste suffisante pour les applications au crible.

On étend la définition de la fonction H à tous les entiers n, en posant H(n) = 0, si n n’est pas un discriminant fondamental. Appliquons les formules du crible linéaire à la suite A^{±} des entiers ±n, compris entre 1 et X affectés des poids H(±n). On obtient par exemple, directement le corollaire suivant

COROLLAIRE 2. — Pour tout ε > 0, il existe des constantes absolues c^{+} et c^{−} > 0 telles qu’ on ait, pour X tendant vers l’infini, les minorations

|\{Δ ∈ Δ^{±}(X); r_{3}(Δ) ≥ 1 et p|Δ ⟹ p ≥ X^{\frac{1}{7} −ε}\}| ≥ c^{±} \frac{X}{log X} .

En combinant avec (1.1), on peut donc affirmer que le système

(1.4)  \{ \begin{matrix}r_{2}(Δ) ≤ 6 \\ r_{3}(Δ) ≥ 1 \end{matrix}

a une infinité de solutions en discriminants fondamentaux dont on peut même imposer le signe. Le crible pondéré peut même ramener la constante 6 du système (1.4) à 3, nous n’insisterons pas sur cette méthode (voir plus bas comment améliorer ces constantes en faisant appel au Théorème 3 ci–dessous) mais rappellerons simplement que dans ([Be1] Théorème 1.6), l’auteur obtient la constante 8.

Mais l’énoncé du Théorème 2, à première vue n’est pas suffisant pour fournir le Corollaire 1, par des méthodes de crible. L’étude de la preuve des Théorèmes 1 et 2, montre que le prix à payer, pour certifier que les Δ apparaissant dans les sommes sont sans facteur carré impair, est très lourd. Cette difficulté n’est pas sans rappeler celle que l’on rencontre si on cherche à compter dans un ensemble raisonnable (par exemple, l’ensemble {n^{4} + 1, n ∈ ℕ}), le nombre d’éléments inférieurs à X, sans facteur carré, pour X tendant vers l’infini. En effet cribler par les p^{2} pour p grand devient très délicat. Par contre, si on demande que les éventuels diviseurs p^{2} soient supérieurs à un certain P^{2} (P extrêmement grand mais fixé), le problème devient trivial par le principe d’inclusion–exclusion, et la formule asymptotique trouvée est une majoration très proche de la formule asymptotique escomptée pour le problème initial.

Le théorème suivant renseigne sur la répartition en moyenne dans le progressions arithmétiques, des discriminants n quasi–fondamentaux d’ordre P, c’est–à–dire tels que si p^{2} divise n, on a p ≥ P ou p = 2 et dans ce dernier cas on a n ≡ 8 ou 12 modulo 16. Nous montrerons le

TH^{}ÉOR^{}ÈME 3. — Pour tout P ≥ 3, il existe une fonction H_{P} définie sur ℤ telle que

i) Pour tout n, on a l’inégalité H(n) ≤ H_{P} (n), ii) Pour X tendant vers l’infini, on a les inégalités

∑_{0<n≤X} H_{P} (n) ≤ (1 + O(P^{−1})) ∑_{0<Δ≤X} H(Δ),

et

∑_{−X<n<0} H_{P} (n) ≤ (1 + O(P^{−1})) ∑_{−X≤Δ<0} H(Δ),

iii) Pour tout ε > 0, il existe η = η(ε) > 0, tel que pour X tendant vers l’infini, on a

∑_{q≤X^{\frac{3}{8} −ε}} μ^{2}(q)| ∑_{{0<n≤X \atop q|n}} H_{P} (n) − \frac{ν_{P} (q)}{q} ∑_{0<n≤X} H_{P} (n)| = O_{ε,P} (X^{1−η})

et

∑_{q≤X^{\frac{3}{8} −ε}} μ^{2}(q)| ∑_{{−X≤n<0 \atop q|n}} H_{P} (n) − \frac{ν_{P} (q)}{q} ∑_{−X≤n<0} H_{P} (n)| = O_{ε,P} (X^{1−η}),

où

ν_{P} (q) = ν(q) ∏_{{p|q \atop p≥P}} \frac{(p^{2} − 1)(p + 1)^{2}}{p^{4}}

L’exposant de répartition passe donc de \frac{2}{7} à \frac{3}{8}, lorsqu’on crible H_{P} (n) plutôt que H(n). Ce gain est suffisant pour prouver le Corollaire 1(il suffisait d’avoir un exposant strictement supérieur à \frac{1}{3}, voir §VII). Voyons comment améliorer le Corollaire 2 grâce au Théorème 3. Appelons Ã la suite des entiers de [1, X], affectés des coefficients H_{P} (n). Avec les notations du crible ([H–R], [Iw] par exemple), on a l’égalité suivante, dite égalité de Buchstab, valable pour z_{1} ≤ z,

(1.5)  S(A, z) = S(A, z_{1}) − ∑_{z_{1}≤p<z} S(A_{p}, p),

et par définition de Ã, on a l’inégalité

(1.6)  S(A, z) ≥ S(A, z_{1}) − ∑_{z_{1}≤p<z} S(Ã_{p}, p).

On sait que, par définition des fonctions F et f du crible linéaire, comme solutions des équations différentielles aux différences induites par l’égalité de Buchstab, on retrouve exactement la même minoration, si on injecte à droite de (1.5), les majoration et minoration classiques du crible en travaillant avec le Théorème 2. Par contre, on voit que l’inégalité (1.6) est strictement meilleure que (1.5), pour les applications, puisqu’on peut appliquer le Théorème 3, pour la majoration de S(Ã_{p}, p). La borne \frac{1}{7} du Corollaire 2 est ainsi aisément franchie, la limite théorique, après itération de l’identité de Buchstab, étant, dans le Corollaire 2, la valeur \frac{3}{16} − ε pour l’exposant.

Puisque dans ([H–R], page 258), on trouve la valeur Λ_{3} ≥ \frac{11}{4} et qu’on a l’inégalité \frac{3}{8}.Λ_{3} > 1, on déduit que pour tout X assez grand, Ã contient des entiers ayant au plus trois facteurs premiers. Il serait intéressant –mais nous ne le faisons pas par manque de place– de pousser les arguments pour en déduire que A contient, lui–aussi, des entiers avec au plus trois facteurs premiers, ce qui donnerait que le système

r_{2}(Δ) ≤ 2 et r_{3}(Δ) ≥ 1

a une infinité de solutions. Il faudrait alors comparer cette technique avec celle développée dans ([Be3] Chapitre 4) qui consiste à étudier les valeurs pseudo–premières, prises par le polynôme y^{2} − 4x^{ℓ} (ℓ nombre premier fixé ≥ 3) pour x et y entiers, afin d’exhiber des corps quadratiques (dont on contrôle le 2–rang) de ℓ–rang au moins égal à 1.

Par les formules (1.3), puisque α^{−} = 3α^{+}, on imagine que le 3–rang des corps quadratiques imaginaires a tendance à être plus grand que celui des corps quadratiques réels. Il est donc plus difficile de construire des Δ < 0 avec un petit 3–rang, il n’est alors pas surprenant que le Corollaire 3 soit de moins bonne qualité que le Corollaire 1. On a

COROLLAIRE 3. — Chacun des systèmes

(I) \{ \begin{matrix}r_{2}(Δ) & = & 0 \\ r_{3}(Δ) & ≤ & 1 \end{matrix}  (II) \{ \begin{matrix}r_{2}(Δ) & ≤ & 3 \\ r_{3}(Δ) & = & 0 \end{matrix}

a une infinité de solutions en discriminants fondamentaux négatifs Δ. Plus précisément, il existe une constante absolue c^{−} > 0 telle que le nombre de solutions à chacun de ces systèmes, avec Δ ∈ Δ^{−}(X) soit supérieur à c^{−}X/ log X, pour X ⟶ ∞.

Remerciements. Les auteurs remercient P.Michel pour de stimulantes discussions lors de l’élaboration de cet article. Le premier auteur remercie le Max–Planck–Institut für Mathematik (Bonn) pour son hospitalité.

II. LA TECHNIQUE DE DAVENPORT–HEILBRONN. RAPPELS ET PRÉPARATIONS TECH-NIQUES

L’objet de ce paragraphe est de citer clairement les résultats de Davenport–Heilbronn dont nous aurons ici besoin. Tous ces résulats sont évidemment les outils de base de [Be1].

Soit 𝔉 l’ensemble des formes cubiques binaires

F (x, y) = ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3},

à coefficients entiers. On définit 𝔉_{prim}^{irr} comme étant le sous-ensemble de 𝔉 constitué des formes primitives (c’est–à–dire telles que (a, b, c, d) = 1) et irréductibles (c’est–à–dire telles que F ne soit pas de la forme F = F_{1}F_{2} où F_{1} et F_{2} sont deux formes à coefficients entiers avec deg F_{1} = 1). Le discriminant de F est la quantité

Δ(F) = Δ(a, b, c, d) = b^{2}c^{2} + 18abcd − 27a^{2}d^{2} − 4b^{3}d − 4c^{3}a.

Un élément M de Gl(2, ℤ) définit un changement de variables, on dira que deux formes F et F′ sont équivalentes s’il existe M de Gl(2, ℤ) tel que

F′ = F ∘ M.

Soit Φ l’ensemble des classes de formes cubiques pour cette relation d’équivalence. Puisque ce changement de variables conserve la primitivité et l’irréductibilité d’un élément de 𝔉, on peut considérer Φ_{prim}^{irr}, ensemble quotient de 𝔉_{prim}^{irr} par cette relation d’équivalence. Rappelons aussi que les formes cubiques d’une même classe ont même discriminant.

Pour p nombre premier au moins égal à 3, on note V_{p} l’ensemble des classes F de Φ_{prim}^{irr} telles que p^{2} ne divise pas Δ(F) et V_{2} l’ensemble des classes F telles que Δ(F) ≡ 1(mod 4) ou Δ(F) ≡ 8 ou 12 (mod 16). On pose aussi

V_{q} = ⋂_{p|q} V_{p}, V = ⋂_{p} V_{p}.

Donc V est l’ensemble des classes de formes de discriminant fondamental. Remarquons l’implication p|(a, b, c, d) ⟹ p^{4}|Δ(a, b, c, d), ainsi toute forme appartenant à V est nécessairement primitive. On définit aussi U_{p} comme étant la réunion de V_{p} et de l’ensemble des classes F de Φ_{prim}^{irr} telles que, modulo p, F s’écrive F = λ(αx − βy)^{3} et F (β, α) ≠ 0 modulo p^{2}. Remarquons que la condition F = λ(αx − βy)^{3} implique que F n’appartient pas à V_{p}. On pose aussi

U = ⋂_{p} U_{p}.

L’ensemble U ainsi construit est essentiellement l’ensemble des classes de formes cubiques dont le discriminant est le discriminant d’une extension cubique de ℚ (nous n’aurons pas besoin ici d’un énoncé précis de cette interprétation de U).

Soit K l’ensemble des extensions cubiques de ℚ, C l’ensemble des classes d’isomorphismes de corps cubiques sur ℚ. Rappelons que chaque classe d’équivalence contient soit un élément (le corps cubique en question est alors cyclique) soit trois éléments. Le premier résultat nécessaire dans cette théorie est l’existence de la bijection de Davenport–Heilbronn :

LEMME 2.1 ([D–H1] et [D–H2]). — Il existe une application K ⟼ F_{K} de K dans 𝔉_{prim}^{irr} telle que

• pour tout K, on a disc (K) = Δ(F_{K}) ;

• pour tout K, F_{K} appartient à U ;

• par passage au quotient, K ⟼ F_{K} est une bijection de C sur U.

Le lien avec la fonction H(Δ) se fait par une remarque d’algèbre (comptage de certains sous–groupes de Cl(Δ)) et un peu de théorie du corps de classes couplée avec la bijection de Davenport–Heilbronn décrite dans le Lemme 2.1. On a donc, en se restreignant aux discriminants fondamentaux le

LEMME 2.2. — Soit Δ un discriminant fondamental. Il y a exactement H(Δ) sous–groupes d’indice 3 dans Cl(Δ). Cet ensemble de sous–groupes d’indice 3 est en bijection avec les éléments de Φ_{prim}^{irr} de discriminant Δ.

En fait, puisque Δ est fondamental, on peut, tout aussi bien dans le lemme précédent, remplacer l’ensemble Φ_{prim}^{irr} par V. On regroupe ces résultats sous la forme de la

PROPOSITION 2.3. — Soient a et q deux entiers fixés. Soit N_{a,q}(ξ, η; V) le nombre d’éléments de V dont le discriminant est strictement compris entre ξ et η, et est congru à a modulo q. On a, pour X > 0, les égalités

∑_{{Δ∈Δ^{+}(X) \atop Δ≡a(mod q)}} H(Δ) = N_{a,q}(0, X; V)

et

∑_{{Δ∈Δ^{−}(X) \atop Δ≡a(mod q)}} H(Δ) = N_{a,q}(−X, 0; V).

Il faut maintenant calculer chacune des quantités N_{a,q}. À toute forme F (x, y) = ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3} de 𝔉 on associe le point (a, b, c, d) de ℝ^{4}. L’idée est de se ramener à compter les points entiers d’un certain volume de ℝ^{4}, domaine fondamental pour l’action de Gl(2, ℤ) sur ℤ^{4}, identifié à 𝔉. En fait, pour se ramener au cas classique de la réduction des formes quadratiques, on introduit une relation d’équivalence plus stricte qu’auparavant sur 𝔉. À savoir, F et F′ sont proprement équivalentes s’il existe M dans Sl(2, ℤ) tel que F′ = F ∘ M. On note Φ̃ et Φ̃_{prim}^{irr} l’ensemble des classes d’équivalences propres, par analogie avec les notations précédentes. On a dans l’idée qu’il y a deux fois plus de classes d’équivalence propres.

a. Cas des formes de discriminant strictement positif

À la forme cubique F on associe le covariant quadratique

H(x, y) = Ax^{2} + Bxy + Cy^{2},

avec

\{ \begin{matrix}A & = & b^{2} − 3ac \\ B & = & bc − 9ad \\ C & = & c^{2} − 3ad \end{matrix}

Ce covariant est le hessien de F, c’est–à–dire H(x, y) = −\frac{1}{4}(\frac{∂^{2}F}{∂x^{2}} \frac{∂^{2}F}{∂y^{2}} − (\frac{∂^{2}F}{∂x∂y} )^{2}). Il jouit de l’importante propriété

disc(H) = −3Δ(F)

et est ainsi strictement négatif. L’application F ↦ H commute à l’action de Gl(2, ℤ), donc chaque classe de Φ̃ a un représentant dans la région de l’espace défini par les inégalités

\{ \begin{matrix}soit & −A < B ≤ A < C \\ soit & 0 ≤ B ≤ A = C. \end{matrix}

Ce représentant est unique à moins que le covariant quadratique soit proportionnel à x^{2} + y^{2} ou x^{2} + xy + y^{2} auquel cas, il en a au plus O(1). Ces éventualités ont lieu lorsque A = C et B = 0 ou lorsque A = B = C. À la différence du cas quadratique, −Id agit proprement sur 𝔉, ce qui nous permet d’imposer a > 0. Ceci nous amène à appeler V le volume défini par

V = \{(a, b, c, d) ∈ ℝ^{4}; \frac{1}{2} ≤ a, |B| − \frac{1}{2} ≤ A ≤ C + \frac{1}{2}\},

et pour X entier ≥ 1, on appelle

V(X) := \{(a, b, c, d) ∈ V; \frac{1}{2} ≤ Δ(a, b, c, d) ≤ X + \frac{1}{2}\}.

Remarquons que si, dans la définition de V et V(X), on remplace la condition a ≥ \frac{1}{2} par a ≥ 1 et toutes les autres constantes \frac{1}{2} par 0, le nombre de points à l’intérieur de V(X) ayant leurs quatre coordonnées entières, ne varie pas.

L’ensemble V(X) est une variété semi–algébrique (c’est–à–dire définie par un nombre fini d’équations ou d’inéquations algébriques). Cet ensemble est très biscornu, toutefois Davenport a calculé le nombre de points à l’intérieur de V(X) :

LEMME 2.4 ([Da1] Lemmas 4, 5). — Pour X tendant vers l’infini, on a l’égalité

|V(X) ∩ ℤ^{4}| = \frac{π^{2}}{36} X + O(X^{\frac{15}{16}} )

Pour le rendre plus agréable, nous allons ôter au volume V(X) un certain nombre de sous–ensembles que nous noterons par la lettre D, comme déchet. Dans un premier temps, on constate que V(X) posséde une pointe et, suivant en cela Davenport, nous jugeons préférable de l’étêter. On introduit un paramètre réel ρ > 0 et on pose, comme dans [Be1],

D^{pointe}(X, ρ) = \{(a, b, c, d) ∈ V(X), a < [X^{\frac{1}{4} −3ρ}] + \frac{1}{2}\}.

On a aussi le

LEMME 2.5 ([Da1] Lemma 4). — On a, pour X tendant vers l’infini, la relation

|D^{pointe}(X, ρ) ∩ ℤ^{4}| = O(X^{1−ρ}).

On pose

X = X (X, ρ) = V(X) − D^{pointe}(X, ρ).

a.1. Découpage de X (X, ρ)

Dans toute la suite, on appellera ξ un nombre irrationnel tel que

1 − e^{−X} ≤ ξ < 1.

L’introduction de ce réel ξ n’a rien d’important mais facilitera les notations des boîtes servant au découpage de X. Par le choix de la définition de X (X, ρ), on a le

LEMME 2.6. — Le bord ∂X ne contient aucun segment de droite (non réduit à un point) parallèle à l’un des axes de coordonnées, dont la projection sur l’hyperplan perpendiculaire est un point dont toutes les coordonnées sont des multiples entiers du nombre ξ

Soit Q un entier ≥ 1, qui sera fixé par la suite suivant les situations. On considère le sous–ensemble maximal du réseau (ξQℤ)^{4} inclus dans X. Ce sous–ensemble, noté \underline{X}_{Q}, est constitué de boîtes B_{i} (i ∈ I) de côté ξQ. Par boîte, nous entendons le produit (dans ℝ^{4}) [k_{1}ξQ, (k_{1} + 1)ξQ] × [k_{2}ξQ, (k_{2} + 1)ξQ] × [k_{3}ξQ, (k_{3} + 1)ξQ] × [k_{4}ξQ, (k_{4} + 1)ξQ] (k_{1}, k_{2}, k_{3} et k_{4} entiers). Pour ainsi dire, \underline{X}_{Q} est l’amincissement, d’ordre Q de X . Signalons que, pour X suffisamment grand, pour Q ≤ X^{10} et pour tous les k_{i} de valeurs absolues inférieures à X^{10}, chaque boîte B_{i} contient exactement Q^{4} points à coordonnées entières, c’est une conséquence du fait que ξ est extrêmement proche de 1. De même, considérons le sous–ensemble minimal du réseau (ξQℤ)^{4} contenant X. C’est une réunion de boîtes B_{j}, avec j ∈ J, où J est un ensemble d’indices contenant I. Nous appellerons cet ensemble de boîtes épaississement de X (terminologie introduite dans [Be1]), et on le note \overline{X}_{Q}. En conclusion, nous avons l’encadrement

⋃_{i∈I} B_{i} = \underline{X}_{Q} ⊂ X ⊂ \overline{X}_{Q} = ⋃_{j∈J} B_{j},

cet encadrement étant de meilleure qualité à mesure que Q décroît. Nous devons évaluer la perte qu’engendre cet encadrement dans le dénombrement des points à coordonnées entières contenues dans X. Pour faciliter l’écriture des résultats, nous notons maintenant les coordonnées de ℝ^{4} par x_{1}, x_{2}, x_{3} et x_{4}. On dit qu’une variété linéaire affine de dimension d (avec 1 ≤ d ≤ 3) est Q–régulière, si elle a pour équations

x_{i_{1}} = k_{1}ξQ, ⋯, x_{i_{4−d}} = k_{4−d}ξQ,

avec (1 ≤)i_{1} < ⋯ < i_{4−d}(≤ 4), et les k_{i} sont des entiers. Ces variétés sont donc parallèles ou perpendiculaires aux axes de coordonnées et s’appuient sur le réseau (ξQℤ)^{4}.

LEMME 2.7. — Avec les conventions précédentes, on a, pour Q entier, la majoration

|J | − |I| ≪ ∑_{i=1}^{4} n_{i},

où n_{i} est le nombre de variétés linéaires affines Q–régulières, de dimension i qui coupent X (n_{4} = 1, par définition). La constante contenue dans ≪ est absolue.

Preuve. Cela résulte de ce que tous les ensembles X_{i} et X_{i}^{c}construits plus bas sont semi–algébriques, définis par un nombre borné d’inéquations polynômiales de degré borné et du fait suivant ([B–R] Prop 4.4.5) : le nombre de composantes connexes d’un ensemble semi–algébrique réel est borné par un entier ne dépendant que des degrés et du nombre d’inéquations le définissant ainsi que de la dimension de l’espace ambiant. Notons K_{4} une boîte B_{j} avec j ∈ J et j ∉ I. Par définition, K_{4} contient au moins, un élément appartenant à X et un autre, n’appartenant pas à X. Trois éventualités apparaissent alors :

(i) le bord ∂K_{4} de K_{4} est inclus dans X. Dans ce cas, K_{4} contient dans son intérieur une composante connexe du complémentaire X_{4}^{c} = ℝ^{4} − X. Ce complémentaire a O(1) composantes connexes, il y a alors O(1) boîtes répondant à cette disposition.

(ii) le bord ∂K_{4} est inclus dans X_{4}^{c}. Dans ce cas, K_{4} contient dans son intérieur une composante connexe de X. Or X a O(1) composantes connexes, il y a alors O(1) boîtes répondant à cette disposition. Ce raisonnement est donc de même nature que le précédent.

(iii) le bord ∂K_{4} contient des éléments de X et des éléments de ℝ^{4} − X. Dans ce cas, il existe au moins une face de dimension 3 de K_{4}, notée K_{3}, intersection de K_{4} et d’un hyperplan, noté H, Q–régulier, contenant à la fois des éléments de X_{3} = X ∩ H et des éléments de X_{3}^{c} = H − X_{3}. Nous sommes en mesure de faire une récurrence descendante sur la dimension des faces. Maintenant on sait que X_{3} et X_{3}^{c} ont O(1) composantes connexes, car ce sont des ensembles semi–algébriques. On reconduit le raisonnement précédent, suivant que ∂K_{3} est inclus dans X_{3}, est inclus dans X_{3}^{c} ou qu’il n’est inclus dans aucun de ces deux ensembles. Pour les deux premières éventualités, lorsque H est fixé, on a donc trouvé O(1) boîtes B_{j}. Lors de la dernière éventualité, c’est qu’il existe une face de dimension 2 de K_{3}, notée K_{2}, intersection de K_{2} et d’un plan, noté P, Q–régulier, contenant à la fois des éléments de X_{2} = X ∩ P et des éléments de X_{2}^{c} = P − X_{2}. Maintenant on sait que X_{2} et X_{2}^{c} ont O(1) composantes connexes. On reconduit le raisonnement précédent, suivant que ∂K_{2} est inclus dans X_{2}, est inclus dans X_{2}^{c} ou qu’il n’est inclus dans aucun de ces deux ensembles. Pour les deux premières éventualités, lorsque P est fixé, on a donc trouvé O(1) boîtes B_{j}. Lors de la dernière éventualité, c’est qu’il existe une arête de dimension 1 de K_{2} (située sur une droite D, Q–régulière) qui n’appartient ni à X ni à X_{4}^{c}, donc K_{1} coupe ∂X. D’après le Lemme 2.6, sur chaque droite Q–régulière, il y a O(1) points d’intersection avec ∂X.

En regroupant les résultats de cette discussion, on conclut la preuve du Lemme 2.7.

■

Signalons que ce lemme est d’ailleurs valable pour tout semi–algébrique de ℝ^{N} (en étendant la somme à droite jusqu’à i = N), la constante du symbole ≪ dépendant alors au plus de N, du nombre et du degré des inéquations polynomiales définissant l’ensemble semi–algébrique en question. La compacité assure simplement que les n_{i} sont finis. Pour rendre efficace le Lemme 2.7, il faut calculer le nombre des variétés linéaires affines Q–régulières rencontrant X. On a

LEMME 2.8. — Soit Q un entier ≥ 1. Le nombre de variétés linéaires affines Q–régulières,qui coupent X (X, ρ) est

≪ Q^{−3}X^{\frac{3}{4} +3ρ} + Q^{−2}X^{\frac{1}{2} +4ρ} + Q^{−1}X^{\frac{1}{4} +3ρ} + 1

Preuve. Si (a, b, c, d) appartient à X (X, ρ), ses coordonnées vérifient les inégalités

1 ≤ a ≪ X^{\frac{1}{4}} , |b| ≪ X^{\frac{1}{4}} , |c| ≪ X^{\frac{1}{2}} |b|^{−1}
|c| ≪ X^{\frac{1}{3}} a^{− \frac{1}{3}} ≪ X^{\frac{1}{4} +ρ}, |d| ≪ X^{\frac{1}{2}} a^{−1} ≪ X^{\frac{1}{4} +3ρ},

et si b = 0 on a ac^{2}|d| ≪ X (voir [Be1] page 922). Pour compter les variétés Q–régulières qui coupent X, on pose a = a′ξQ, b = b′ξQ, c = c′ξQ et d = d′ξQ avec a′, b′, c′ et d′ entiers tels que a′ ≥ 1.

Ainsi le nombre d’hyperplans coupant X est

(2.1)  ≪ ∑_{a′≪X^{\frac{1}{4}} /Q} 1 + ∑_{|b′|≪X^{\frac{1}{4}} /Q} 1 + ∑_{|c′|≪X^{\frac{1}{4} +ρ}/Q} 1 + ∑_{|d′|≪X^{\frac{1}{4} +3ρ}/Q} 1 ≪ 1 + Q^{−1}X^{\frac{1}{4} +3ρ}.

Le nombre de plans coupant X est

∑_{a′} ∑_{b′} 1 + ∑_{a′} ∑_{c′} 1 + ∑_{a′} ∑_{d′} 1 + ∑_{b′} ∑_{c′} 1 + ∑_{b′} ∑_{d′} 1 + ∑_{c′} ∑_{d′} 1,

d’où, en utilisant les bornes pour chacune des variables, ce nombre de plans est

≪ \frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} (\frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} + 1) + \frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} (\frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} + 1) + \frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} (\frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} log X + 1)+

(\frac{X^{\frac{1}{2}}}{Q^{2}} log X + \frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} + 1) + (\frac{X^{\frac{1}{4}}}{Q} + 1)(\frac{X^{\frac{1}{4} +3ρ}}{Q} + 1) + (\frac{X^{\frac{1}{4} +ρ}}{Q} + 1)(\frac{X^{\frac{1}{4} +3ρ}}{Q} + 1),

soit encore

(2.2)  ≪ \frac{X^{\frac{1}{2} +4ρ}}{Q^{2}} + \frac{X^{\frac{1}{4} +3ρ}}{Q} + 1

Pour le nombre de droites qui coupent X, il suffit d’appliquer le Lemme 4.3 de [Be1] qui évalue la somme des volumes des projections de \overline{X}_{Q} sur les hyperplans de coordonnées. Cette somme de volumes est

(2.3)  ≪ X^{\frac{3}{4} +3ρ} log x + Q^{2}X^{\frac{1}{4} +3ρ} + Q^{3},

par division par Q^{3}, on a une majoration du nombre de droites Q–régulières qui coupent X, il est ainsi

(2.4).  ≪ Q^{−3}X^{\frac{3}{4} +3ρ} log x + Q^{−1}X^{\frac{1}{4} +3ρ} + 1

Il suffit alors de rassembler (2.1), (2.2) et (2.4).

■

Remarquons que deux boîtes distinctes B_{j} et B_{j′} distinctes, ne sont pas nécessairement disjointes. Mais si l’intersection de ces boîtes contient des points à coordonnées entières, c’est que ces deux boîtes ont un de leurs bords inclus dans l’un des hyperplans de coordonnées (ceci explique pourquoi, nous avons travaillé avec le réseau (ξQℤ)^{4} au lieu du réseau (Qℤ)^{4} qui aurait semblé plus naturel). Appelons donc D^{0}(X, ρ) l’intersection de X avec la réunion des quatre hyperplans de coordonnées. Puisque (2.3) majore la somme des volumes des projections de \overline{X}_{Q} sur ces hyperplans de coordonnées, on a, en faisant Q = 1 le

LEMME 2.9. — On a la majoration

|D^{0}(X, ρ) ∩ ℤ^{4}| ≪ X^{\frac{3}{4} +3ρ} log X.

Un autre ensemble ennuyeux est celui appelé D^{=}(X), sous-ensemble de V(X) constitué des (a, b, c, d) tels que |B| = A ou A = C. Rappelons que si une classe de Φ̃ a un représentant dans D^{=}(X), celui–ci n’est pas forcément unique et que le nombre de tels représentants est alors en O(1). Cet ensemble D^{=}(X) n’est pas très gros, puisqu’on a le

LEMME 2.10 ([Da1] Lemma 2). — Pour X tendant vers l’infini, on a l’égalité

|D^{=}(X) ∩ ℤ^{4}| = O(X^{\frac{3}{4}} log X).

Il faut aussi supprimer l’ensemble des formes réductibles. On considère ainsi D^{réd}(X) , ensemble des (a, b, c, d) de V(X) tels que la forme cubique associée soit réductible. Cet ensemble est lui–aussi petit puisqu’on a le

LEMME 2.11 ([Da1] Lemma 3). — Pour X tendant vers l’infini, on a, pour tout ε > 0, l’égalité

|D^{réd}(X) ∩ ℤ^{4}| = O(X^{\frac{3}{4} +ε}).

On dénote par D^{bord}(X, ρ, Q) le complémentaire de l’amincissement \underline{X}_{Q} dans X. On a donc l’inclusion

(2.5)  D^{bord}(X, ρ, Q) ⊂ ⋃_{j∈J ,j∉I} B_{j},

ce qui prouve que D^{bord}(X, ε, Q) n’est pas trop anarchique, puisqu’il est inclus dans

O(Q^{−3}X^{\frac{3}{4} +3ρ} + Q^{−2}X^{\frac{1}{2} +4ρ} + Q^{−1}X^{\frac{1}{4} +3ρ} + 1)

boîtes ayant Q^{4} points entiers (Lemmes 2.7 et 2.8). On a donc la relation

(2.6)  |D^{bord}(X, ρ, Q) ∩ ℤ^{4}| ≪ QX^{\frac{3}{4} +3ρ} + Q^{2}X^{\frac{1}{2} +4ρ} + Q^{3}X^{\frac{1}{4} +3ρ} + Q^{4} := E(X, ρ, Q).

Appelons donc D(X, ρ, Q) la réunion

D(X, ρ, Q) = D^{pointe}(X, ρ) ∪ D^{0}(X, ρ) ∪ D^{=}(X, ρ) ∪ D^{réd}(X, ρ) ∪ D^{bord}(X, ρ, Q) := D′(X, ρ) ∪ D^{bord}(X, ρ, Q)

On pose aussi

G(X, ρ, Q) = X^{1−ρ} + E(X, ρ, Q).

La notion de discriminant fondamental fait jouer un rôle particulier au nombre premier 2. Ceci nous amène à introduire de nouvelles notations dans le but de tenir compte de ce statut spécifique, en essayant de ne pas trop alourdir les notations. Dans une première lecture, on pourra supposer que r et s sont impairs.

On dit que deux entiers r et s vérifient la condition (C.1) si

(C.1)  \{ \begin{matrix}(r, s) = 1 \\ v_{p}(rs^{2}) ≤ 2 (p ≥ 3), \\ v_{2}(rs^{2}) = 0, 1, 2 ou 4. \end{matrix}

On pose alors r = r_{1}r_{2}^{2}, avec (r_{1}, r_{2}) = 1 et r_{1} sans facteur carré. On pose aussi

E_{16} = {0, 4} mod 16

(remarquons que, puisque, modulo 4, Δ(F) s’écrit (bc + ad)^{2}, Δ(F) modulo 16, ne peut prendre que les valeurs 0, 1, 4, 5, 8, 9, 12 et 13, on a donc l’équivalence Δ(F) ∈ V_{2} ⟺ Δ(F) ∉ E_{16}). On définit

κ(n) = ∏_{{p^{α}||n \atop p≥3}} p^{α}.

Si r et s vérifient (C.1), on désigne par H_{r,s^{2}}^{∗}(X) le nombre de classes de formes cubiques F = (a, b, c, d) irréductibles, primitives ou non, telles

• si 16 ne divise pas rs^{2}, on a rs^{2}|Δ(a, b, c, d) et (a, b, c, d, r) = 1,

• si 16 divise rs^{2}, on a \frac{rs^{2}}{16} |Δ(F), Δ(F) ∈ E_{16} et (a, b, c, d, r) = 1,

• 0 < Δ(F) ≤ X.

Enfin, pour toute boîte B_{i} on note N^{∗}(B_{i}; r, s^{2}) le nombre de points entiers (a, b, c, d) situés à l’intérieur de B_{i} tels que

• (a, b, c, d, r) = 1,
• si 16 ne divise pas rs^{2}, rs^{2} divise Δ(a, b, c, d)
• si 16 divise rs^{2}, \frac{rs^{2}}{16} divise Δ(a, b, c, d) et Δ(a, b, c, d) ∈ E_{16}.

En adoptant ces conventions et en regroupant les Lemmes 2.5, 2.9, 2.10 et 2.11 et la relation (2.6), on a la

PROPOSITION 2.12. — Pour tout ρ > 0, tout X > 1 et tout Q > 1 entier, il existe un ensemble D = D(X, ρ, Q), vérifiant

(2.7)  |D ∩ ℤ^{4}| = O(G(X, ρ, Q)),

un ensemble d’hypercubes B_{i} (i ∈ I) inclus dans ℝ^{4}, de côté de longueur égale à ξQ tels que, pour tous les entiers r et s vérifiant (C.1), on ait l’égalité

H_{r,s^{2}}^{∗}(X) = \frac{1}{2} ∑_{i∈I} N^{∗}(B_{i}; r, s^{2}) + O( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(rs^{2})|Δ(a,b,c,d)}} 1).

Rappelons que le facteur \frac{1}{2} provient du fait qu’on s’intéresse à des classes modulo Sl(2, ℤ). Nous aurons besoin de davantage de précision sur ces cubes B_{i} :

LEMME 2.13. — Pour tout ε > 0, on a l’égalité

∑_{i∈I} N^{∗}(B_{i}; 1, 1) = \frac{π^{2}}{36} X + O(G(X, ρ, Q)),

et l’ensemble d’indices I vérifie

(2.8)  |I| ≪ XQ^{−4}.

a.2. Preuve du Lemme 2.13.

Rappelons que la réunion des B_{i} (i ∈ I) est l’amincissement d’ordre Q de X et que, hors des hyperplans de coordonnées, deux boîtes B_{i} distinctes n’ont pas en commun de points à coordonnées entières. On a donc l’encadrement

|V(X) ∩ ℤ^{4}| − |D(X, ρ, Q) ∩ ℤ^{4}| ≤ ∑_{i∈I} N^{∗}(B_{i}; 1, 1) ≤ |V(X) ∩ ℤ^{4}| + O(|D^{0}(X, ρ) ∩ ℤ^{4}|),

il reste à appliquer le Lemme 2.4 et la majoration (2.7) pour obtenir la première assertion. La majoration (2.8) est une conséquence directe du fait que |D^{0}(X, ρ) ∩ ℤ^{4}| ≤ |V(X) ∩ ℤ^{4}| = O(X) et du fait que chaque B_{i} contient Q^{4} entiers. Il est clair que pour Q ≫ X^{\frac{1}{4}} , on peut avoir I = ∅ et la méthode de découpage n’a alors aucun intérêt.

■

Le lien entre la fonction N_{a,q}(0, X, V) de la Proposition 2.3 et la fonction H_{r,s^{2}}^{∗}(X) de la Proposition 2.12 se fait par le principe d’inclusion–exclusion sous la forme de l’égalité suivante et de ses variantes (voir §V), valable pour tout q sans facteur carré :

N_{0,q}(0, X, V) = ∑_{(d,2q)=1} μ(d) ∑_{{δ|q \atop (δ,2)=1}} μ(δ)H_{δq,d^{2}}^{∗}(X)

(2.9)  + ∑_{(2d,q)=1} μ(2d) ∑_{δ|q} μ(δ)H_{δq,16d^{2}}^{∗}(X) + ∑_{(d,q)=1} μ(d) ∑_{2δ|q} μ(2δ)H_{8δq,d^{2}}^{∗}(X).

Dans cette expression, le premier terme détecte les éléments appartenant à l’intersection des V_{p}, pour p impair, les deux autres termes s’occupant de l’appartenance à V_{2}, suivant que q est impair ou pair.

b. Cas des discriminants négatifs.

La démarche est différente pour exhiber un représentant de chaque classe de Φ ou de Φ̃. Le problème est de trouver un covariant quadratique adapté à cette situation. En effet le hessien ne remplit plus ce rôle, puisque c’est maintenant une forme quadratique indéfinie. Cette difficulté fut résolue par Mathews et Berwick ([M–B]) en associant à la forme F = (a, b, c, d), la forme quadratique définie P x^{2} + Qxy + Ry^{2} telle que

ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3} = (x − θy)(P x^{2} + Qxy + Ry^{2}),

avec θ, P, Q et R réels mais en général irrationnels. Cette forme quadratique se révèle être un covariant mais à un scalaire multiplicatif près. Toute cette technique est exploitée dans ([Da2], [D–H1] et [D–H2]) et, bien sûr dans ([Be1] Théorèmes 3.5 et 3.11). Dans notre cas, à l’arrivée, la situation est quasiment la même que pour les discriminants positifs. Maintenant le volume V(X) est

V(X) = \{(a, b, c, d); \frac{1}{2} ≤ −Δ(a, b, c, d) ≤ X + \frac{1}{2};

d^{2} − a^{2} + ac − db ≥ −\frac{1}{2}, (a + b)(a + b + c) − ad ≥ −\frac{1}{2}; (a − b)(a − b + c) + ad ≥ −\frac{1}{2}, a ≥ \frac{1}{2}\}.

La technique de découpage est la même que précédemment, la seule différence étant qu’à la fin le coefficient \frac{π^{2}}{36} , dans les Lemmes 2.4 et 2.13, doit être remplacé par \frac{π^{2}}{12} , puisque le volume en question est, pour ainsi dire, trois fois plus gros.

III. ÉTUDE DE N^{∗}(B_{i}; r, s^{2}).

Nous reprenons la démarche de Belabas ([Be1]§V) mais en y incorporant de nouveaux ingrédients. Soit B l’hypercube en question. On écrit donc

B = [α_{1}, α_{1} + ξQ] × [α_{2}, α_{2} + ξQ] × [α_{3}, α_{3} + ξQ] × [α_{4}, α_{4} + ξQ].

Puisque (r, s) vérifie (C.1), on décompose r de façon unique, en

r = r_{1}r_{2}^{2}, (r_{1}, r_{2}) = 1, μ^{2}(r_{1}) = 1

et nous supposons dans un premier temps l’inégalité

(3.1)  Q ≤ r_{1}r_{2}^{2}s^{2}.

On développe en série de Fourier la fonction caractéristique de chacun des côtés. Ainsi, la fonction caractéristique χ du premier côté s’écrit–elle comme

χ(a) = \frac{1}{rs^{2}} ∑_{h_{1} (mod rs^{2})} ∑_{α_{1}≤x_{1}≤α_{1}+ξQ} e(\frac{h_{1}(x_{1} − a)}{rs^{2}}),

avec e(.) = exp(2πi.), puisque (3.1) est vérifié. On voit alors que N^{∗}(B; r, s^{2}) s’écrit comme

(3.2)  \frac{1}{r^{4}s^{8}} ∑_{h (mod rs^{2})} ∑_{x∈B} e(\frac{h.x}{rs^{2}})S(h; r, s^{2}),

où on a posé h = (h_{1}, h_{2}, h_{3}, h_{4}), x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}), le produit scalaire dans ℝ^{4} étant noté par x.h . Dans ce paragraphe, on réservera les lettres grasses aux vecteurs, ceux–ci auront toujours quatre composantes. On a aussi posé

S(h; r, s^{2}) = ∑ e(\frac{ah_{1} + bh_{2} + ch_{3} + dh_{4}}{rs^{2}} ),

la somme étant faite sur les quadruplets (a, b, c, d) modulo rs^{2}, tels que (a, b, c, d, r) = 1 et tels que • Δ(a, b, c, d) soit congru à 0 modulo rs^{2}, si 16 ne divise pas rs^{2},

• Δ(a, b, c, d) soit congru à 0 modulo \frac{rs^{2}}{16} et Δ(a, b, c, d) ∈ E_{16}, si 16 divise rs^{2}.

Puisque r_{1}, r_{2} et s sont premiers entre eux, on a l’égalité de multiplicativité

S(h; r_{1}r_{2}^{2}, s^{2}) = S(h; r_{1}, 1)S(h; r_{2}^{2}, 1)S(h; 1, s^{2}),

conséquence du théorème chinois et de l’homogénéité des polynômes Δ(a, b, c, d) et ah_{1} + bh_{2} + ch_{3} + dh_{4}. Toujours grâce à la multiplicativité, on est amené à étudier S(h; p^{j}, 1) pour j = 1, 2, S(h; 1, p^{2})(p ≥ 3), S(h; 2, 1), S(h; 16, 1) et S(h; 1, 16).

En se reportant au Lemme 4.6 de [Be1], lui–même hérité de ([D–H2] Lemma 1), les première et troisième égalités donnent la relation

S(0; p^{j}, 1) = ν_{1}(p^{j}).p^{4j},

avec

ν_{1}(p) = \frac{(p + 1)(p^{2} − 1)}{p^{4}} (p ≥ 2), ν_{1}(p^{2}) = 2\frac{(p^{2} − 1)}{p^{4}} (p ≥ 3) et ν_{1}(16) = \frac{3}{8},

et la quatrième égalité de ce même lemme donne

S(0; 1, p^{2}) = ν_{2}(p^{2}).p^{8},

avec

ν_{2}(p^{2}) = \frac{2p^{2} − 1}{p^{4}} (p ≥ 3) et ν_{2}(16) = \frac{7}{16}.

Le terme principal de (3.2) est fourni par la contribution du terme où tous les h_{i} sont nuls ; il vaut donc (en étendant par multiplicativité la définition des fonctions ν_{1} et ν_{2})

(3.3)  ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2}).N^{∗}(B; 1, 1).

Remarquons que ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2}) ainsi définie, vérifie

(3.4)  ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2}) = O(2^{ω(rs^{2})}(rs^{2})^{−1}).

a. Étude précise de S(h; p, 1).

Nous supposons que p est assez grand : p ≥ 5. En utilisant l’invariance par multiplication par λ ∈ 𝔽_{p}^{∗} on a l’égalité

S(h; p, 1) = \frac{1}{p − 1} ∑_{λ∈𝔽_{p}^{∗}} ∑_{{a∈𝔽^{4}_{p} \atop a≠0,Δ(a)=0}} e(λ\frac{a.h}{p}),

en sommant d’abord sur λ, il apparaît des progressions géométriques, d’où l’égalité

S(h; p, 1) =

\frac{1}{p − 1}\{(p − 1).|\{a; Δ(a) = a.h = 0(mod p), a ≠ 0(mod p)\}| − |\{a; Δ(a) = 0, a.h ≠ 0(mod p), a ≠ 0(mod p)\}|\},

soit encore

(3.5)  S(h; p, 1) = \frac{1}{p − 1}(pν(h, p) − p^{4}ν_{1}(p)),

avec ν(h, p) nombre de solutions à l’équation

Δ(a) = a.h = 0(mod p), a ≠ 0(mod p).

a.1. Étude de ν(h, p).

Tout d’abord, rappelons qu’on a trivialement

ν(0, p) = ν_{1}(p)p^{4} = p^{3} + O(p^{2}).

Nous supposons dans la suite qu’on a (h, p) = 1. Revenons maintenant à la signification de Δ(a) = 0 modulo p avec a non nul. Cette égalité signifie que la forme cubique F associée à a = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})

a_{1}x^{3} + a_{2}x^{2}y + a_{3}xy^{2} + a_{4}y^{3}

comporte, dans sa factorisation en facteurs linéaires sur \overline{𝔽_{p}}, un facteur double ou triple, mais ce facteur est en fait à coefficients dans 𝔽_{p}. Ceci équivaut donc au fait que F est de l’une ou l’autre des formes suivantes

(I)  α(x + βy)^{2}(x + γy)

(II)  αy(x + βy)^{2}

(III)  αy^{2}(x + βy)

(IV)  αy^{3}.

Dans chacune de ces expressions, α, β et γ sont des éléments de 𝔽_{p}, avec α ≠ 0. Les quatre cas s’excluent mutuellement et correspondent à la valeur du plus petit indice i tel que a_{i} ≠ 0. Nous parvenons ainsi aux quatre paramétrisations

(I)  α(1, 2β + γ, β(2γ + β), β^{2}γ)

(II)  α(0, 1, 2β, β^{2})

(III)  α(0, 0, 1, β)

(IV)  α(0, 0, 0, 1),

(α, β, γ) parcourant 𝔽_{p}^{∗} × 𝔽_{p} × 𝔽_{p}. Reportons chacune de ces paramétrisations dans l’équation a.h = 0, et appelons ν_{I}(h, p), ν_{II}(h, p), ν_{III}(h, p) et ν_{IV}(h, p) le nombre de solutions trouvées dans chacun des cas. Il suffira d’appliquer l’égalité

(3.6)  ν(h, p) = ν_{I}(h, p) + ν_{II}(h, p) + ν_{III}(h, p) + ν_{IV}(h, p),

pour trouver la valeur de ν(h, p).

a.2 Étude de ν_{I}(h, p).

Puisque α est non nul, il suffira de multiplier par (p − 1), le nombre de solutions à l’équation aux inconnues β et γ

(3.7)  (h_{1} + 2βh_{2} + β^{2}h_{3}) + γ(h_{2} + 2βh_{3} + β^{2}h_{4}) = 0.

– Si les deux polynômes en β, (h_{1} + 2βh_{2} + β^{2}h_{3}) et (h_{2} + 2βh_{3} + β^{2}h_{4}), n’ont pas de zéro commun, (3.7) a p + O(1) solutions en couples (β, γ).

– Dans les autres cas, (3.7) a O(p) solutions (nous pourrions être beaucoup plus précis, c’est inutile ici).

Le fait que les deux polynômes (h_{1} + 2βh_{2} + β^{2}h_{3}) et (h_{2} + 2βh_{3} + β^{2}h_{4}) n’ont pas de zéro commun, que ce soit dans 𝔽_{p} ou dans \overline{𝔽_{p}}, s’exprime par le fait que leur résultant est non nul. Un calcul facile montre que ce résultant vaut

Δ^{∗}(h) := −Δ(h_{1}, 3h_{2}, 3h_{3}, h_{4})/27.

En conclusion, nous avons montré que

ν_{I}(h, p) = p^{2} + O(p) si Δ^{∗}(h) ≠ 0(mod p)

et

ν_{I}(h, p) = O(p^{2}) si Δ^{∗}(h) = 0(mod p).

a.3. Étude de ν_{II}(h, p), ν_{III}(h, p) et ν_{IV}(h, p).

Un calcul facile montre que ν_{II}(h, p) = O(p) ou O(p^{2}) suivant que (h_{2}, h_{3}, h_{4}) ≠ (0, 0, 0) ou = (0, 0, 0) modulo p. De même, on a ν_{III}(h, p) = O(p) ou O(p^{2}) suivant que (h_{3}, h_{4}) ≠ (0, 0) ou = (0, 0) modulo p. Enfin, on a trivialement, ν_{IV}(h, p) = O(p).

Enfin, remarquons que si les deux dernières coordonnées de h sont nulles, on a Δ^{∗}(h) = 0 modulo p. Il est alors facile de regrouper, grâce à (3.5) et (3.6), les différents résultats sous la forme du

LEMME 3.1. — La somme S(h; p, 1) vérifie la relation

S(h; p, 1) = O((h, p)(Δ^{∗}(h), p)p).

Ce lemme constitue donc une amélioration de ([Be1] Proposition 5.3) qui donnait, pour la somme en question, une majoration en O((h, p) p^{2}). Enfin, on peut interpréter notre étude de cette somme, comme un cas très particulier d’un résultat général de Katz et Laumon ([K–L], Introduction), qui affirme que, pour h hors d’un fermé de Zariski, la somme

trigonométrique S(h, V) = ∑_{a∈V} e(\frac{a.h}{p}), où V est une variété de dimension k satisfaisant des hypothèses raisonnables,

vérifie la relation S(h, V) = O(p^{\frac{k}{2}} ). Dans notre cas, la structure particulière de V définie par Δ(a, b, c, d) = 0, conduit à une définition explicite et agréable de ce fermé de Zariski, comme lieu où Δ^{∗}(h) = 0.

b. Étude précise de S(h; p^{2}, 1).

Dans un premier temps, nous supposons que (h, p) = 1.

La somme en question est donc

S(h; p^{2}, 1) = ∑_{{Δ(a)=0(mod p^{2}) \atop (a,p)=1}} e(\frac{a.h}{p^{2}}).

On écrit le vecteur a sous la forme

a = a^{(0)} + p.a^{(1)},

où chacun des vecteurs a^{(0)} et a^{(1)} a ses composantes comprises entre 0 et p − 1. Par la formule de Taylor, on a

Δ(a) = Δ(a^{(0)}) + p grad_{a^{(0)}}Δ . a^{(1)} (mod p^{2}).

Si a^{(0)} est tel que Δ(a^{(0)}) = 0 modulo p, on appelle H(a^{(0)}), l’ensemble des x de 𝔽_{p}^{4}, tels que

grad_{a^{(0)}}Δ.x = −Δ(a^{(0)})/p (mod p).

Avec ces conventions, on voit que

(3.8)  S(h; p^{2}, 1) = ∑_{{Δ(a^{(0)})=0(mod p) \atop (a^{(0)},p)=1}} e(\frac{a^{(0)}.h}{p^{2}}) ∑_{a^{(1)}∈H(a^{(0)})} e(\frac{a^{(1)}.h}{p}).

On constate que la seconde somme est nulle lorsque • le vecteur grad_{a^{(0)}}Δ est nul modulo p, l’ensemble H(a^{(0)}) étant, suivant les cas, vide ou égal à 𝔽_{p}^{4}.

• les vecteurs, considérés sur 𝔽_{p}^{4}, h et grad_{a^{(0)}}Δ ne sont pas colinéaires. Ces remarques transforment la définition de S(h; p^{2}, 1) en

S(h; p^{2}, 1) = ∑_{a(mod p^{2})} e(\frac{a.h}{p^{2}}),

la somme étant faite sur les a tels que

(3.9)  Δ(a) = 0(mod p^{2}), grad_{a}Δ ≠ 0(mod p), grad_{a}Δ ∥ h(mod p),

le symbole ∥ signifiant que les vecteurs sont parallèles. Nous utiliserons la formule suivante que l’on vérifie par calcul et qui donne la valeur du gradient du discriminant, en un point où il s’annule :

LEMME 3.2. — Soit a un vecteur de (ℤ/(p^{2}ℤ))^{4} auquel est associée la forme cubique

α(a_{1}x + a_{2}y)^{2}(b_{1}x + b_{2}y).

On a alors

grad_{a}Δ = 4α(a_{1}b_{2} − b_{1}a_{2})^{3}(a_{2}^{3}, −a_{1}a_{2}^{2}, a_{1}^{2}a_{2}, −a_{1}^{3}).

Bien qu’il soit possible de raisonner avec un espace projectif sur ℤ/(p^{2}ℤ), nous avons préféré séparer les a apparaissant dans (3.9) en quatre sous–ensembles disjoints, un peu plus délicats, puisqu’il s’agit de congruences modulo p^{2} (remarquons que les formes cubiques ne doivent pas être totalement ramifiées modulo p, sinon le gradient est nul). Par analogie à ce qui a été fait au §III.a.1., on sépare les cas suivant la valeur du plus petit indice i tel que a_{i} ≠ 0 modulo p.

Développons ce raisonnement lorsque i = 1. Soit donc F (x, y) = a_{1}x^{3} + a_{2}x^{2}y + a_{3}xy^{2} + a_{4}y^{3} une forme cubique modulo p^{2}, avec (a_{1}, p) = 1 et Δ(F) ≡ 0 modulo p^{2}, avec toujours p nombre premier ≥ 5. Puisque Δ(F) ≡ 0 modulo p, F (x, y) modulo p, s’écrit comme

F (x, y) = u(x + vy)^{2}(x + wy)

avec (u, p) = (v − w, p) = 1. Le changement de variables X = x + vy, Y = y, qui correspond à l’action d’une matrice de Gl(2, ℤ), permet d’écrire F comme

F (x, y) = G(X, Y) = uX^{2}(X + (w − v)Y ) (mod p).

Ainsi modulo p^{2}, G(X, Y) s’écrit, pour certains k_{1}, k_{2}, k_{3} et k_{4} modulo p, comme

G(X, Y) = (u + k_{1}p)(X^{3} + (w − v + k_{2}p)X^{2}Y + k_{3}pXY^{2} + k_{4}pY^{3}).

Puisqu’on a Δ(F) ≡ Δ(G) ≡ 0 modulo p^{2}, on voit, par la formule explicite du discriminant en fonction des coefficients, qu’on a obligatoirement k_{4} ≡ 0 modulo p. On peut alors écrire, modulo p^{2}, l’égalité

G(X, Y) = (u + k_{1}p)(X + \frac{k_{3}p}{2(w − v)}Y )^{2}(X + (w − v − p(\frac{k_{3}}{w − v} − k_{2}))Y ).

En revenant aux variables x et y, nous sommes donc parvenus à l’écriture (unique) de F (x, y) modulo p^{2} comme

(I)  α(x + βy)^{2}(x + γy), (α, p) = (β − γ, p) = 1.

En raisonnant de même pour les valeurs i = 2, 3 et 4, on parvient aux trois autres cas

(II)  α(pα_{1}x + y)(x + βy)^{2}, (α, p) = 1;

(III)  α(pα_{1}x + y)^{2}(x + βy), (α, p) = 1;

(IV)  α(pα_{1}x + y)^{2}(pα_{2}x + y), (α, p) = 1.

Dans chacune de ces expressions (I), (II), (III) et (IV), α, β et γ parcourent l’ensemble des classes modulo p^{2}, α_{1} et α_{2} l’ensemble des classes modulo p. Ceci étant fixé, on voit que suivant les cas, le gradient au point a est parallèle, modulo p au vecteur

(I)  (β^{3}, −β^{2}, β, −1);

(II)  (β^{3}, −β^{2}, β, −1);

(III)  (1, 0, 0, 0);

Dans le cas IV, le gradient est nul modulo p. Ainsi, si h modulo p n’est pas parallèle à l’une des formes I, II ou III, la somme S(h; p^{2}, 1) est nulle. Ceci nous autorise à supposer que h est de la forme

(3.10)  h = λ(v^{3}, −uv^{2}, u^{2}v, −u^{3}) + ph′,

avec (u, v) ∈ F_{p}^{2}, (u, v) ≠ (0, 0), λ ∈ 𝔽_{p}^{∗}, h′ = (h′_{1}, h′_{2}, h′_{3}, h′_{4}) ∈ 𝔽_{p}^{4}, dans cette écriture, il n’y a pas unicité de λ, u et v. Notons S_{I}(h; p^{2}, 1) la contribution à S(h; p^{2}, 1) des a de la forme (I). Puisque cette famille est stable par multiplication par α modulo p^{2} tel que (α, p) = 1, on a, par sommation de progressions géométriques, l’égalité

S_{I}(h; p^{2}, 1) = \frac{1}{p^{2} − p} ∑_{{α mod p^{2} \atop (α,p)=1}} ∑_{Δ(a)=0(mod p^{2}) grad_{a}Δ∥h(mod p)}^{(I)} e(α\frac{a . h}{p^{2}}),

qui donne encore

S_{I}(h; p^{2}, 1) = p^{2}.|{a de la forme (I) avec α = 1, grad_{a}Δ ∥ h(mod p), a . h ≡ 0(mod p^{2})}|

(3.11)  −p.|{a de la forme (I) avec α = 1, grad_{a}Δ ∥ h(mod p), a . h ≡ 0(mod p)}|.

Pour que les équations précédentes aient des solutions, il faut que dans l’écriture (3.10) de h, on ait u ≠ 0 modulo p. Ceci étant admis, on peut supposer que dans l’écriture de h on a u = 1 et dans ce cas, on est ramené à ne considérer que les a, de la forme (I), avec α = 1, β = v et γ ≠ v modulo p. Pour étudier (3.11), on étudie maintenant explicitement la relation

a . h = 0 modulo p ou p^{2}.

Avec les notations précédentes, on est ramené, après simplification par p, à l’équation

a . h′ = 0 modulo 1 ou p,

suivant les cas, soit encore, à compter le nombre de (β, γ) modulo p^{2}, vérifiant β = v modulo p, γ ≠ v modulo p, tels que

(3.12)  (h′_{1} + 2βh′_{2} + β^{2}h′_{3}) + γ(h′_{2} + 2βh′_{3} + β^{2}h′_{4}) = 0 modulo 1 ou p.

Pour discuter le nombre de solutions à cette équation linéaire en γ, on introduit le vecteur Υ(h), de 𝔽_{p}^{2}, défini par

Υ(h) = (u^{2}h′_{1} + 2uvh′_{2} + v^{2}h′_{3}, u^{2}h′_{2} + 2uvh′_{3} + v^{2}h′_{4}) := (Υ_{1}(h), Υ_{2}(h)),

cette définition dépend évidemment du choix de (u, v) dans l’écriture (3.10), mais ceci est sans importance pour les applications. Dans le cas où l’équation (3.12) est modulo 1, celle-ci a évidemment p^{3} + O(p^{2}) solutions.

Regardons maintenant (3.12) modulo p. On a facilement

• si Υ(h) = (0, 0), cette équation a p^{3} + O(p^{2}) solutions.

• si Υ_{2}(h) = 0 et Υ_{1}(h) ≠ 0, (3.12) n’a aucune solution.

• dans les autres cas, c’est–à–dire Υ_{2}(h) ≠ 0, (3.12) a p^{2} + O(p) solutions. En se retournant vers (3.11), nous avons donc montré que si h modulo p n’est pas de la forme (β^{3}, −β^{2}, β, −1) modulo p, la somme S_{I}(h; p^{2}, 1) est nulle. Si h est de la forme précédente, S_{I}(h; p^{2}, 1) vaut p^{5} + O(p^{4}) si Υ(h) = (0, 0) et O(p^{4}) si Υ(h) ≠ (0, 0).

L’étude de S_{II}(h; p^{2}, 1) est plus aisée puisque nous ne sommes guère exigeants. Une démarche identique montre qu’on a nécessairement β ≡ v modulo p, si on veut que h, décomposé par (3.10) avec u = 1, soit parallèle au gradient (voir II). De façon triviale, on voit que pour le triplet (α, β, α_{1}) on a effectivement O(p^{4}) choix, et ceci sert de majoration pour S_{II}.

L’étude de S_{III} est identique à celle de S_{I}, à condition de n’envisager que des h, qui, dans l’écriture (3.10), sont tels que v = 1 et u = 0.

Pour tenir compte de ces différentes situations, on définit Ξ(h, p) par les formules suivantes :

• Si h modulo p n’est pas de la forme

h = λ(v^{3}, −uv^{2}, u^{2}v, −u^{3}) + ph′,

avec (u, v) ∈ F_{p}^{2}, λ ∈ 𝔽_{p}^{∗}, h′ = (h′_{1}, h′_{2}, h′_{3}, h′_{4}) ∈ 𝔽_{p}^{4}, on pose Ξ(h, p) = 1.

• Si h est de la forme précédente, on pose

Ξ(h, p) = (Υ_{1}(h), Υ_{2}(h), p),

avec (Υ_{1}(h), Υ_{2}(h)) défini ci–dessus. Il est facile de vérifier, pour tout a premier à p, la relation

Ξ(ah, p) = Ξ(h, p).

Pour finir, remarquons que l’on a la majoration universelle

|S(h; p^{2}, 1)| ≤ |S(0; p^{2}, 1)| ≤ ν_{1}(p^{2}).p^{8} = O(p^{6}),

ceci nous sera utile pour le cas où (h, p) = p, qui implique d’ailleurs, Ξ(h, p) = p. Il est alors possible de regrouper ces différents résultats en le

LEMME 3.3. — La somme S(h; p^{2}, 1) vérifie la relation

S(h; p^{2}, 1) = O((h, p).Ξ(h, p).p^{4}).

c. Étude précise de S(h; 1, p^{2}).

On utilise la majoration triviale

|S(h; 1, p^{2}) − S(h; p^{2}, 1)| ≤ |{a modulo p^{2}; (a, p) = p}| = p^{4},

le Lemme 3.3 entraîne alors le

LEMME 3.4. — La somme S(h; 1, p^{2}) vérifie la relation

S(h; 1, p^{2}) = O((h, p).Ξ(h, p).p^{4}).

Les Lemmes 3.3 et 3.4 améliorent ainsi la Proposition 5.3 de [Be1], ou on trouve pour S(h; p^{2}, 1) et S(h; 1, p^{2}) une majoration en O((h, p)p^{5}).

d. Formule finale pour N^{∗}(B_{i}; r, s^{2}).

Par les formules (3.2) et (3.3), on a l’égalité

(3.13)  N^{∗}(B_{i}; r, s^{2}) = ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2})N^{∗}(B_{i}; 1, 1) + \frac{1}{r^{4}s^{8}} ∑_{{h mod rs^{2} \atop h≠0}} σ_{1}(h_{1})σ_{2}(h_{2})σ_{3}(h_{3})σ_{4}(h_{4})S(h; r, s^{2}),

avec (r, s) vérifiant (C.1) et

σ_{i}(h_{i}) = ∑_{α_{i}≤x_{i}≤α_{i}+ξQ} e(\frac{h_{i}x_{i}}{rs^{2}} ).

Signalons d’emblée la majoration

(3.14)  σ_{i}(h_{i}) = O(min(Q, ∥\frac{h_{i}}{rs^{2}} ∥^{−1})),

avec ∥x∥ désignant la distance du réel x à l’entier le plus proche. On décompose toujours r en r = r_{1}r_{2}^{2}, (r_{1}, r_{2}) = 1, r_{1} sans facteur carré et on définit, par multiplicativité

Ξ(h, r_{2}s) = ∏_{{p|r_{2}s \atop p>3}} Ξ(h, p).

Par la multiplicativité de la somme S et par application des Lemmes 3.1, 3.3 et 3.4, on a la majoration

(3.15)  S(h; r, s^{2}) = O((h, r_{1})(h, r_{2}s)(Δ^{∗}(h), r_{1})Ξ(h, r_{2}s)r_{1}r_{2}^{4}s^{4}C^{ω(r_{1}r_{2}s)}),

pour une certaine constante absolue C, pour r et s sans facteur carré.

Le second terme à droite de (3.13) est noté T, c’est un terme d’erreur que nous allons majorer en utilisant (3.15). Soient δ_{1}, D_{1}, δ_{2} et D_{2} quatre entiers tels que

(3.16)  δ_{1}|D_{1}|r_{1}; δ_{2}|D_{2}|r_{2}s.

Notons Λ(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) la somme

Λ(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) = ∑_{{h mod r_{1}r^{2}_{2}s^{2} \atop h≠0}} |σ_{1}(h_{1})||σ_{2}(h_{2})||σ_{3}(h_{3})||σ_{4}(h_{4})|,

la variable de sommation h vérifiant en plus les conditions de sommation

(h, r_{1}) = δ_{1}, (h, r_{2}s) = δ_{2}, (Δ^{∗}(h), r_{1}) = D_{1}, Ξ(h, r_{2}s) = D_{2}.

Après cette convention, on voit que T vérifie la relation

(3.17)  T ≪ \frac{(r_{1}r_{2}s)^{ε}}{r_{1}^{3}r_{2}^{4}s^{4}} ∑_{δ_{1}} ∑_{δ_{2}} ∑_{D_{1}} ∑_{D_{2}} δ_{1}δ_{2}D_{1}D_{2}Λ(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}),

avec δ_{1}, δ_{2}, D_{1} et D_{2} vérifiant (3.16).

On note aussi Λ^{(0)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}), Λ^{(1)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}), Λ^{(2)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) et Λ^{(3)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) les contributions à Λ(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) des h ayant exactement 0, 1, 2 et 3 composantes nulles modulo rs^{2}. Les quantités T^{(0)}, T^{(1)}, T^{(2)} et T^{(3)} se définissent de façon analogue à partir de T. Les quantités T^{(i)} et Λ^{(i)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) vérifient une inégalité analogue à (3.17).

d.1 Étude de Λ(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}).

Il est naturel de faire le changement de variables

h = δ_{1}δ_{2}k,

le vecteur k vérifiant alors les relations

(Δ^{∗}(k), \frac{r_{1}}{δ_{1}} ) = \frac{D_{1}}{δ_{1}} , Ξ(k, \frac{r_{2}s}{δ_{2}}) = Ξ(δ_{1}δ_{2}k, \frac{r_{2}s}{δ_{2}}) = \frac{D_{2}}{δ_{2}} ,

et étant tel que ses quatre composantes parcourent les classes modulo K := \frac{r_{1}}{δ_{1}} .δ_{2}.(\frac{r_{2}s}{δ_{2}})^{2}. Nous gardons aussi la

condition k ≠ 0 modulo K. On a toujours la condition de coprimalité (k, \frac{r_{1}}{δ_{1}} \frac{r_{2}s}{δ_{2}}) = 1.

Nous éclatons la sommation sur k en imposant la valeur des facteurs communs à k_{1}, à k_{2}, à \frac{D_{1}}{δ_{1}} et à \frac{D_{2}}{δ_{2}} . Soit d_{1} un diviseur de \frac{D_{1}}{δ_{1}} , de même soit d_{2} un diviseur de \frac{D_{2}}{δ_{2}} . Notons qu’il y a O((r_{1}r_{2}s)^{ε}) couples (d_{1}, d_{2}). Appelons Λ_{d_{1},d_{2}}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) la somme définie par les mêmes conditions que Λ(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}), à la différence près que le vecteur k = (k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}) = (δ_{1}δ_{2})^{−1}h vérifie les propriétés suivantes

• (k_{1}, k_{2}, \frac{D_{1}}{δ_{1}} ) = d_{1},

• (k_{1}, k_{2}, \frac{D_{2}}{δ_{2}} ) = d_{2}.

Ceci étant posé, on voit que k_{i} est de la forme k_{i} = d_{1}d_{2}n_{i} avec 0 ≤ n_{i} ≤ K/(d_{1}d_{2}) et i = 1 ou 2.

Étudions maintenant les congruences que doit vérifier k_{3} modulo d_{2} et \frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} .

• Si p|d_{2}, k doit être de la forme λ(v^{3}, −uv^{2}, u^{2}v, −u^{3}), on a donc v = 0 modulo p, et u ≠ 0 modulo p (sinon on aurait p|(k, \frac{r_{2}s}{δ_{2}}) ce qui est interdit), donc p|k_{3}. Or on doit avoir aussi p|Υ_{1}(k) donc p|k′_{1}. En conclusion, on a les relations d_{2}^{2}|k_{1} et d_{2}|k_{3} (on a décomposé k modulo p comme on l’a fait en (3.10) pour h).

• Si p divise \frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} . Le fait que k modulo p soit de la forme λ(v^{3}, −v^{2}u, vu^{2}, −u^{3}), entraîne que, lorsque k_{1} et k_{2} sont connus modulo p, on a v ≠ 0 modulo p et qu’il y a O(1) possibilités pour k_{3} et k_{4} modulo p. Puis, l’équation p|Υ_{1}(k) entraîne que k′_{3} modulo p ne peut prendre qu’une valeur lorsque u et v ont leurs valeurs fixées modulo p.

Terminons par les congruences que k_{4} doit vérifier modulo d_{1}, \frac{D_{1}}{d_{1}δ_{1}} , d_{2} et \frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} .

• Si p|d_{1}, le polynôme Δ^{∗}(k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}), considéré comme polynôme en k_{4} modulo p, est formellement nul, ceci n’entraîne donc aucune contrainte pour k_{4} modulo p, lorsque k_{1} = k_{2} = 0, modulo p.

• Si p|\frac{D_{1}}{d_{1}δ_{1}} et par conséquent p ne divise pas (k_{1}, k_{2}), le polynôme précédent n’est pas formellement nul. Lorsque k_{1}, k_{2} et k_{3} sont fixés, il y a au plus 2 valeurs pour k_{4} modulo p telles que Δ^{∗}(k) = 0 modulo p.

• Si p|d_{2} l’équation Υ_{2}(k) = 0 entraîne p|k′_{2}, ce qui signifie que d_{2}^{2}|k_{2}. En se reportant à ce qui précède, nous avions montré que d_{2}^{2}|k_{1} et que d_{2}|k_{3}.

• Si p|\frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} et ne divise donc pas d_{2}, en poursuivant le raisonnement fait pour k_{3} dans ce cas, on voit que v ≠ 0 modulo p, que k_{4} modulo p est connu dès que k_{1} et k_{2} le sont. Enfin l’équation p|Υ_{2}(k) entraîne la connaissance de k′_{4} modulo p.

Nous retiendrons de la discussion précédente les renseignements suivants, qui nous seront utiles pour l’étude de Λ_{d_{1},d_{2}}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2})

• La condition (k_{1}, k_{2}, \frac{D_{1}}{δ_{1}} ) = d_{1} n’entraîne aucune contrainte particulière pour k_{3} et k_{4} modulo d_{1}.

• Lorsque k_{1}, k_{2} et k_{3} sont fixés modulo \frac{D_{1}}{d_{1}δ_{1}} , il y a au plus O(r_{1}^{ε}) solutions pour k_{4} modulo \frac{D_{1}}{d_{1}δ_{1}} à l’équation Δ^{∗}(k) = 0.

• On a en fait les relations plus précises d_{2}^{2}|k_{1}, d_{2}^{2}|k_{2} et d_{2}|k_{3}.

• Si k_{1} et k_{2} sont fixés modulo (\frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} )^{2}, les nombres k_{3} et k_{4} appartiennent à O((r_{2}s)^{ε}) classes de congruences modulo (\frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} )^{2}.

d.2. Étude de Λ^{(0)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2})

Nous allons majorer Λ_{d_{1},d_{2}}^{(0)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) en sommant d’abord sur k_{4}. D’après l’étude précédente, on voit que,

lorsque k_{1}, k_{2} et k_{3} sont fixés, il existe O((r_{1}r_{2}s)^{ε}) entiers ν compris entre 1 et L_{4} := \frac{D_{1}}{d_{1}δ_{1}} .(\frac{D_{2}}{d_{2}δ_{2}} )^{2}, tel que k_{4} soit

de la forme

k_{4} = ν + ℓL_{4},

avec 0 ≤ ℓ ≤ KL_{4}^{−1}. Lorsque k_{4} est associé à la valeur ℓ = 0, on applique la majoration

σ_{4}(δ_{1}δ_{2}k_{4}) ≪ Q,

lorsque ℓ ≥ 1, la majoration

σ_{4}(δ_{1}δ_{2}k_{4}) ≪ \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{δ_{1}δ_{2}L_{4}} .\frac{1}{ℓ}

(voir (3.14)) car on peut toujours se restreindre au cas où 1 ≤ δ_{1}δ_{2}k_{4} ≤ \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{2} . Ceci conduit à l’inégalité

(3.18)  ∑_{h_{4}} |σ_{4}(h_{4})| ≪ (Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}d_{1}d_{2}^{2}δ_{2}}{D_{1}D_{2}^{2}} ).(r_{1}r_{2}s)^{ε}.

Pour sommer sur k_{3}, on remarque que, lorsque k_{1} et k_{2} sont fixés, il existe des entiers ν compris entre 1 et L_{3} := \frac{D_{2}^{2}}{d_{2}δ_{2}^{2}}

tels que

k_{3} = ν + ℓL_{3}

avec 0 ≤ ℓ ≤ KL_{3}^{−1}. Le nombre des ν est en O((r_{1}r_{2}s)^{ε}). En différenciant, comme précédemment, les cas ℓ = 0 et ℓ ≠ 0 on parvient à

(3.19)  ∑_{h_{3}} |σ_{3}(h_{3})| ≪ (Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}d_{2}δ_{2}}{δ_{1}D_{2}^{2}} ).(r_{1}r_{2}s)^{ε}.

Il reste à sommer sur k_{1} et k_{2}. Nous ne conservons que la propriété que chacun de ces entiers est divisible par d_{1}d_{2}^{2}, d’où la majoration

(3.20)  ∑_{h_{2}} |σ_{2}(h_{2})| ≪ \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{δ_{1}δ_{2}d_{1}d_{2}^{2}} .(r_{1}r_{2}s)^{ε},

et une majoration identique pour la somme sur h_{1}.

En regroupant avec (3.18), (3.19) et (3.20), nous sommes parvenus à

Λ_{d_{1},d_{2}}^{(0)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) ≪ (\frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{δ_{1}δ_{2}d_{1}d_{2}^{2}} )^{2}(Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}d_{2}δ_{2}}{δ_{1}D_{2}^{2}} )(Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}d_{1}d_{2}^{2}δ_{2}}{D_{1}D_{2}^{2}} ).(r_{1}r_{2}s)^{ε}

ce qui conduit, après sommation sur d_{1}|\frac{D_{1}}{δ_{1}} et d_{2}|\frac{D_{2}}{δ_{2}} , à la majoration suivante

Λ^{(0)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) ≪ (\frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{δ_{1}δ_{2}} )^{2}(Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}δ_{2}}{δ_{1}D_{2}^{2}} )(Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}δ_{2}}{D_{1}D_{2}^{2}} ).(r_{1}r_{2}s)^{ε}.

En reportant dans l’analogue de (3.17) pour T^{(0)}, on obtient, après sommation sur les δ_{1}, δ_{2}, D_{1} et D_{2}, la majoration

(3.21)  T^{(0)} ≪ ϑ(rs^{2}, Q)(r_{1}r_{2}s)^{ε}.

avec

ϑ(rs^{2}, Q) = r_{1}r_{2}^{4}s^{4} + r_{1}r_{2}^{2}s^{2}Q + r_{2}sQ^{2},

ayant décomposé r = r_{1}r_{2}^{2} comme en (3.1).

d.3. Étude de Λ^{(1)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2})

On étudie donc la contribution des h avec une seule coordonnée nulle. Imaginons que h_{3} = 0. On utilise la majoration triviale σ_{3}(0) ≪ Q ≪ (Q + \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}d_{2}δ_{2}}{δ_{1}D_{2}^{2}} ).(r_{1}r_{2}s)^{ε}. On reconnaît alors (3.19), les calculs précédents donnent donc

(3.22)  T^{(1)} ≪ ϑ(rs^{2}, Q)(r_{1}r_{2}s)^{ε}.

Le cas où c’est h_{4} qui est nul, est conduit de même. Par contre s’il s’agit de h_{1} ou de h_{2} qui est nul, il faut utiliser la relation d’échange de variables : Δ(a, b, c, d) = Δ(d, c, b, a) pour se ramener au cas précédent.

d.4. Étude de Λ^{(2)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2})

Le cas où nous aurions h_{3} = h_{4} = 0 se traite en utilisant σ_{3}(0), σ_{4}(0) ≪ Q et en se ramenant aux inégalités (3.18) et (3.19). Par contre on ne peut pas, par échange de variables, se ramener à ce cas, lorsque par exemple on a h_{2} = h_{3} = 0. Nous faisons alors une étude directe assez simple. On a d’après la définition, la majoration

Λ^{(2)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) ≪ Q^{2} ∑_{{δ_{1}δ_{2}|h_{1} \atop 1≤h_{1}≤r_{1}r^{2}_{2}s^{2}}} \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{h_{1}} ∑_{{δ_{1}δ_{2}|h_{4} \atop 1≤h_{4}≤r_{1}r^{2}_{2}s^{2}}} \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{h_{4}} ≪ Q^{2} \frac{(r_{1}r_{2}^{2}s^{2})^{2+ε}}{δ_{1}^{2}δ_{2}^{2}} ,

en reportant cette majoration dans l’analogue de (3.17) pour T^{(2)}, on a finalement

(3.23)  T^{(2)} ≪ (r_{2}sQ^{2})(r_{1}r_{2}s)^{ε}

d.5. Étude de Λ^{(3)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2})

Dans cette situation, nous utilisons la majoration

Λ^{(3)}(δ_{1}, D_{1}; δ_{2}, D_{2}) ≪ Q^{3} ∑_{{δ_{1}δ_{2}|h_{1} \atop 1≤h_{1}≤r_{1}r^{2}_{2}s^{2}}} \frac{r_{1}r_{2}^{2}s^{2}}{h_{1}} ≪ Q^{3} \frac{(r_{1}r_{2}^{2}s^{2})^{1+ε}}{δ_{1}δ_{2}} ,

qui fournit la majoration

(3.24)  T^{(3)} ≪ \frac{Q^{3}}{r_{1}r_{2}s}.(r_{1}r_{2}s)^{ε} ≪ r_{2}sQ^{2}.(r_{1}r_{2}s)^{ε},

puisqu’on a supposé (3.1). En regroupant les relations (3.21),...,(3.24), on a finalement

(3.25)  T ≪ ϑ(rs^{2}, Q)(r_{1}r_{2}s)^{ε}

Finalement, les formules (3.13) et (3.25) donnent l’expression

(3.26)  N^{∗}(B; r, s^{2}) = ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2})N^{∗}(B; 1, 1) + O(ϑ(rs^{2}, Q)(rs^{2})^{ε}).

valable pour 1 ≤ Q ≤ rs^{2}, r et s vérifiant (C.1), avec ϑ(rs^{2}, Q) défini en (3.21). Signalons que, le résultat de ([Be1] page 929), transposé dans nos notations, conduit à la valeur moins forte ϑ(rs^{2}, Q) = r_{1}^{2}r_{2}^{5}s^{5} (toujours pour Q ≤ rs^{2} = r_{1}r_{2}^{2}s^{2}) et que (3.26) reste vraie si B est le produit de 4 intervalles de longueurs inférieures à Q. Par contre, lorsque B est une boîte avec Q = rs^{2}, cette boîte contient un représentant et un seul des classes modulo rs^{2} dans ℤ^{4}. Il n’y a donc pas lieu de faire un développement en série de Fourier (3.2).

Dans le cas où (3.1) n’est pas vérifié, on décompose B en O((Qr^{−1}s^{−2}+1)^{4}) cubes de côté rs^{2} ou de cubes incomplets (produit de 4 intervalles de longueurs inférieures à ξrs^{2}, situés sur les bords du découpage de B) et on applique (3.26) à chacun des cubes incomplets et ceux–ci sont au nombre de O((Qr^{−1}s^{−2} + 1)^{3}). En posant

\{ \begin{matrix}ϑ^{∗}(rs^{2}, Q) & = & ϑ(rs^{2}, min(rs^{2}, Q)) & si rs^{2} ≠ Q \\ ϑ^{∗}(rs^{2}, rs^{2}) & = & 0 \end{matrix}

on peut énoncer la

PROPOSITION 3.1. — Soient r et s vérifiant (C.1). Pour tout cube B de côté ξQ, on a l’égalité

N^{∗}(B; r, s^{2}) = ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2})N^{∗}(B; 1, 1) + O(ϑ^{∗}(rs^{2}, Q)(Qr^{−1}s^{−2} + 1)^{3}(rs^{2})^{ε}).

En regroupant la Proposition 2.12, le Lemme 2.13, la Proposition 3.1 et (3.4), on peut énoncer la

PROPOSITION 3.2. — Pour tout ε > 0, tout ρ, tout Q ≥ 1, tout entier r et tout entier s vérifiant (C.1), on a l’égalité

(3.27)  \begin{matrix}H_{r,s^{2}}^{∗}(X) = ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2})\frac{π^{2}}{72} X \\ +O(ϑ^{∗}(rs^{2}, Q)Q^{−4}X(Qr^{−1}s^{−2} + 1)^{3}(rs^{2})^{ε} + (rs^{2})^{−1+ε}G(X, ρ, Q)) + O(  ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(rs^{2})|Δ(a,b,c,d)}} 1). \end{matrix}

Une égalité similaire a lieu pour les discriminants négatifs à condition de remplacer 72 par 24.

Rappelons que D est constitué de la réunion de D^{bord}(X, ρ, Q) et d’autres sous–ensembles qui contiennent O(X^{1−ρ} +X^{\frac{3}{4} +ε}) points entiers (voir la définition de D(X, ρ, Q), après (2.6)). L’ensemble D^{bord}(X, ρ, Q) n’est pas trop alambiqué, puisqu’il est inclus dans les boîtes B_{j} avec j ∈ J et j ∉ I. Ces boîtes sont au nombre de O(Q^{−4}E(X, ρ, Q)) (voir (2.5)), pour lesquelles la Proposition 3.1 s’applique. Nous pouvons énoncer la

PROPOSITION 3.3. — Pour tout X ≥ 1, tout ε > 0, tout ρ > 0, tout Q ≥ 1, il existe un ensemble D′ = D′(X, ρ) de cardinal O(X^{1−ρ} + X^{\frac{3}{4} +ε}) tel qu’on ait, pour tout r et tout s vérifiant (C.1), l’égalité

(3.28) \begin{matrix}H_{r,s^{2}}^{∗}(X) = ν_{1}(r)ν_{2}(s^{2})\frac{π^{2}}{72} X \\ +O(ϑ^{∗}(rs^{2}, Q)Q^{−4}(X + E(X, ρ, Q))(Qr^{−1}s^{−2} + 1)^{3}(rs^{2})^{ε} + (rs^{2})^{−1+ε}G(X, ρ, Q)) + O(  ∑_{{(a,b,c,d)∈D′ \atop κ(rs^{2})|Δ(a,b,c,d)}} 1). \end{matrix}

Une égalité similaire a lieu pour les discriminants négatifs à condition de remplacer 72 par 24.

Si on majore trivialement le dernier terme par O(|D′|), on a déjà un renseignement intéressant mais uniquement pour les petites valeurs de rs^{2}.

IV. THÉORÈMES DE TYPE BRUN–TITCHMARSH.

La Proposition 3.3 souffre d’être sans intérêt lorsque r_{2}^{2} (voir la décomposition de l’entier r donnée lors de l’énoncé de (C.1)) ou s^{2} est grand. Pourtant il nous faut des renseignements de valeur dans une telle région, puisqu’ils sont nécessaires pour cribler et ainsi accéder à des discriminants fondamentaux. Les énoncés des Propositions 4.1 et 4.4 ne sont pas sans rappeler leurs équivalents pour la répartition des nombres premiers dans les progressions arithmétiques de raisons trop grandes pour être abordées par les méthodes actuelles d’analyse complexe.

a. Un résultat individuel

Nous montrerons la

PROPOSITION 4.1. — Soit q et n deux entiers sans facteur carré, premiers entre eux. Alors, pour tout ε positif, le nombre de classes de formes cubiques binaires, primitives ou non, irréductibles de discriminant D compris entre −X et X, divisible par n^{2}q et appartenant à V_{q} est

≪_{ε} X^{ε}(\frac{X}{n^{2}q} + \frac{X^{\frac{15}{16}}}{n^{\frac{15}{8}} q^{\frac{1}{12}}} + \frac{q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{3}{4}}}{n^{\frac{3}{2}}} + \frac{q^{\frac{10}{9}} X^{\frac{1}{2}}}{n} ).

Cet énoncé est de la même veine que le Lemme 6.4 de [Be1] (lui–même hérité de [D–H2]) mais il est plus général (l’entier n n’est plus nécessairement premier) et plus précis, puisque la Proposition 3.3 remplace avantageusement la Proposition 5.5 de [Be1].

a.1. Lemmes préparatoires

Comme dans [D–H2] et dans [Be1], on commence par compter le nombre de classes de formes cubiques, dont le hessien est réductible (signalons qu’un tel hessien est improprement équivalent à la forme quadratique My(kx + ℓy), avec 0 ≤ l < k et (k, ℓ) = 1). Soit τ la fonction nombre de diviseurs. On a

LEMME 4.2. — Soit B(k, M) le nombre de classes de formes cubiques dont le hessien est équivalent à My(kx + ℓy) avec 0 ≤ ℓ < k et (k, ℓ) = 1. On a alors l’inégalité

B(k, M) ≤ 2kτ(M).

De plus, si n sans facteur carré divise k et vérifie (n, M) = 1, on a l’inégalité plus précise

B(k, M) ≤ 6^{ω(n)}kτ(M)/n.

Preuve. On se reporte à la démonstration de ([D–H2] Lemma 8). Si F = ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3}, on voit que F est déterminée par les valeurs de a, k, ℓ et M. On a aussi les congruences

3aℓ^{2} ≡ 0 (mod k^{2}) et 9a^{2}ℓ^{3} ± Mk^{4} ≡ 0(mod 9ak^{3}).

Si k = 1, alors ℓ = 0 et la deuxième congruence prouve que que a divise M, soit τ(M) choix possibles.

Si k est différent de 1, on pose s = 3ak^{−2} (∈ ℕ), d’où s^{2}ℓ^{3} ± M ≡ 0 modulo 3sk, soit s|M. On a donc τ(M) choix possibles pour s, donc pour a. On a donc au plus, k choix pour ℓ et le ± donne le facteur 2. D’où la première partie du Lemme 4.2.

Maintenant si p|k, avec (p, M) = 1, alors p ne divise pas s et la congruence s^{2}ℓ^{3} ± M ≡ 0 modulo p a au plus 6 solutions en ℓ, donc au plus 6^{ω(n)}kn^{−1} solutions en ℓ dans [0, k[.

■

De ce lemme, nous déduisons le

LEMME 4.3. — Soit n un entier sans facteur carré. Le nombre de classes de formes cubiques de discriminant D avec |D| ≤ X telles que n^{2} divise D et telles que le hessien soit réductible est

≪ 12^{ω(n)} \frac{X}{n^{2}} .

Preuve. Puisque le hessien est réductible, il est de la forme (à équivalence près) My(kx + ℓy) avec 0 ≤ ℓ < k et (k, ℓ) = 1. On a aussi la relation D = −3M^{2}k^{2}, donc n|Mk, soit encore, en décomposant n = uv : v|M, u|k, (u, Mv^{−1}) = 1. D’après le Lemme 4.2, le cardinal étudié est

≤ ∑_{uv=n} ∑_{{k′M′≤\sqrt{3X}/n \atop (u,vM′)=1}} B(uk′, vM′) ≪ ∑_{uv=n} 6^{ω(u)} ∑_{M′} τ(vM′) ∑_{k′≤\sqrt{3X}/(nM′)} k′ ≪ 12^{ω(n)} \frac{X}{n^{2}} .

■

a.2. Preuve de la Proposition 4.1

Intéressons–nous d’abord aux classes de formes cubiques, de discriminant D, avec un hessien réductible. Or ce hessien est de discriminant −3D et doit être un carré. Donc D est de la forme −3α^{2}, avec α ∈ ℕ et q|D. Mais D appartient à V_{ℓ} pour tout ℓ premier divisant q. Ceci n’est possible que si q = 1 ou q = 3. Que cet ensemble de formes cubiques soit vide ou non, le Lemme 4.3 donne la majoration O_{ε}(\frac{X^{1+ε}}{qn^{2}} ).

Passons aux formes cubiques de discriminant D, avec un hessien irréductible. Ce hessien est de la forme MH_{1}, avec M ∈ ℤ^{∗}, H_{1} forme quadratique primitive, de discriminant f^{2}Δ avec Δ discriminant fondamental. On a donc la relation

−3D = f^{2}M^{2}Δ.

Par ([D–H2] Lemma 10), on sait qu’il y a O(τ(M)3^{ω(f)}h_{3}^{∗}(Δ)) classes de formes cubiques dont le hessien est dans la classe de MH_{1}. La nature de la majoration recherchée nous permet de supposer que n et q sont premiers à 6, donc n divise fM.

L’hypothèse D ∈ V_{q} implique alors q|Δ. Le nombre A de classes recherché est ainsi

(4.1)  A ≪ ∑_{{f,M \atop n|fM}} τ(M)3^{ω(f)} ∑_{{|Δ|≤ \frac{X}{3f^{2}M^{2}} \atop q|Δ}} h_{3}^{∗}(Δ) ≪ X^{ε} ∑_{{u \atop n|u}} ∑_{{|Δ|≤ \frac{X}{3u^{2}} \atop q|Δ}} H(Δ) + \frac{X^{1+ε}}{n^{2}q} .

La Proposition 2.3 et la formule (2.9) donnent la majoration

∑_{{|Δ|≤Y \atop q|Δ}} H(Δ) ≤ H_{q,1}^{∗}(Y) + H_{q,1}^{∗}(−Y),

(la notation H_{q,1}^{∗}(−Y) signifie qu’on dénombre des classes de formes cubiques de discriminant compris entre −Y et 0). En majorant trivialement le dernier terme à droite de l’égalité de la Proposition 3.3 par O(|D′|) = O(Y^{1−ρ} + Y ^{\frac{3}{4} +ε}) on parvient à la relation

∑_{{|Δ|≤Y \atop q|Δ}} H(Δ) ≪ \frac{Y}{q} + ϑ^{∗}(q, Q)\frac{Y + E(Y, ρ, Q)}{Q^{4}}(\frac{Q}{q} + 1)^{3}Y^{ε} + \frac{G(Y, ρ, Q)}{q}Y^{ε} + Y^{1−ρ} + Y ^{\frac{3}{4} +ε}.

On choisit alors

Q = q^{\frac{2}{3}} , Y^{ρ} = Y ^{\frac{1}{16}} q^{\frac{1}{12}} .

Puisque q est sans facteur carré, on a ϑ^{∗}(q, Q) ≪ q^{\frac{5}{3}} , d’où la majoration

(4.2)  ∑_{{|Δ|≤Y \atop q|Δ}} H(Δ) ≪ (\frac{Y}{q} + \frac{Y ^{\frac{15}{16}}}{q^{\frac{1}{12}}} + q^{\frac{2}{3}} Y ^{\frac{3}{4}} + q^{\frac{5}{4}} Y ^{\frac{7}{16}} + q^{\frac{5}{3}} )Y^{ε}.

La majoration précédente est de mauvaise qualité pour q grand par rapport à Y. Il vaut mieux dans ce cas recourir à la majoration suivante, conséquence de (1.3)

(4.3)  ∑_{{|Δ|≤Y \atop q|Δ}} H(Δ) ≪ Y.

On reporte (4.2) dans (4.1), avec Y = \frac{X}{3u^{2}} et on somme sur les u ≤ q^{− \frac{10}{9}} \sqrt{X} divisibles par n. Pour les u restants, on utilise la majoration (4.3), d’où

A ≪ X^{ε}(\frac{X}{n^{2}q} + \frac{X^{\frac{15}{16}}}{n^{\frac{15}{8}} q^{\frac{1}{12}}} + \frac{q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{3}{4}}}{n^{\frac{3}{2}}} + \frac{q^{\frac{10}{9}} X^{\frac{1}{2}}}{n} ).

■

b. Un résultat en moyenne

Le but de la Proposition 4.4 est de notablement améliorer cette inégalité, mais en moyenne. Nous introduisons la notation suivante, valable pour tout entier l, tout entier m et ε > 0 très petit :

Q_{m,ε} = max([(\frac{X}{m^{2}} )^{\frac{1}{4}} X^{−ε}], 1), D_{m,ε}^{∗} = D(\frac{X}{m^{2}} , ε, Q_{m,ε}),

où D(X, ρ, Q) est défini après (2.6). On a

PROPOSITION 4.4. — Soit q sans facteur carré, n un entier premier avec q. Alors, pour tout ε positif, le nombre de classes de formes cubiques binaires, primitives ou non, irréductibles, de discriminant D compris entre −X et X, divisible par n^{2}q et appartenant à V_{q} est

≪ (\frac{X}{n^{2}q} + \frac{q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2}}}{n} )X^{5ε} + ∑_{l≤\sqrt{X}/(nq^{2/3})} ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop ln,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1.

Démonstration. On suit la démonstration de la Proposition 4.1. On part donc de l’inégalité (4.1) mais on utilise la Proposition 3.2 (au lieu de la Proposition 3.3). En posant u = ln et en donnant à X et à Q respectivement les valeurs ±X/(l^{2}n^{2}) et Q_{ln,ε}, on a

H_{q,1}^{∗}(\frac{X}{l^{2}n^{2}} ) ≪ ν_{1}(q)\frac{X}{l^{2}n^{2}} + ϑ^{∗}(q, Q_{ln,ε})X^{5ε}(1 + \frac{X^{\frac{1}{4}}}{(ln)^{\frac{1}{2}} q} )^{3} + \frac{X}{l^{2}n^{2}q} q^{ε} + ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop ln,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1,

ce qui donne

(4.4)  H_{q,1}^{∗}(\frac{X}{l^{2}n^{2}} ) ≪ \frac{X^{1+5ε}}{ql^{2}n^{2}} + ϑ^{∗}(q, Q_{ln,ε})X^{5ε} + ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop ln,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1.

Rappelons qu’on a trivialement, pour q sans facteur carré, la relation

(4.5)  ϑ^{∗}(q, Q_{ln,ε}) ≪ q^{2}.

Au lieu de la majoration (4.4), on a aussi la majoration triviale (4.3). On pose L_{1} = n^{−1}q^{−2}X^{\frac{1}{2}} , L_{2} = n^{−1}q^{− \frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2}} . Pour 1 ≤ l ≤ L_{1}, on utilise (4.5) ; pour L_{1} < l ≤ L_{2}, on a ϑ^{∗}(q, Q_{ln,ε}) ≪ qQ_{ln,ε}. Enfin pour l ≥ L_{2}, on utilise (4.3). Le calcul donne donc

A ≪ (\frac{X}{n^{2}q} + \frac{X^{\frac{1}{2}}}{n} + \frac{q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2}}}{n} )X^{5ε} + ∑_{l≤L_{2}} ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop ln,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1,

d’où la Proposition 4.4.

■

V. DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES 1 ET 2. Nous suivons les notations de [Be1] §6 : soient q et r deux entiers premiers entre eux, avec q sans facteur carré

et r impair et soit R un multiple de q sans facteur carré. On pose alors f(R, q, r, X) le nombre de classes de formes cubiques ax^{3} + bx^{2}y + cxy^{2} + dy^{3}, de discriminant compris entre 0 et X telles que

• la forme F = (a, b, c, d) est irréductible,

• q divise Δ(a, b, c, d),

• Δ(a, b, c, d) ∈ V_{R},

• pour tout premier p|r, on a Δ(a, b, c, d) ≡ 0(mod p^{2}). On note aussi P_{Y} = ∏_{p≤Y} p. On a donc l’égalité

N_{0,q}(0, X; V) = f(P_{∞}, q, 1, X).

Par le principe d’inclusion–exclusion, on a, en posant

Y = \frac{log X}{log_{3} X} , Z = X^{ε},

l’égalité

N_{0,q}(0, X; V) = f(qP_{Y} , q, 1, X) − ∑_{{Y <p≤Z \atop (p,q)=1}} f(qP_{Y} , q, p, X)

(5.1)  +O( ∑_{{Y <p_{1}<p_{2}≤Z \atop (p_{1}p_{2},q)=1}} f(qP_{Y} , q, p_{1}p_{2}, X)) + O( ∑_{{p>Z \atop (p,q)=1}} f(qP_{Y} , q, p, X)),

= A_{1} − A_{2} + O(A_{3}) + O(A_{4}),

par définition.

a. Preuve d’une forme moins forte du Théorème 1 Nous allons, dans un premier temps, montrer l’exactitude du Théorème 1, mais sous la containte plus forte

q ≤ X^{\frac{1}{16} −ε}. Ce premier pas présente plusieurs avantages : d’abord celui de rendre cet exposé complet, d’introduire la méthode dans un cadre plus simple, enfin, de clarifier le bas de la page 929 de [Be1], qui permettait de parvenir à q ≤ X^{\frac{1}{15} −ε}.

a.1. Étude de A_{4}. Nous appliquons la Proposition 4.1 : on a

A_{4} ≤ ∑_{p>Z} |{F ∈ Φ; Δ(F) ≤ X, F ∈ V_{q}, Δ(F) ≡ 0(mod qp^{2})}|,

d’où

A_{4} ≪ X^{\frac{ε}{2}} ∑_{p>Z}(\frac{X}{p^{2}q} + \frac{X^{\frac{15}{16}}}{p^{\frac{15}{8}} q^{\frac{1}{12}}} + \frac{q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{3}{4}}}{p^{\frac{3}{2}}} + \frac{q^{\frac{10}{9}} X^{\frac{1}{2}}}{p} ),

enfin, en sommant sur p, on a la majoration

(5.2)  A_{4} ≪ \frac{X}{q} X^{− \frac{ε}{2}} ,

dès que q ≤ X^{\frac{3}{44} −ε}.

a.2. Une formule exacte pour f(R, q, r, X). Nous appliquons là–aussi le principe d’inclusion–exclusion en séparant le cas des pairs et des impairs, sous la forme

f(R, q, r, X) = ∑_{{d|R \atop (d,2q)=1}} μ(d) ∑_{{δ|q \atop (2,δ)=1}} μ(δ)H_{δq,d^{2}r^{2}}^{∗}(X) + ∑_{{2d|R \atop (2d,q)=1}} μ(2d) ∑_{δ|q} μ(δ)H_{δq,16d^{2}r^{2}}^{∗}(X)

(5.3)  + ∑_{{d|R \atop (d,2q)=1}} μ(d) ∑_{2δ|q} μ(2δ)H_{8δq,d^{2}r^{2}}^{∗}(X).

Pour faciliter l’exposé, on suppose que R (donc q) est impair (le cas où q est pair se traite en tenant compte des trois termes à droite de (5.3)). On fait appel évidemment à la Proposition 3.3, avec r = qδ et s^{2} = d^{2}r^{2}. Ainsi le coefficient du terme principal est

(∑_{δ|q} μ(δ)ν_{1}(qδ))( ∑_{{(d,q)=1 \atop d|R}} μ(d)ν_{2}(d^{2}r^{2})) = ν_{1}(q)ν_{2}(r^{2})(∑_{δ|q} μ(δ)\frac{ν_{1}(δ^{2})}{ν_{1}(δ)}) ∏_{{p|R \atop (p,q)=1}}(1 − ν_{2}(p^{2})),

soit encore

(5.4)  \frac{ν(q)}{q}ν_{2}(r^{2}) ∏_{p|R}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2},

où la fonction ν est celle du Théorème 0. La formule (5.3) comporte τ(R) termes et on a toujours d|Rq^{−1}. On choisit Q = δqd^{2}r^{2}. Le terme en ϑ^{∗} dans (3.28) est alors nul. La Proposition 3.3, pour r_{1}, r_{2} et s valant respectivement \frac{q}{δ}, δd et r, engendre donc pour terme d’erreur dans (5.3), un terme qui est

(5.5)  ≪ ∑_{{d|R \atop (d,q)=1}} ∑_{δ|q}\{\frac{G(X, ρ, δqd^{2}r^{2})}{δqd^{2}r^{2}}X^{ε} + X^{1−ρ} + X^{\frac{3}{4} +ε}\}.

Donnons à ρ la valeur \frac{1}{16}. Le terme d’erreur (5.5) a l’écriture explicite suivante

(5.6)  ≪ ∑_{{d|R \atop (d,q)=1}} ∑_{δ|q}\{\frac{δqd^{2}r^{2}X^{\frac{15}{16}} + δ^{2}q^{2}d^{4}r^{4}X^{\frac{3}{4}} + δ^{3}q^{3}d^{6}r^{6}X^{\frac{7}{16}} + δ^{4}q^{4}d^{8}r^{8}}{δqd^{2}r^{2}} X^{ε} + X^{\frac{15}{16}} \},

en sommant sur δ et sur d, et en regroupant avec (5.4), nous parvenons à la

PROPOSITION 5.1. — On a l’égalité suivante, pour tout ε > 0, tout q sans facteur carré, tout R multiple de q, tout r impair, premier à R :

f(R, q, r, X) = \frac{ν(q)}{q}ν_{2}(r^{2}) ∏_{p|R}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2} \frac{π^{2}X}{72} + O((X^{\frac{15}{16}} + r^{2}R^{2}X^{\frac{3}{4}} + r^{4}R^{4}X^{\frac{7}{16}} + r^{6}R^{6})(RX)^{ε}).

a.3. Étude de A_{1}.

En donnant à r et R les valeurs 1 et qP_{Y} ≪ qX^{\frac{ε}{10}} , la Proposition 5.1 donne l’égalité

(5.7)  A_{1} = \frac{ν(q)}{q} ∏_{{p≤Y \atop ou p|q}} (1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2} \frac{π^{2}X}{72} + O((X^{\frac{15}{16}} + q^{2}X^{\frac{3}{4}} + q^{4}X^{\frac{7}{16}} + q^{6})X^{ε}).

a.4. Étude de A_{2}.

Nous appliquons là–aussi la Proposition 5.1 avec R = qP_{Y} et une sommation sur r = p compris entre Y et Z et ne divisant pas q. Puisque l’intervalle de variations de p est petit, le terme d’erreur est identique à celui de (5.7), quitte à modifier la puissance X^{ε}. Par contre le terme principal est

\frac{ν(q)}{q} \frac{π^{2}X}{72} ∏_{{p≤Y \atop ou p|q}} (1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2} ∑_{{Y <p≤Z \atop (p,q)=1}} ν_{2}(p^{2}).

Grâce à la formule (5.7), on voit que le terme principal de A_{1} − A_{2} est

\frac{ν(q)}{q} \frac{π^{2}X}{72} ∏_{{p≤Y \atop ou p|q}} (1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2}(1 − ∑_{{Y <p≤Z \atop (p,q)=1}} ν_{2}(p^{2})).

On écrit alors l’égalité

∏_{{Y <p≤Z \atop (p,q)=1}} (1 − ν_{2}(p^{2})) = 1 − ∑_{{Y <p≤Z \atop (p,q)=1}} ν_{2}(p^{2}) + O(Y^{−2}(log Y)^{−2}),

pour parvenir finalement à la relation

(5.8)  A_{1} − A_{2} = \frac{ν(q)}{q} \frac{π^{2}X}{72} (\frac{36}{π^{4}} + O(Y^{−2}(log Y)^{−2}) + O((X^{\frac{15}{16}} + q^{2}X^{\frac{3}{4}} + q^{4}X^{\frac{7}{16}} + q^{6})X^{10ε}).

a.5. Étude de A_{3}.

Pour sommer la formule apparaissant dans (5.1), nous appliquons la Proposition 5.1, avec r = p_{1}p_{2}, R étant le produit qP_{Y}. Le terme d’erreur est le même que dans (5.8) à condition d’augmenter le coefficient de ε. En utilisant le fait que

∑_{Y ≤p_{1}<p_{2}≤Z} ν_{2}(p_{1}^{2}p_{2}^{2}) ≪ Y^{−2}(log Y)^{−2},

on a la relation

(5.9)  A_{3} ≪ Xq^{−1}Y^{−2}(log Y)^{−2} + (X^{\frac{15}{16}} + q^{2}X^{\frac{3}{4}} + q^{4}X^{\frac{7}{16}} + q^{6})X^{20ε}.

En regroupant (5.1), (5.2), (5.8) et (5.9), on a l’égalité

∑_{{Δ∈Δ^{+}(X) \atop q|Δ}} 1 = N_{0,q}(0, X; V) = \frac{ν(q)}{q} \frac{X}{2π^{2}} + O(\frac{X log_{3}^{2} X}{q log^{2} X log_{2}^{2} X} ) + O(X^{\frac{15}{16}} + q^{2}X^{\frac{3}{4}} + q^{4}X^{\frac{7}{16}} + q^{6})X^{20ε})

= \frac{ν(q)}{q} \frac{X}{2π^{2}} + O(\frac{X log_{3}^{2} X}{q log^{2} X log_{2}^{2} X} ),

pourvu que q ≤ X^{\frac{1}{16} −30ε}. La preuve de la forme moins forte du Théorème 1 est ainsi complète.

b. Preuve du Théorème 1.

Nous pouvons donc supposer que l’entier q sans facteur carré vérifie

(5.10)  X^{\frac{1}{16} −ε} ≤ q ≤ X^{\frac{3}{44} −ε}.

Nous donnons à Y et à Z les mêmes valeurs que précédemment, mais nous donnons à Q une valeur plus faible et à ρ une valeur plus grande :

Q = [δq^{γ}d^{2}r^{2}], ρ = \frac{3}{44},

et γ sera un réel que l’on prendra arbitrairement proche, de \frac{2}{3}, mais supérieur à ce nombre. Avec ces conventions, (5.2) reste valable, par contre le terme d’erreur (5.5) doit être modifié en

(5.11)  ≪ X^{\frac{ε}{2}} ∑_{{d|R \atop (d,q)=1}} ∑_{δ|q}\{\frac{ϑ^{∗}(δqd^{2}r^{2}, Q)X}{Q^{4}} + \frac{G(X, \frac{3}{44}, Q)}{δqd^{2}r^{2}} + X^{\frac{41}{44}} \},

puisque, par application de la Proposition 3.3, la fonction ϑ^{∗} est maintenant non nulle. Rendons explicite le terme d’erreur en revenant aux définitions des fonctions ϑ^{∗} et G, on trouve qu’il est

≪ X^{\frac{ε}{2}} ∑_{{d|R \atop (d,q)=1}} ∑_{δ|q}\{X(\frac{1}{δq^{4γ−1}d^{4}r^{4}} + \frac{1}{δ^{2}q^{3γ−1}d^{4}r^{4}} + \frac{1}{δq^{2γ}d^{3}r^{3}} )+

(\frac{X^{\frac{21}{22}}}{q^{1−γ}} + δq^{2γ−1}d^{2}r^{2}X^{\frac{17}{22}} + δ^{2}q^{3γ−1}d^{4}r^{4}X^{\frac{5}{11}} + δ^{3}q^{4γ−1}d^{6}r^{6}) + X^{\frac{41}{44}} \}.

En sommant maintenant sur δ|q et sur d|Rq^{−1}, on a une version modifiée de la Proposition 5.1, à savoir

PROPOSITION 5.2. — On a l’égalité suivante, pour tout ε > 0, pour tout γ > 0, tout q sans facteur carré, tout R multiple de q, tout r impair, premier à R :

f(R, q, r, X) = \frac{ν(q)}{q}ν_{2}(r^{2}) ∏_{p|R}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2} \frac{π^{2}X}{72} +

O((\frac{X}{q^{3γ−1}r^{4}} + \frac{X}{q^{2γ}r^{3}} + \frac{X^{\frac{21}{22}}}{q^{1−γ}} + \frac{r^{2}R^{2}X^{\frac{17}{22}}}{q^{2−2γ}} + \frac{r^{4}R^{4}X^{\frac{5}{11}}}{q^{3−3γ}} + \frac{r^{6}R^{6}}{q^{4−4γ}} + X^{\frac{41}{44}} )(RX)^{ε}).

La démarche est alors la même pour obtenir une formule pour A_{1} − A_{2} et une majoration pour A_{3} à la différence près que le terme d’erreur doit être modifié pour tenir compte de la Proposition 5.2. Pour être plus précis, on arrive à l’égalité

∑_{{Δ∈Δ^{+}(X) \atop q|Δ}} 1 = \frac{ν(q)}{q} \frac{X}{2π^{2}} + O(\frac{X log_{3}^{2} X}{q log^{2} X log_{2}^{2} X} ) + O((\frac{X}{q^{3γ−1}} + \frac{X}{q^{2γ}} + \frac{X^{\frac{21}{22}}}{q^{1−γ}} + q^{2γ}X^{\frac{17}{22}} + q^{3γ+1}X^{\frac{5}{11}} + q^{4γ+2} + X^{\frac{41}{44}} )X^{10ε}),

d’où le Théorème 1, en raison de l’hypothèse (5.10) et en prenant γ de la forme γ = \frac{2}{3} + 100ε.

c. Preuve d’une forme moins forte du Théorème 2.

Dans un premier temps, nous démontrons le Théorème 2, avec l’exposant \frac{1}{5} au lieu de \frac{2}{7}. Du point de vue combinatoire notre démarche est la même qu’aux §V.a et §V.b pour décomposer N_{0,q}(0, X; V) (formule (5.1)). Mais nous utilisons les Propositions 3.2 et 4.4 au lieu des Propositions 3.3 et 4.1. Pour ε très petit, on fixe les notations suivantes : γ est une constante positive que l’on fixera par la suite et on pose

ρ = ε, Q′ ≤ q < 2Q′, Q = [Q^{′γ}],

et on impose l’inégalité

(5.12)  Q < X^{\frac{1}{4} −10ε}.

Avec ces conventions, on a, par la Proposition 3.2, l’égalité

(5.13) H_{δq,d^{2}r^{2}}^{∗}(X) = ν_{1}(δq)ν_{2}(d^{2}r^{2})\frac{π^{2}X}{72} + O(ϑ^{∗}(δqd^{2}r^{2}, q^{γ})\frac{X}{q^{4γ}} (\frac{q^{γ}}{δqd^{2}r^{2}} + 1)^{3}) + O(\frac{X^{1−ε}}{δqd^{2}r^{2}} ) + O( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1),

où D = D(X, ε, Q) est un sous–ensemble de points de ℤ^{4} vérifiant 0 < Δ(a, b, c, d) ≪ X et

|D| = O(G(X, ε, Q)) = O(X^{1−ε}),

(insistons sur le fait que D est indépendant de q dans l’intervalle [Q′, 2Q′].) La formule (5.13) se transforme en (5.14)

\begin{matrix}H_{δq,d^{2}r^{2}}^{∗}(X) = ν_{1}(δq)ν_{2}(d^{2}r^{2})\frac{π^{2}X}{72} \\ +O(X^{1+ε}(\frac{1}{d^{2}r^{2}q^{2+γ}} + \frac{1}{δ^{2}d^{4}r^{4}q^{2}} + \frac{1}{δ^{2}d^{5}r^{5}q^{3−γ}} + \frac{δ^{3}d^{4}r^{4}}{q^{4γ−1}} + \frac{δd^{2}r^{2}}{q^{3γ−1}} + \frac{δdr}{q^{2γ}} )) + O(\frac{X^{1−ε}}{δqd^{2}r^{2}} ) + O( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1). \end{matrix}

En sommant sur sur δ|q et d|Rq^{−1} on arrive à la

PROPOSITION 5.3. — On a l’égalité suivante, pour tout ε > 0, pour tout γ > 0, tout q sans facteur carré, tout R multiple de q, tout r impair, premier à R et tout Q vérifiant (5.12) :

\begin{matrix}f(R, q, r, X) = \frac{ν(q)}{q}ν_{2}(r^{2}) ∏_{p|R}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2} \frac{π^{2}X}{72} \\ +O(X(\frac{1}{r^{2}q^{2+γ}} + \frac{1}{r^{4}q^{2}} + \frac{1}{r^{5}q^{3−γ}} + \frac{r^{4}R^{4}}{q^{4γ}} + \frac{r^{2}R^{2}}{q^{3γ}} + \frac{rR}{q^{2γ}} )(RX)^{ε}) + O(\frac{X^{1− \frac{ε}{2}}}{qr^{2}} R^{ε}) + O(( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1)(RX)^{ε}). \end{matrix}

En donnant à Y et à Z les mêmes valeurs que précédemment, on parvient à l’égalité

A_{1} − A_{2} + O(A_{3}) = \frac{ν(q)}{q} \frac{X}{2π^{2}} + O(\frac{X log_{3}^{2} X}{q log^{2} X log_{2}^{2} X} )+

(5.15)  O(X(\frac{1}{q^{2}} + \frac{1}{q^{3−γ}} + \frac{1}{q^{4γ−4}} + \frac{1}{q^{3γ−2}} + \frac{1}{q^{2γ−1}} )X^{ε}) + O(\frac{X^{1− \frac{ε}{2}}}{q} ) + O(( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1)X^{\frac{ε}{2}} ),

où les A_{i} sont définis dans (5.1).

c.1. Majoration en moyenne de A_{4}.

Il reste à majorer A_{4} par la Proposition 4.4. On a la relation

A_{4} ≤ ∑_{p>Z} |{F ∈ Φ; Δ(F) ≤ X, F ∈ V_{q}, Δ(F) ≡ 0(mod qp^{2})}|,

d’où

(5.16)  A_{4} ≪ X^{\frac{ε}{2}} ∑_{p>Z}(\frac{X}{p^{2}q} + \frac{q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2}}}{p} + ∑_{l≤\sqrt{X}/(pq^{2/3})} ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop lp,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1),

où D_{lp,ε}^{∗} est un certain ensemble d’entiers (a, b, c, d), indépendant de q, de cardinal Xl^{−2}p^{−2}X^{−2ε}, sur lequel, on a 0 < Δ(a, b, c, d) ≪ X. La formule (5.16) devient ainsi

(5.17)  A_{4} ≪ \frac{X^{1− \frac{ε}{2}}}{q} + q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2} +ε} + X^{ε} ∑_{p>Z} ∑_{l≤\sqrt{X}/(pq^{2/3})} ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop lp,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1,

En regroupant avec (5.15), nous obtenons la formule suivante

∑_{{Δ∈Δ^{+}(X) \atop q|Δ}} 1 = \frac{ν(q)}{q} \frac{X}{2π^{2}} + O(\frac{X log_{3}^{2} X}{q log^{2} X log_{2}^{2} X} ) + O(X^{ε}R_{1}(q, X)) + O(X^{ε}R_{2}(q, X))

avec

R_{1}(q, X) = q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2}} + X(\frac{1}{q^{2}} + \frac{1}{q^{3−γ}} + \frac{1}{q^{4γ−4}} + \frac{1}{q^{3γ−2}} + \frac{1}{q^{2γ−1}} )

et

R_{2}(q, X) = ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1 + ∑_{p>Z} ∑_{l≤\sqrt{X}/(pq^{2/3})} ∑_{{(a,b,c,d)∈D{∗ \atop lp,ε} \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1.

On voit que le terme R_{1}(q, X) est en O(\frac{X^{1− \frac{ε}{2}}}{q} ) si on prend X^{\frac{1}{15}} ≤ Q′ ≤ X^{\frac{1}{5} −ε}, il faut alors prendre γ très légèrement supérieur à \frac{5}{4}. Enfin par une interversion de sommations, et en constatant que (a, b, c, d) étant fixé, il y a O(X^{\frac{ε}{2}} ) entiers q tels que μ^{2}(q) = 1 et κ(q) divise Δ(a, b, c, d), on arrive finalement à la relation

∑_{Q′≤q≤2Q′} R_{2}(q, X) = O(X^{1− \frac{ε}{2}} ).

On en déduit alors par sommation sur les Q′ de la forme Q′ = 2^{k}, le Théorème 2, mais avec l’exposant \frac{1}{5} − ε au lieu de \frac{2}{7} − ε.

d. Preuve du Théorème 2.

Voyons comment atteindre l’exposant \frac{2}{7}. L’idée est de faire subir un traitement spécial aux grands diviseurs δ de q, qui lors de la sommation (5.14), pour l’obtention de la Proposition 5.3, ont une contribution démesurée. On a le

LEMME 5.4. — Soit E(X, q, ε), l’ensemble des points (a, b, c, d) de V(X) défini par

E(X, q, ε) = ⋃_{{δ≥q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} \{(a, b, c, d) ∈ V(X); δ^{2}|Δ(a, b, c, d)\}.

On a alors l’égalité

|E(X, q, ε)| = O(X^{1− \frac{ε}{2}} q^{−1} + X^{\frac{1}{2} +ε}).

Preuve. On utilise la Proposition 4.1. On remarque que chaque Δ(a, b, c, d) appartient à V_{1}, d’où la relation

|E(X, q, ε)| ≪ ∑_{{δ>q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} X^{ε}(\frac{X}{δ^{2}} + \frac{X^{\frac{15}{16}}}{δ^{\frac{15}{8}}} + \frac{X^{\frac{3}{4}}}{δ^{\frac{3}{2}}} + \frac{X^{\frac{1}{2}}}{δ} )= O(X^{1− \frac{ε}{2}} q^{−1} + X^{\frac{1}{2} +ε}).

■

Soit f̃(R, q, r, X) le nombre de points (a, b, c, d) comptés dans f(R, q, r, X) mais n’appartenant pas à E(X, q, ε). Grâce au Lemme 5.4, on a l’encadrement

f(R, q, r, X) − O(X^{1− \frac{ε}{2}} q^{−1}) ≤ f̃(R, q, r, X) ≤ f(R, q, r, X),

pourvu que q < X^{\frac{1}{2} −ε}. La formule (5.1) devient alors

N_{0,q}(0, X; V) = f̃(qP_{Y} , q, 1, X) − ∑_{Y <p≤Z} f̃(qP_{Y} , q, p, X) + O(A_{3}) + O(A_{4}) + O(X^{1− \frac{ε}{2}} q^{−1}).

Nous disposons aussi d’une formule exacte pour f̃(R, q, r, X), qui remplace (5.3), à savoir

f̃(R, q, r, X) = ∑_{{d|R \atop (d,2q)=1}} μ(d) ∑_{{δ|q,δ<q^{1/2+ε} \atop (2,δ)=1}} μ(δ)H_{δq,d^{2}r^{2}}^{∗}(X) + ∑_{{2d|R \atop (2d,q)=1}} μ(2d) ∑_{δ|q,δ<q^{1/2+ε}} μ(δ)H_{δq,16d^{2}r^{2}}^{∗}(X)

+ ∑_{{d|R \atop (d,2q)=1}} μ(d) ∑_{2δ|q,δ<q^{1/2+ε}} μ(2δ)H_{8δq,d^{2}r^{2}}^{∗}(X).

Comme lors de la preuve de la Proposition 5.3, on fait appel à la Proposition 3.2, mais ici le coefficient du terme principal est

( ∑_{{δ<q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} μ(δ)ν_{1}(qδ))( ∑_{{(d,q)=1 \atop d|R}} μ(d)ν_{2}(d^{2}r^{2})),

qui diffère donc du terme principal

(6.2)  \frac{ν(q)}{q}ν_{2}(r^{2}) ∏_{p|R}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2},

(qu’on obtiendrait, si on supprimait la condition δ < q^{\frac{1}{2} +ε}, voir (5.4)), d’au plus de la quantité

( ∑_{{δ≥q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} ν_{1}(qδ))( ∑_{{(d,q)=1 \atop d|R}} ν_{2}(d^{2}r^{2})) = O(ν_{2}(r^{2})ν_{1}(q) ∑_{{δ≥q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} \frac{ν_{1}(qδ)}{ν_{1}(q)}) = O(ν_{2}(r^{2})ν_{1}(q) ∑_{{δ≥q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} δ^{−1− \frac{ε}{3}} )

soit encore

(5.18)  O(ν_{2}(r^{2})ν_{1}(q)q^{− \frac{1}{2} − \frac{ε}{2}} ).

Le calcul du terme d’erreur est identique à celui de la Proposition 5.3, à la différence près qu’on doit sommer

≪ ∑_{{d|R \atop (d,q)=1}} ∑_{{δ≤q ^{\frac{1}{2} +ε} \atop δ|q}} (X^{1+ε}(\frac{1}{d^{2}r^{2}q^{2+γ}} + \frac{1}{δ^{2}d^{4}r^{4}q^{2}} + \frac{1}{δ^{2}d^{5}r^{5}q^{3−γ}} + \frac{δ^{3}d^{4}r^{4}}{q^{4γ−1}} + \frac{δd^{2}r^{2}}{q^{3γ−1}} + \frac{δdr}{q^{2γ}} ))+O(\frac{X^{1−ε}}{δqd^{2}r^{2}} )+O( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1)

et c’est ici qu’on gagne puisque la somme sur δ est beaucoup plus courte. En incorporant (5.18), on voit que la Proposition 5.3 est modifiée en la

PROPOSITION 5.5. — On a l’égalité suivante, pour tout ε > 0, pour tout γ > 0, tout q sans facteur carré, tout R multiple de q, tout r impair, premier à R et tout Q vérifiant (5.12) :

\begin{matrix}f̃(R, q, r, X) = \frac{ν(q)}{q}ν_{2}(r^{2}) ∏_{p|R}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{2} \frac{π^{2}X}{72} + O(X(\frac{1}{r^{2}q^{2+γ}} + \frac{1}{r^{4}q^{2}} + \frac{1}{r^{5}q^{3−γ}} + \frac{r^{4}R^{4}}{q^{4γ+ \frac{3}{2}}} + \frac{r^{2}R^{2}}{q^{3γ+ \frac{1}{2}}} + \frac{rR}{q^{2γ+ \frac{1}{2}}} )(RX)^{ε}) \\ +O(\frac{X^{1− \frac{ε}{2}}}{qr^{2}} R^{ε}) + O(( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1)(RX)^{\frac{ε}{10}} ). \end{matrix}

La démonstration se poursuit comme dans la preuve du Théorème 2 affaibli, mais en prenant ici γ légèrement supérieur à \frac{7}{8}. Enfin, lorsque q est premier, la somme sur les δ|q, inférieurs à q^{\frac{1}{2} +ε} se réduit à un seul terme. On peut prendre γ légèrement supérieur à \frac{2}{3}, mais la majoration de A_{4} –plus précisément le terme q^{\frac{2}{3}} X^{\frac{1}{2}} de (5.17)– amène à supposer q ≤ X^{\frac{3}{10} −ε}.

VI. LES DISCRIMINANTS QUASI–FONDAMENTAUX.

Soit P un entier fixé. On pose P̃ = ∏_{p<P} p. On a l’inégalité

N_{a,q}(0, X; V) ≤ N_{a,q}(0, X; VP̃),

et une variante de (2.9) est

N_{0,q}(0, X, VP̃) = ∑_{(d,2q)=1} μ(d) ∑_{{δ|q \atop (δ,2)=1}} μ(δ)H_{δq,d^{2}}^{∗}(X)

(6.1)  + ∑_{(2d,q)=1} μ(2d) ∑_{δ|q} μ(δ)H_{δq,16d^{2}}^{∗}(X) + ∑_{(d,q)=1} μ(d) ∑_{2δ|q} μ(2δ)H_{8δq,d^{2}}^{∗}(X);

où, dans cette expression les variables de sommation d et δ vérifient

p|δd ⟹ p < P.

Signalons que (6.1) n’a que O_{P} (1) termes. Nous allons n’utiliser que la Proposition 3.2 avec les valeurs

r = δq, s = d, ρ = ε, Q = X^{\frac{1}{4} −10ε},

mais aucun résultat de type Brun–Titchmarsh, qui eux–mêmes découlent de la fastidieuse étude des sommes trigonométriques modulo p^{2} (voir §III). On a donc

G(X, ρ, Q) = O(X^{1−ε})

et

ϑ^{∗}(δqd^{2}, Q) ≪_{P} (q + min(q, Q)) min(q, Q) ≪ q min(q, Q).

Le premier terme à droite de (6.1) s’écrit ainsi (6.2)

ν_{1}(q)\frac{π^{2}X}{72} ∏_{{p<P \atop (p,2q)=1}}(1 − ν_{2}(p^{2})) ∏_{{p|q \atop 2<p<P}} (1 − \frac{ν_{1}(p^{2})}{ν_{1}(p)}) + O(q min(q, X^{\frac{1}{4}} )(\frac{X^{\frac{1}{4}}}{q} + 1)^{3}X^{50ε}) + O(\frac{X^{1−ε}}{q} ) + O( ∑_{{(a,b,c,d)∈D \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1)

et les autres termes ont des expressions du même type. On voit alors que le terme principal de (6.2) s’écrit

(6.3)  \frac{ν(q)}{q} ∏_{p≥P}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{−2} ∏_{{p|q \atop p≥P}} \frac{(p^{2} − 1)(p + 1)^{2}}{p^{4}} .\frac{X}{2π^{2}} := \frac{ν_{P} (q)}{q} ∏_{p≥P}(1 − \frac{1}{p^{2}} )^{−2}.\frac{X}{2π^{2}} ,

où ν_{P} (q) est la fonction multiplicative définie au §I.

En regroupant les formules (6.1), (6.2) et (6.3) et en faisant q = 1, on voit qu’ on a l’inégalité

N_{0,1}(0, X; VP̃) ≤ ((1 + O(P^{−1}))N_{0,1}(0, X; V).

Pour retrouver les assertions i) et ii) du Théorème 3, il suffit de prendre pour H_{P} (n) le nombre de classes de formes cubiques de VP̃ de discriminant n.

Pour obtenir les assertions iii) du même théorème, on somme sur q ≤ D, le terme d’erreur à droite de (6.2). Il est donc

≪ X^{1− \frac{ε}{2}} + ∑_{q≤D} q min(q, X^{\frac{1}{4}} )(\frac{X^{\frac{1}{4}}}{q} + 1)^{3} + ∑_{(a,b,c,d)∈D} ∑_{{q \atop κ(q)|Δ(a,b,c,d)}} 1

≪ X^{1− \frac{ε}{2}} + D^{2}X^{\frac{1}{4} +ε} + |D|X^{\frac{ε}{2}} ≪ X^{1− \frac{ε}{2}}

pourvu que D ≤ X^{\frac{3}{8} −30ε}.

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VII. DÉMONSTRATION DES COROLLAIRES 1, 1’ ET 3.

Nous travaillerons avec les notations suivantes : Soit A^{+} la suite des entiers a compris entre 1 et X, affectés du poids 0 si a n’est pas un discriminant fondamental, et du poids H(Δ) si a = Δ et, pour P entier fixé grand, on pose Ã^{+} la suite des entiers a compris entre 1 et X affectés des poids H_{P} (a). Les quantités A^{−} et Ã^{−} sont définis par analogie mais concernent les entiers a compris entre −X et −1. Le Théorème 3 nous incite à travailler avec les formules d’approximation

|Ã_{q}^{±}| = \frac{ν_{P} (q)}{q}𝕏_{P}^{±} + r(Ã^{±}, q),

où, pour imiter les formules du crible, on a posé, pour q sans facteur carré,

|Ã_{q}^{±}| = ∑_{{1≤±n≤X \atop q|n}} H_{P} (n),

et

𝕏_{P}^{±} = ∑_{1≤±n≤X} H_{P} (n).

Le Théorème 3 et la relation (1.3) donnent les encadrements

(7.1)  (1 − o(1))\frac{X}{2π^{2}} ≤ 𝕏_{P}^{+} ≤ (1 + o(1))(1 + O(P^{−1}))\frac{X}{2π^{2}}

et

(7.2)  (1 − o(1))\frac{3X}{2π^{2}} ≤ 𝕏_{P}^{−} ≤ (1 + o(1))(1 + O(P^{−1}))\frac{3X}{2π^{2}} .

Après avoir vérifié que la fonction ν_{P} (p) vérifie bien les hypothèses du crible linéaire (condition (1.3) de [Iw] avec κ = 1), on voit que les formules du crible de Rosser, dans la forme qu’en a donnée Iwaniec ([Iw] Theorem 1) produisent pour la fonction

S(Ã^{±}, z) := ∑_{{1≤±n≤X \atop p|n⟹p≥z}} H_{P} (Δ),

la majoration

(7.3)  S(Ã^{±}, z) ≤ ∏_{p<z}(1 − \frac{ν_{P} (p)}{p})\{F (\frac{log D}{log z}) + o(1)\}𝕏_{P}^{±} + ∑_{q≤D} μ^{2}(q)|r(Ã^{±}, q)|,

où o(1) est un terme d’erreur qui tend vers 0 dans notre application, F l’habituelle fonction du crible en dimension 1. Le Théorème nous incite à prendre D = X^{\frac{3}{8} −ε}, puisqu’on a la majoration

(7.4)  ∑_{q≤D} μ^{2}(q)|r(Ã^{±}, q)| = o(\frac{X}{log X}),

et le produit eulérien de (7.3) vaut

(7.5)  ∏_{p<z}(1 − \frac{ν_{P} (p)}{p}) = \frac{π^{2}}{6} .\frac{e^{−γ}}{log z} (1 + O(P^{−1}))(1 + O(\frac{1}{log z})),

avec γ constante d’Euler. En posant z = X^{\frac{1}{u}} (u constante > 1) et en regroupant (7.1),...,(7.5), on a, pour tout η > 0, l’inégalité

S(Ã^{±}, z) ≤ α^{±} \frac{u}{12e^{γ}} F (\frac{3u}{8})\frac{X}{log X} (1 + η),

pour P > P_{0}(η) et X > X_{0}(η). Bien entendu, sous les mêmes conditions, on a l’inégalité,

(7.6)  S(A^{±}, z) ≤ α^{±} \frac{u}{12e^{γ}} F (\frac{3u}{8})\frac{X}{log X} (1 + η),

puisque trivialement, on a S(A^{±}, z) ≤ S(Ã^{±}, z). On conçoit pourquoi il est avantageux de travailler avec la suite Ã^{±}, puisque son exposant de répartition est \frac{3}{8} − ε au lieu de \frac{2}{7} − ε.

a. Démonstration du Corollaire 1.

Soit δ > 0 très petit et soit u > 1 une constante telle que, pour une suite de X tendant vers l’infini, on ait l’inégalité

(7.7)  |\{Δ ∈ Δ^{+}(X); p|Δ ⟹ p ≥ X^{\frac{1}{u}} , r_{3}(Δ) = 0\}| ≤ δ.\frac{X}{log X} .

Puisque, hors de l’ensemble de la ligne précédente, tout Δ compté dans S(A^{+}, X^{\frac{1}{u}}) vérifie H(Δ) ≥ 1, l’inégalité (7.6) entraîne l’encadrement

(7.8)  |\{Δ ∈ Δ^{+}(X), p|Δ ⟹ p ≥ X^{\frac{1}{u}} \}| − δ.\frac{X}{log X} ≤ S(A^{+}, X^{\frac{1}{u}}) ≤ \frac{u}{12e^{γ}} F (\frac{3u}{8})\frac{X}{log X} (1 + η).

À la gauche de cette inégalité apparaît, à un terme négligeable près, le nombre des entiers < X, congrus à 1 modulo 4, dont tous les facteurs premiers sont supérieurs à X^{\frac{1}{u}}, cardinal que l’on sait être équivalent à

\frac{1}{2}u.w(u).\frac{X}{log X} (X ⟶ ∞),

avec w(u) fonction de Buchstab ([Te] Théorème 3, p.406). On sait ausi que

w(u) = (F (u) + f(u))/(2e^{γ})

avec F et f fonctions linéaires du crible. Finalement, la relation (7.8) montre que u vérifie l’inégalité

3(F (u) + f(u)) ≤ F (\frac{3u}{8}) + η + δ.\frac{12e^{γ}}{u} ,

pour tout η > 0, soit encore

(7.9)  3(F (u) + f(u)) ≤ F (\frac{3u}{8}) + δ.\frac{12e^{γ}}{u} .

Signalons que si u vérifie (7.7), il en est de même pour tout u′ tel que 1 < u′ ≤ u. Pour s ≤ 3 on a F (s) = 2e^{γ}s^{−1} et pour s ≤ 2, on a f(s) = 0, donc (7.9) n’a aucune solution en u > 1, par choix de δ très petit, d’où le Corollaire 1, dans le cas des nombres premiers congrus à 1 modulo 4.

Le cas des p congrus à 3 modulo 4, nécessite un traitement un peu différent puisque p n’est pas un discriminant fondamental, par contre 4p en est un, et on a l’égalité ℚ(\sqrt{p}) = ℚ(\sqrt{4p}). Il faut donc cribler par les entiers impairs, la suite des entiers a congrus à 12 modulo 16, compris entre 1 et X, affectés du poids H(a). La technique est là même que précédemment à la différence près que l’on doit utiliser la relation : Pour tout ε > 0, il existe η = η(ε) > 0, tel que pour X tendant vers l’infini, on a

∑_{{q≤X ^{\frac{3}{8} −ε} \atop q impair}} μ^{2}(q)| ∑_{{0<n≤X \atop n≡12 mod 16, q|n}} H_{P} (n) − \frac{ν_{P} (q)}{q} ∑_{{0<n≤X \atop n≡12 mod 16}} H_{P} (n)| = O_{ε,P} (X^{1−η}),

qui n’est qu’une variante de la première relation du Théorème 3 iii). b Démonstration du Corollaire 1’. Pour le Corollaire 1’, il suffit de modifier la preuve précédente pour affirmer que, uniformément sur l’ensemble des

k + 1–uplets (p′_{1}, ⋯, p′_{k+1}) vérifiant

p′_{1} ≡ 3 (mod 4) et p′_{2} ≡ ⋯ ≡ p′_{k+1} ≡ 1 (mod 4)

et

p′_{1} < p′_{2} < ⋯ < p′_{k+1} ≤ exp(\sqrt{log x}),

on a la minoration

|\{p ≤ \frac{X}{p′_{1} ⋯ p′_{k+1}} ; p ≡ 3(mod 4), r_{3}(pp′_{1} ⋯ p′_{k+1}) = 0\}| ≫ \frac{X}{p′_{1} ⋯ p′_{k+1} log X} .

On somme alors sur les p′_{i} vérifiant les conditions précédentes et on applique (1.1) qui affirme qu’on a r_{2}(pp′_{1} ⋯ p′_{k+1}) = k. Reprendre les techniques précédentes en introduisant cette minuscule condition de congruence modulo p′_{1} ⋯ p′_{k+1} ne pose pas de difficulté majeure (par exemple, il faudra conserver tout au long des calculs, la condition Δ ≡ 0(mod p′_{1} ⋯ p′_{k+1})).

c. Preuve du Corollaire 3, système II.

La démarche est la même : on part de (7.6), mais maintenant avec α^{−} = 3. L’inégalité (7.9) devient dans ce cas

(7.10)  F (u) + f(u) ≤ F (\frac{3u}{8}) + δ.\frac{4e^{γ}}{u} ,

et cette inégalité entraîne u < 4.8 pour δ suffisamment petit. En effet, des tables des fonctions F et f donnent F (4.8) + f(4.8) = 1.999... et on a facilement F (\frac{3.4,8}{8}) = \frac{16.e^{γ}}{3.4,8} = 1, 978... Par (1.1), on a donc prouvé le Corollaire 3, système II.

d. Preuve du Corollaire 3, système I.

On a toujours α^{−} = 3, mais on considère maintenant, pour δ positif très petit, u > 1 tel qu’on ait l’inégalité

|\{Δ ∈ Δ^{−}(X); p|Δ ⟹ p ≥ X^{\frac{1}{u}} , r_{3}(Δ) ≤ 1\}| ≤ δ \frac{X}{log X} ,

pour une suite de X tendant vers l’infini. Maintenant, hors de l’ensemble ci–dessus, on a H(Δ) ≥ 4, et l’inégalité (7.10) est modifiée par l’intrusion, à gauche, d’un facteur 4, soit

4(F (u) + f(u)) ≤ F (\frac{3u}{8}) + δ.\frac{4e^{γ}}{u} ,

inéquation qui n’a aucune solution en u > 1, pourvu que δ soit très petit.

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BIBLIOGRAPHIE.

[Be1] K. BELABAS, Crible et 3–rang des corps quadratiques, Annales Ins.Fourier 46(1996), 909–949.

[Be2] K. BELABAS, On the mean 3–rank of quadratic fields, (preprint).

[Be3] K. BELABAS, Variations sur un thème de Davenport–Heilbronn, Thèse de Doctorat d’État, Université Bordeaux 1 (1996). [B–R] R. BENEDETTI and J–J. RISLER, Real algebraic and semi–algebraic sets, Actualités Mathématiques, Hermann (1990). [C–L] H. COHEN and H. W. LENSTRA, Heuristics on class groups of number fields, Number Theory, Noordwijkerhout 1983 Proceedings, LNM 1068(1984), Springer–Verlag 1984, 33–62.

[Da1] H. DAVENPORT, On the class number of binary cubic forms, (I),J.London Math.Soc.,27(1951), 183–192, (erratum, ibid. 27 (1951), p.512).

[Da2] H. DAVENPORT, On the class number of binary cubic forms, (II),J.London Math.Soc.,27(1951), 192–198.

[Da3] H. DAVENPORT, On a principle of Lipschitz, J. London Math. Soc., 26 (1951), 179–183. [D–H1] H. DAVENPORT and H.HEILBRONN, On the density of discriminants of cubic fields , Bull.Lond. Math. Soc., 1(1969), 345–348. [D–H2] H. DAVENPORT and H.HEILBRONN, On the density of discriminants of cubic fields. II, Proc. Roy. Soc. Lond. A. 322(1971), 405–420. [H–R] H. HALBERSTAM and H.-E. RICHERT, Sieve Methods, Academic Press (1974).

[Iw] H. IWANIEC, Rosser’s sieve, Acta Arith.,36(1980), 171–202. [K–L] N.M. KATZ and G. LAUMON, Transformation de Fourier et majoration de sommes d’exponentielles, Pub. Math.I.H.E.S.62 (1985), 361–418. [M–B] G.B. MATHEWS and BERWICK, On the reduction and classification of binary cubic which have a negative discriminant, Proc. London Math. Soc., 10(1912), 128–138.

[Na] W. NARKIEWICZ, Elementary and Analytic Number Theory of Algebraic Numbers, Springer Verlag (Second Edition) (1990).

[Te] G. TENENBAUM, Introduction à la Théorie Analytique et Probabiliste des Nombres, Cours Spécialisés, Collection S.M.F.(1995).

Karim BELABAS Département de Mathématiques–A2X Université de Bordeaux I 351, Cours de la Libération F–33405 TALENCE Cedex et Max–Planck–Institut für Mathematik Gottfried–Claren–Str. 26 D–53255 BONN

Étienne FOUVRY Mathématique–Bâtiment 425 Campus d’Orsay Université de Paris–Sud F–91405 Orsay Cedex