Transformée de Mellin des intégrales- fibres associées à l’intersection complète non-dégénérée

Susumu TANABÉ

Résumé. La transformée de Mellin de l’intégrale -fibre est calculée pour certaines classes d’intersection complète non-dégénérée affine, surtout les cas nommés simpliciables. On met à jour la structure de réseaux des pôles de la transformée de Mellin à l’aide des données topologiques qui décrivent la structure de Hodge de la variété affine. On établit la relation de l’intégrale-fibre avec la fonction hypergéométrique de Horn et de Gel’fand-Kapranov-Zelevinski. Comme application, nous démontrons une hypothèse proposée par Berglund et autres sur la symétrie de miroir.

0 Introduction

Ici on calcule concrètement l’intégrale-fibre associée à la variété affine d’intersection complète (IC) non-dégénérée au moyen de sa transformée de Mellin.

D’abord nous fixons la situation. Pour les deux variétés complexes X = soit C^{N} soit (C^{×})^{N} et S = C^{k}, on regarde une application

(0.1)  f : X → S

telle que X_{s} := {(x_{1}, ⋯, x_{N}) ∈ X; f_{1}(x) + s_{1} = 0, …, f_{k}(x) + s_{k} = 0}. Soient f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x) des polynômes qui définissent l’intersection complète, non-dégénérée au sens de Danilov-Khovanski [11]. Soit n la dimension de la variété X_{0} = n ≥ 0. Regardons une hypersurface de dimension N + k − 1, W_{s} := {(x_{1}, ⋯, x_{N}, y_{1}, ⋯, y_{k}) ∈ X × (C^{×})^{k}; y_{1}(f_{1}(x) + s_{1}) + … + y_{k}(f_{k}(x) + s_{k}) = 0}. Pour la compactification X_{s} (resp. W_{s}) des variétés X_{s} (resp. W_{s}) dans les variétés toriques proprement construites, les résultats de Terasoma (cas homogène) [32], Dimca (cas quasihomogène) [9], Mavlyutov (cas général) [19] impliquent l’existence d’un isomorphisme entre les parties primitives de la cohomologie P H^{N−k}(X_{s}) et P H^{N+k−2}(W_{s}). Récemment Terasoma a établi la version affine de cet isomorphisme pour X_{s} et W_{s} définis dans les tores [33], [34]. L’utilisation effective de cet isomorphisme (et de ses analogues) s’est baptisée sous le nom de “technique de Cayley” (Cayley trick). Dans ce travail, on regarde cet isomorphisme entre les structures de Hodge d’une façon un peu plus détaillée. C’est à dire, on calcule la transformée de Mellin des intégrales fibres associées à X_{s} au moyen de l’isomorphisme en se servant de la technique de Cayley pour la variété affine.

AMS Subject Classification: 14M10, 32S25, 32S40.

Key words and phrases: Gauss-Manin connexion, complete intersection, Hodge structure.

1 Travail réalisé par le soutien du Max Planck Institut für Mathematik.

Surtout, dans cette deuxième partie du travail, à part des cas quasihomogènes, nous nous interessons au cas de la singularité du type d’A’Campo:

(0.2)  f_{i}(x) = x_{1}^{α_{1i}} + x_{2}^{α_{2i}} + ⋯ + x_{N}^{α_{N,i}} , 1 ≤ i ≤ k.

Pour le cas N = 2, (α_{11}, α_{21}) = (3, 2), (α_{12}, α_{22}) = (2, 3), la monodromie locale de la singularité f_{1}(x)f_{2}(x) = 0 a été étudiée par A’Campo dans [1]. L’IC de ce type là nous fournit des exemples importants des cas simpliciables (voir §1.4).

Ici nous nous servons de la transformée de Mellin d’intégrales-fibres parce qu’elle permet de mieux visualiser les propriétés importantes des variétés d’IC non-dégénénérées par rapport aux autres représentations soit d’intégrales elles mêmes soit des équations différentielles (connexion de Gauss-Manin). Cette situation a incité certains auteurs comme C.Sabbah [26], [27], D.Barlet[3], F.Loeser [18] à poursuivre des recherches sur la transformée de Mellin d’intégrales fibres qui etaient, entre autres, motivées par une idée de P.Deligne reproduite dans [25].

Dans le §1 nous nous souvenons des faits utiles sur la technique de Cayley pour l’IC afin de définir l’intégrale fibre associée à f. Dans le §2, nous interprétons l’intégrale- fibre comme fonction hypergéométrique généralisée au sens de Mellin-Barnes-Pincherle. Du surcroit, on montre que l’intégrale fibre satisfait le système des équations différentielles du type de Horn. Pourtant le degré de chaque équation différentielle est exprimé au moyen du caractéristique d’Euler d’une variété d’IC. Dans le §3, les pôles de la transformée de Mellin de l’intégrale- fibre sont exprimés au moyen de la structure de Hodge mixte décrite dans [4].

Dans le §4.1, on établit une relation entre les notions des deux fonctoins hypegéométriques généralisées: celle de Horn et celle de Gel’fand-Kapranov-Zelevinski. Dans le §4.2, 4.3, nous regardons les applications de notre calcul à la symétrie de miroir: les cas d’IC projective de Givental’ et les cas d’IC à des poids multiples quasihomogènes. En se servant des résultats du §2, nous démontrons une hypothèse proposée par Berglund, Candelas et les autres.

Je tiens à remercier T.Terasoma, V.Golyshev de leurs discussions utiles. J’aimerais aussi mentionner les intêrets sincères de H.Kimura et de Y.Haraoka comme motivation importante pour l’amélioration des §2, §3 et §4.1.

1 Technique de Cayley

1.1. Quasihomogénisation On reprend la situation et les notations de §0. On introduit encore les notations suivantes. Soit T^{m} = (C \ {0})^{m} = (C^{×})^{m} un tore complexe de dimension m. On note par x^{i} le monôme x^{i} := x_{1}^{i_{1}} ⋯ x_{N}^{i_{N}} pour le multi-indice i = (i_{1}, ⋯, i_{N}) ∈ Z^{N}, et par dx la N−forme volume dx := dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{N}. Avec la lettre ζ, on note le multi-indice ζ = (ζ_{1}, ⋯, ζ_{k}) ∈ (Z_{≥0})^{k}. Nous nous servons aussi des notations x^{1} := x_{1} ⋯ x_{N}, y^{ζ} = y_{1}^{ζ_{1}} ⋯ y_{k}^{ζ_{k}}, s^{z} = s_{1}^{z_{1}} ⋯ s_{k}^{z_{k}} et ds = ds_{1} ∧ ⋯ ∧ ds_{k}. Dans cette section on considère l’extension de l’application f de la variété torique P_{Σ} dans C^{k}. Nous poursuivons la construction de [6] et [19]. On définit le nombre M comme la dimension de l’espace ambiant minimum pour que nous puissons rendre les polynômes (f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x)) simultanément quasihomogènes en multipliant certains termes par des nouvelles variables:

x^{i} → x′_{j}x^{i} j = 1, 2, · · · .

Notons par (f_{1}(x, x′), ⋯, f_{k}(x, x′)) les polynômes ainsi obtenus. Ils so nt quasihomogènes par rapport à certain poids c.à.d. il existe des nombres entiers positifs (w_{1}, ⋯, w_{N}, w′_{1}, ⋯, w′_{M−N}) tels que leur pgdc soit égal à 1 et qu’on ait la relation suivante:

(1.1.1)  E(x, x′) = ∑_{i=1}^{N} w_{i}x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} + ∑_{j=1}^{M−N} w′_{j}x′_{j} \frac{∂}{∂x′_{j}} ,

de telle sorte que

E(x, x′)(f_{ℓ}(x, x′)) = p_{ℓ}f_{ℓ}(x, x′) pour ℓ = 1, ⋯, k,

où on appelle E le champ d’Euler.

Exemple On ajoute au polynôme f(x) = x_{1}^{a} + x_{1}x_{2} + x_{2}^{b}, avec a, b > 2, la variable nouvelle x′_{1} en telle sorte que le polynôme f(x, x′) = x_{1}^{a} + x′_{1}x_{1}x_{2} + x_{2}^{b}, devienne quasihomogène par rapport au poids (b, a, ab − a − b).

Il y a en général des choix des termes que l’on modifie pour réaliser une quasihomogénéité (voir §1.5, 1.6, §3.2).

Désormais nous nous servirons de la notation des variables X := (X_{1}, ⋯ X_{M}) := (x_{1}, ⋯, x_{N},x′_{1}, ⋯, x′_{M−N}) et celle du polynôme par f_{ℓ}(X) := f_{ℓ}(x, x′). Si on introduit un champ d’Euler,

E(X′) = ∑_{i=1}^{N} w_{i}x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} + ∑_{j=1}^{M−N} w′_{j}x′_{j} \frac{∂}{∂x′_{j}} + X_{M+1} \frac{∂}{∂X_{M+1}} ,

alors on a la relation suivante:

E(X′)(f_{ℓ}(X) + X_{M+1}^{p_{ℓ}}s_{ℓ}) = p_{ℓ}(f_{ℓ}(X) + X_{M+1}^{p_{ℓ}}s_{ℓ}) pour ℓ = 1, ⋯, k.

D’ici bas on note X′ := (X, X_{M+1}). Soit M_{Z} un réseau intégral de rang N et N_{Z} son réseau dual, N_{Z} = Hom(M_{Z}, Z). Nous notons par M_{R} (resp. N_{R}) l’extension naturelle à l’espace réel de M_{Z} (resp. N_{Z}). Nous considérons la situation pour e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{M+1} générateurs des cônes unidimensionels tels que ∑_{ℓ=1}^{M+1} Re⃗_{ℓ} = N_{R}. On peut définir un éventail rationel simplicial Σ dans N_{R} comme ensemble des cônes simpliciaux engendrés par e⃗_{1}, ⋯, e⃗_{M+1} ci-dessus. Notre construction ci-dessus du champ E(X′) correspond à l’exhaussement d’un espace N_{R} × N′_{R} avec une base des générateurs ẽ_{N+1}, ⋯ ẽ_{M+1} tels que

∑_{i=1}^{N} w_{i}ẽ_{i} + ∑_{j=1}^{M−N} w′_{j}ẽ_{j} + ẽ_{M+1} = 0.

Ici on a p_{N}(ẽ_{j}) = e⃗_{j} pour la projection p_{N} : N_{R} × N′_{R} → N_{R}. Pourtant la dimension de l’espace vectoriel N_{R} × N′_{R} doit être minimale c.à .d. dim(N_{R} × N′_{R}) = M.

Dans la suite, regardons l’homomorphisme injectif

φ : M_{Z} → Z^{M+1},

défini par

φ(m⃗) = (< m⃗, e⃗_{1} >, ⋯, < m⃗, e⃗_{M+1} >).

Le conoyau de cette application est un groupe abélien fini

Cl(Σ) = Z^{M+1}/φ(M_{Z})

dont on peut définir le groupe (dit le tore de Néron-Severi),

D(Σ) := SpecC[Cl(Σ)].

En plus on introduit l’espace affine,

A^{M+1} = SpecC[X′].

Soit X̂_{σ} := ∏_{e⃗_{i}∉σ} X_{i}, et on définit l’idéal

B(Σ) =< X̂_{σ} : σ ∈ Σ >⊂ C[X_{1}, ⋯, X_{M+1}].

Soit Z(Σ) := V(B(Σ)) ⊂ A^{M+1} la variété définie par B(Σ).

A l’instar de la méthode initiée par M.Audin, on construit la variété torique P_{Σ} comme le quotient de U(Σ) := A^{M+1} \ Z(Σ) par l’action du groupe D(Σ):

P_{Σ} = U(Σ)/D(Σ),

avec dim D(Σ) = M + 1 − N, dim U(Σ) = M + 1.

Grâce à la compatibilité de l’action de D(Σ) sur U(Σ) et celle sur V_{s} := V(f_{1}(X)+X_{M+1}^{p_{1}}s_{1}, ⋯, f_{k}(X)+ X_{M+1}^{p_{k}}s_{k}) ⊂ A^{M+1}, on est ramené à définir le sous-ensemble fermé X_{s} de P_{Σ} vu que celui-ci est un quotient géométrique,

X_{s} := V_{s} ∩ U(Σ)/D(Σ).

Nous notons aussi V_{s_{i}} := V(f_{i}(X) + X_{M+1}^{p_{i}}s_{i}), X_{s_{i}} := V_{s_{i}} ∩ U(Σ)/D(Σ). Définition 1 ([19]) On dit que X_{s} est une IC non-dégénérée si pour chaque {i_{1}, ⋯, i_{ℓ}} ⊂ {1, ⋯, k} l’ensemble X_{s_{i_{1}}} ∩ ⋯ ∩ X_{s_{i_{ℓ}}} ∩ T_{τ} définit une sous-variété lisse de codimension ℓ pour n’importe quel τ ⊂ Σ, où T_{τ} = {X ∈ A^{M+1} : X̂_{τ} ≠ 0, X_{j} = 0 si e⃗_{j} ⊂ τ}.

Dorénavant on prend pour s telle valeur de C^{k} que sa fibre X_{s} soit non singulière. On dit que X_{s} est une intersection quasi-lisse si V_{s} ∩ U(Σ) est soit vide soit une sous-variété lisse de codimension k dans U(Σ). Il est connu qu’il existe un ensemble fermé D(f) de C^{k} tel que X_{s} pour s ∈ C^{k} \ D(f) est une intersection non- dégénérée si V_{0} définit la singularité isolée d’intersection complète dans A^{M} = SpecC[X_{1}, ⋯, X_{M}].

Ici on se souvient de l’espace projectif quasihomogène P^{(k−1)}(w′′_{1}, ⋯, w′′_{k}) [10], [6] qui est défini comme la variété torique associée aux cônes simpliciaux de l’espace vectoriel réel de dimension k engendré par les vecteurs non-zéros {ϵ⃗_{1}, ⋯, ϵ⃗_{k}} qui satisfont la relation w′′_{1}ϵ⃗_{1} + ⋯ + w′′_{k}ϵ⃗_{k} = 0. Considérons maintenant un polynôme

(1.1.4)  G(X′, s, y) := y_{1}(f_{1}(X) + X_{M+1}^{p_{1}}s_{1}) + ⋯ + y_{k}(f_{k}(X) + X_{M+1}^{p_{k}}s_{k}),

défini sur une variété torique P(E) qui est un espace fibré par P^{(k−1)}(w′′_{1}, ⋯, w′′_{k}) de la variété P_{Σ} : P(E) = P_{Σ} × P^{(k−1)}(w′′_{1}, ⋯, w′′_{k}) muni d’un bidegré

(w(y_{1}), ⋯, w(y_{k})) = (1, 1, ⋯, 1), (w(X_{1}), ⋯, w(X_{M+1})) = (0, 0, ⋯, 0).

L’anneau des coordonées homogènes au sens de [19] de P(E) est C[X_{1}, ⋯, X_{M+1}, y_{1}, ⋯, y_{k}]. Cela veut dire qu’il existe le champ d’Euler

(1.1.5)  E(X′, y) = ∑_{i=1}^{N} w_{i}x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} + ∑_{j=1}^{M−N} w′_{j}x′_{j} \frac{∂}{∂x′_{j}} + X_{M+1} \frac{∂}{∂X_{M+1}} + ∑_{ℓ=1}^{k} w′′_{ℓ}y_{ℓ} \frac{∂}{∂y_{ℓ}} ,

en sorte que

E(X′, y)y_{b}f_{b}(X) = (w′′_{b} + p_{b})y_{b}f_{b}(X), 1 ≤ b ≤ k,
E(X′, y)G(X′, s, y) = w(F)G(X′, s, y),

pour w(G) = w′′_{1} + p_{1} = ⋯ = w′′_{k} + p_{k}. Dans cette situation on peut définir la variété:

W_{s} := {(X′, y) ∈ P(E) : G(X′, s, y) = 0},

avec dim W_{s} = N +k−2. Désormais on va se servir de la notation w(•) pour le poids quasihomogène d’un polynôme, d’une forme etc. determiné par le champ d’Euler E(X′, y) un objet quasihomogène •.

On peut considérer le technique de Cayley sans référence au [19]. Notamment on introduit un polynôme,

H(x, y) := y_{1}f_{1}(x) + ⋯ + y_{k}f_{k}(x) ∈ Z[x_{1}, ⋯, x_{n}, y_{1}, ⋯, y_{k}].

Soient n⃗_{1}, ⋯, n⃗_{M+k} les éléments de l’ensemble supp(H(x, y)) ⊂ Z^{N+k}. On définit un éventail rationel simplicial Σ̃ dans R^{N+k} comme ensemble des cônes simpliciaux engendrés par n⃗_{1}, ⋯, n⃗_{M+k}. Pour M̃_{Z} = M_{Z} × Z^{k}, on regarde l’homomorphisme injectif

φ : M̃_{Z} → Z^{M+k},

défini par

φ(m̃) = (< m̃, n⃗_{1} >, ⋯, < m̃, n⃗_{M+k} >).

Le conoyau de cette application est un groupe abélien fini

Cl(Σ̃) = Z^{M+k}/φ(M̃_{Z})

dont on peut définir le groupe

(1.1.6)  D(Σ̃) := SpecC[Cl(Σ̃)].

On peut construire la variété torique PΣ̃ associée à l’espace affine,

A^{M+k} = SpecC[X_{1}, ⋯, X_{M}, y_{1}, ⋯, y_{k}],

d’une façon parallèlle à la construction de la variété P_{Σ}.

1.2. Situation torique Dorénavant nous notons par F le polynôme suivant,

(1.2.1)  F (X, s, y) := y_{1}(f_{1}(X) + s_{1}) + ⋯ + y_{k}(f_{k}(X) + s_{k}),

Pour la hypersurface W_{s} on se souvient du fait fondamental ([11] 6.2, [19] lemma 4.3) lors d’application du technique de Cayley.

Lemme 1.1 Si X_{s} est une intersection non-dégénérée au sens de la Définition 1, alors l’hypersurface W_{s} est aussi non-dégénérée.

Pour W_{s} non-dégénérée on définit l’anneau de Jacobi comme suit:

(1.2.2) J(G) :=< \frac{∂G(X′, s, y)}{∂X_{1}}, ⋯, \frac{∂G(X′, s, y)}{∂X_{M}}, \frac{∂G(X′, s, y)}{∂X_{M+1}}, \frac{∂G(X′, s, y)}{∂y_{1}}, ⋯, \frac{∂G(X′, s, y)}{∂y_{k}} >,

pour s ∈ C^{k} \ D(f) défini indépendamment du choix concrèt de s. De plus, il est connu qu’il existe une correspondance entre variation inifinitesimale de structure de Hodge Gr_{F}^{i} P H^{n}(X_{s}) et Gr_{F}^{i+k−1} P H^{n+2k−2}(W_{s}), pour 0 ≤ i ≤ n. Voir [32] (pour le cas f homogène), [9] (cas quasihomogène) et [19] (cas général).

On note par P H^{N}(P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}}) la partie primitive définie comme quotient

H^{N}(P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}})/ ⊔_{ℓ=1}^{k} (j_{ℓ}^{∗}H^{N}(P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}}))

où j_{ℓ} : P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}} → P_{Σ} \ ∪_{i≠ℓ}X_{s_{i}}. Selon [9] on trouve l’isomorphisme provoqué par le résidu de Poincaré:

R_{X_{s}} : H^{N}(P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}}) → P H^{N−k}(X_{s}),

dont le noyau est égal à ⊔_{ℓ=1}^{k}j_{ℓ}^{∗}(H^{N}(P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}})). D’autre part on a la suite exacte ([6], 10.11):

0 → H^{N+k−3}(P(E)) →^{[W_{s}]} H^{N+k−1}(P(E)) →^{i_{Σ}} H^{N+k−1}(P(E) \ W_{s}) →^{Res} P H^{N+k−2}(W_{s}) → 0.

Nous introduisons encore une autre partie primitive P H^{N+k−1}(P(E) \ W_{s}) que l’on définit comme conoyau de l’injection

i_{Σ} : H^{N+k−1}(P(E)) → H^{N+k−1}(P(E) \ W_{s}).

D’autre part d’après [19] on a l’isomorphisme entre P H^{N+k−2}(W_{s}) et P H^{N−k}(X_{s}). Avant de formuler l’énoncé central de la section, on introduit quelques notations associées à un ensemble des indices I ⊂ {1, ⋯, M + 1} avec |I| = N. Notamment,

X̂_{I} = ∏_{i∉I} X_{i}, dX_{I} = dX_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ dX_{i_{N}} , det(e_{I}) = det(< m⃗_{j}, e⃗_{i_{k}} >)_{1≤j≤N,1≤i_{1}<i_{2}<···<i_{N} ≤M+1},

où m⃗_{1}, ⋯, m⃗_{N} une base du réseau M_{Z}. On définit

Ω_{0}(X′) = ∑_{|I|=N} det(e_{I})X̂′_{I}dX′_{I},

qui s’avère le générateur de H^{0} (P_{Σ}, Ω_{P_{Σ}}^{N}(w_{1}, ⋯, w_{N}, w′_{1}, ⋯, w′_{M−N})) . D’ici bas on utilise la no-

tation X^{′J′}y^{ζ} = x_{1}^{i_{1}} ⋯ x_{N}^{i_{N}} x′_{1}^{i′_{1}} ⋯ x′_{M−N+1}^{i′_{M−N+1}}y_{1}^{ζ_{1}} ⋯ y_{k}^{ζ_{k}}. Alors on obtient la Proposition suivante.

Proposition 1.2 (Transformation cohomologique de Radon cf. [19], [33])

Il existe l’isomorphisme entre les parties primitives des groupes de cohomologie comme suit:

(1.2.3)P H^{N}(P_{Σ} \ ∪_{i=1}^{k}X_{s_{i}}) → P H^{N+k−1}(P(E) \ W_{s})

\frac{X^{′J′}Ω_{0}(X′)}{(f_{1}(X) + X_{M+1}^{p_{1}}s_{1})^{ζ_{1}+1} ⋯ (f_{k}(X) + X_{M+1}^{p_{k}}s_{k})^{ζ_{k}+1}} | → \frac{X^{′J′}ω^{ζ}Ω_{0}(X′) ∧ Ω_{1}(ω)}{F (X′, ω, s)^{ζ_{1}+···+ζ_{k}+k}},

où Ω_{1}(ω) = ∑_{ℓ=1}^{k}(−1)^{ℓ+1}w′′_{ℓ}ω_{ℓ}dω_{1}∧ ^{∨^{ℓ}} ⋯∧dω_{k}. Et l’élément X^{′J′}y^{ζ} ∈ C[X′, y]/J(F), avec w(X^{′J′+1}y^{ζ+1})

= (ζ_{1} + ⋯ + ζ_{k} + k)w(F).

1.3. Situation affine

Si on restreint la variété torique P(E) ci-dessus à son intersection avec le tore maximal T^{N+k−1}, la partie primitive de la cohomologie H^{N+k−2}(W_{s} ∩ T^{N+k−1}) peut hériter certaines propriétés de P H^{N+k−2}(W_{s}). Notamment il est connu ([6], 11.6) que W_{N+k−2}H^{N+k−2}(W_{s} ∩ T^{N+k−1}) ≅ P H^{N+k−2}(W_{s}). Il est naturel d’espérer que l’on trouve dans des propriétés de l’intégrale I_{X^{′J′} ,∂γ}^{ζ}(s) certaine réflexion de celles de la structure de Hodge P H^{N+k−2}(W_{s}). Dans la suite, nous étudions l’intégrale fibre définie sur un (M + 1)−cycle dans T^{M+1}.

On prend un cycle γ(s) ∈ H_{M+1−k}(V_{s} ∩ T^{M+1}) et définit l’intégrale fibre y associée,

(1.3.1)  I_{X^{′J′} ,∂γ}^{ζ}(s) := (\frac{1}{2π\sqrt{−}1})^{k} ∫_{∂γ(s)} \frac{X^{′J′}dX′}{(f_{1}(X) + X_{M+1}^{p_{1}}s_{1})^{ζ_{1}+1} ⋯ (f_{k}(X) + X_{M+1}^{p_{k}}s_{k})^{ζ_{k}+1}} ,

où ∂γ(s) ∈ H_{M+1}(T^{M+1} \ ∪_{i=1}^{k}V_{s_{i}} ∩ T^{M+1}) est un cycle obtenu à l’aide de ∂, l’opérateur de cobord de Leray. Quant à l’opération de Leray, on renvoie au livre de F.Pham [24], ou bien à celui de V.A.Vassiliev [37]. Nous notons par ψ_{J′} une (M + 1 − k)-forme méromorphe telle que

X^{′J′}dX′ = df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ ψ_{J′}.

Transformée de Mellin 7

Alors le théorème de résidus de Leray implique l’égalité suivante:

(1.3.2)  I_{X^{′J′} ,∂γ}^{ζ}(s) = \frac{1}{Γ(ζ_{1} + 1) … Γ(ζ_{k} + 1)}(\frac{∂}{∂s})^{ζ} ∫_{γ(s)} ψ_{J′}

= \frac{1}{Γ(ζ_{1} + 1) … Γ(ζ_{k} + 1)}(\frac{∂}{∂s})^{ζ}I_{X^{′J′} ,∂γ}^{0}(s)

où (\frac{∂}{∂s})^{ζ} = (\frac{∂}{∂s_{1}} )^{ζ_{1}} … (\frac{∂}{∂s_{k}})^{ζ_{k}}.

Dans cette situation, on formule la version intégrale de la Proposition 1.2. Proposition 1.3 Pour un cycle de Leray Γ_{s} ⊂ H_{M+1}(T^{M+1} \ ∪_{i=1}^{k}V_{s_{i}} ∩ T^{M+1}) tel que ℜ(f_{i}(X) + X_{M+1}^{p_{i}}s_{i})|_{Γ_{s}} < 0 hors sa partie compacte, l’égalité suivante a lieu:

Γ(ζ_{1} + 1) ⋯ Γ(ζ_{k} + 1) ∫_{Γ_{s}}(f_{1}(X) + X_{M+1}^{p_{1}}s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(X) + X_{M+1}^{p_{k}}s_{k})^{−ζ_{k}−1} \frac{X^{′J′+1}dX′}{X′^{1}}

= Γ(ζ_{1} +⋯+ζ_{k} +k) ∫_{S_{+}^{k−1}(w′′)×Γ_{s}} \frac{X^{′J′}ω^{ζ}dX′ ∧ Ω_{0}(ω)}{(ω_{1}(f_{1}(X) + X_{M+1}^{p_{1}}s_{1}) + ⋯ + ω_{k}(f_{k}(X) + X_{M+1}^{p_{k}}s_{k}))^{ζ_{1}+···+ζ_{k}+k}} .

où S_{+}^{k−1}(w”) = \{(ω_{1}, ⋯, ω_{k}) : ω1^{\frac{w′′}{w{′′ \atop 1}}} + ⋯ + ωk^{\frac{w′′}{w{′′ \atop k}}} = 1, ω_{ℓ} > 0 pour tout ℓ, w′′ = ∏_{1≤i≤k} w′′_{i}\} et

Ω_{0}(ω) la (k − 1)−forme de volume sur S_{+}^{k−1}(w′′),

Ω_{0}(ω) = \frac{1}{w(F)} ∑_{ℓ=1}^{k}(−1)^{ℓ}w”_{ℓ}ω_{ℓ}dω_{1} ∧ ^{∨^{ℓ}} ⋯ ∧ dω_{k}.

Démonstration D’abord on se souvient de la relation classique:

(1.3.3) ∫_{Γ_{s}} ∫_{R_{+}} e^{y_{j}(f_{j}(X)+X_{M+1}^{p_{j}}s_{j})}y_{j}^{ζ_{j}}dy_{j} ∧ dX′ = Γ(ζ_{j} + 1) ∫_{Γ_{s}}(f_{j}(X) + X_{M+1}^{p_{j}}s_{j})^{−ζ_{j}−1}dX′,

qui se déduit de la définition de la fonction délta de Dirac comme résidu. Alors on a l’égalité:

(1.3.4)  ∫_{(R_{+})^{k}} ∫_{Γ_{s}} e^{(y_{1}(f_{1}(X)+X_{M+1}^{p_{1}}s_{1})+···+y_{k}(f_{k}(X)+X_{M+1}^{p_{k}}s_{k}))}X^{′J′}y^{ζ}dy ∧ dX′
= Γ(ζ_{1} + 1) ⋯ Γ(ζ_{k} + 1) ∫_{Γ_{s}} X^{′J′}(f_{1}(X) + X_{M+1}^{p_{1}}s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(X) + X_{M+1}^{p_{k}}s_{k})^{−ζ_{k}−1}dX′

= Γ(ζ_{1} + 1) ⋯ Γ(ζ_{k} + 1)(\frac{1}{2π\sqrt{−}1})^{k}I_{X^{′J′} ,Γ_{s}}^{ζ}(s).

Si on transforme le terme gauche de (1.3.4) en effectuant le changement des variables (y_{1}, ⋯, y_{k}) := (σ^{\frac{w{′′ \atop 1}}{w(F)}} ω_{1}, ⋯, σ^{\frac{w{′′ \atop k}}{w(F)}} ω_{k}), avec σ ∈ R, (ω_{1}, ⋯, ω_{k}) ∈ S_{+}^{k−1}(w”) et l’homothétie naturelle induite X′ → (σ^{\frac{w_{1}}{w(F)}} X_{1}, ⋯, σ^{\frac{w_{N}}{w(F)}} X_{N}, σ^{\frac{w′_{1}}{w(F)}} X_{N+1}, ⋯, σ^{\frac{w{′ \atop M}}{w(F)}} X_{M}, σ^{\frac{1}{w(F)}} X_{M+1}), on aura ∫_{Γ_{s}} ∫_{S_{+}^{k−1}(w”)} ∫_{R_{+}} e^{σ(ω_{1}(f_{1}(X)+X_{M+1}^{p_{1}}s_{1})+···+ω_{k}(f_{k}(X)+X_{M+1}^{p_{k}}s_{k}))}σ^{ζ_{1}+···+ζ_{k}+k−1}X^{′J′}ω^{ζ}dσ ∧ Ω_{0}(ω) ∧ dX′

= Γ(ζ_{1} + 1) ⋯ Γ(ζ_{k} + 1) ∫_{Γ_{s}} ∫_{S_{+}^{k−1}(w”)} \frac{X^{′J′}ω^{ζ}Ω_{0}(ω) ∧ dX′}{(∑_{ℓ=1}^{k} ω_{ℓ}(f_{ℓ}(X) + X_{M+1}^{p_{ℓ}}s_{ℓ}))^{ζ_{1}+···ζ_{k}+k}} .

Ici on se sert des formules (1.3.3), dy_{1} ∧ ⋯ ∧ dy_{k} = σ^{^{\frac{w{′′ \atop 1}+···+w{′′ \atop k}}{w(F)}} −1}dσ ∧ Ω_{0}(ω) et de la relation w(X^{′J′+1}) + ∑_{ℓ=1}^{k}(ζ_{ℓ} + 1)w′′_{ℓ} − (ζ_{1} + ⋯ + ζ_{k} + k)w(F) = 0. C.Q.F.D.

On remarque ici que si on applique le changement de variables

(X′, y) → (XM+1^{\frac{w_{1}}{w(F)}}X_{1}, ⋯, XM+1^{\frac{w_{N}}{w(F)}}X_{N}, XM+1^{\frac{w′_{1}}{w(F)}}X_{N+1}, ⋯, XM+1^{\frac{w{′ \atop M}}{w(F)}}X_{M}, X_{M+1}, XM+1^{\frac{w{′′ \atop 1}}{w(F)}}y_{1}, ⋯, XM+1^{\frac{w{′′ \atop k}}{w(F)}}y_{k}),

au terme gauche de (1.3.4), on obtient l’intégrale

∫_{(R_{+})^{k}} ∫_{Γ_{s}} e^{X_{M+1}(y_{1}(f_{1}(X)+s_{1})+···+y_{k}(f_{k}(X)+s_{k}))}X^{J}y^{ζ}X_{M+1}^{ζ_{1}+···ζ_{k}+k−1}dy ∧ dX ∧ dX_{M+1}

qui est égale à

(1.3.5)  I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) := ∫_{γ_{s}} X^{J+1}(f_{1}(X) + s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(X) + s_{k})^{−ζ_{k}−1} \frac{dX}{X}

à constante près. Ici l’indice dénote J = (i_{1}, ⋯, i_{M}) et le cycle γ_{s} ∈ H^{M}(T^{M} \ X_{s}|_{X_{M+1}=1}) est une projection de Γ_{s} sur T^{M}). On va donc préferer le travaille avec l’intégrale (1.3.5) à celui avec (1.3.1). L’indice i_{M+1} perdue dans l’expression (1.3.5) peut être recuperée par la relation i_{M+1} = −1 − w(X^{J+1}) − ∑_{ℓ=1}^{k}(ζ_{ℓ} + 1)w′′_{ℓ} + (ζ_{1} + ⋯ + ζ_{k} + k)w(F).

Dans cette situation nous pouvons formuler la version affine de la Proposition 1.2. On se sert de la notation de la variété affine

Z_{F (X,0,y)} = {(X, y) ∈ T^{M+k}; F (X, 0, y) = 0}.

Proposition 1.4 ([33]) Soit (f_{1}(X), ⋯, f_{k}(X)) comme dans §1.1. On dénote par X_{q} = {X ∈ T^{M}; f_{q}(X) = 0}, 1 ≤ q ≤ k l’hypersurface dans T^{M}. Soit F (X, s, y) un polynôme comme (1.2.1), alors on a l’isomorphisme ci-dessous comme structure de Hodge,

(1.3.6)  \begin{matrix}P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}) & → & P H^{M}(T^{M} \ X_{1} ∪ ⋯ ∪ X_{k}) \\ X^{J}y^{ζ} \frac{dX∧dy}{dF} & ↦ & \frac{X^{J}dX}{f_{1}(X)^{ζ_{1}+1}···f_{k}(X)^{ζ_{k}+1}} \end{matrix}

où

X^{J}y^{ζ} ∈ \frac{C[X, y]}{⟨X_{1} \frac{∂F (X,0,y)}{∂X_{1}}, ⋯, X_{M} \frac{∂F (X,0,y)}{∂X_{M}}, y_{1}f_{1}(X), ⋯, y_{k}f_{k}(X)⟩}.

La structure de Hodge mixte de P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}) sera décrite dans §3.1 d’une façon plus détaillée.

En se servant de la Proposition 1.3 on reduit la transformée de Mellin de l’intégrale (1.3.1) à une intégrale du type d’Euler:

(1.3.7)  M_{J,γ_{s}}^{ζ}(z) := ∫_{Π} s^{z}I_{X^{J},γ_{s}}^{ζ}(s)\frac{ds}{s^{1}}

= ∫_{S_{+}^{k−1}(w′′)×γ^{Π}} \frac{X^{J}ω^{ζ}s^{z−1}dX ∧ Ω_{0}(ω) ∧ ds}{(ω_{1}(f_{1}(X) + s_{1}) + ⋯ + ω_{k}(f_{k}(X) + s_{k}))^{ζ_{1}+···+ζ_{k}+k}}

= ∫_{R_{+}} σ^{ζ_{1}+···+ζ_{k}+k} \frac{dσ}{σ} ∫_{S_{+}^{k−1}(w′′)} ω^{ζ}Ω_{0}(ω) ∫_{γ_{s}} X^{J}dX ∫_{Π} s^{z−1}e^{σ(ω_{1}(f_{1}(X)+s_{1})+···ω_{k}(f_{k}(X)+s_{k}))}ds,

ici le cycle Π est choisi en sorte qu’il évite les pôles de l’intégrale I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) et qu’il soit homologue à R^{k} (cf. [22], (2.1.4)). On se sert de la notation γ^{Π} := ∪_{s∈Π}(s, γ_{s}). Il ne faut pas le confondre avec l’onglet de Lefschetz, car γ^{Π} est plus tôt un tuyau sans onglet.

Et puis, nous reécrivons, à constante près, la dernière expression par

(1.3.8)  ∫_{(R_{+})^{k}×γ^{Π}} e^{Ψ(T)}X^{J+1}y^{ζ+1}s^{z} \frac{dX}{X^{1}} ∧ \frac{dy}{y^{1}} ∧ \frac{ds}{s^{1}}

où

(1.3.9)  Ψ(T) = T_{1}(X, s, y) + ⋯ + T_{L}(X, s, y) = F (X, s, y),

dans lequel chaque terme T_{i}(X, s, y) représente un monôme des variables X, s, y du polynôme (1.2.1). Nous allons appeler le polynôme (1.1.6) (noté par Ψ(T)) fonction de phase.

1.4. Lemmes combinatoires Ici on prépare quelques lemmes de caractère combinatoire qui sont utiles pour le calcul de la transformée de Mellin (1.3.7).

Désormais on note par L le nombre des monômes en (X, s, y) qui prennent part à la fonction de phase. Dans le cas de la singularité d’A’Campo (0.2), on a L = (N + 1)k, avec

(1.4.1)  T_{1} = y_{1}x_{1}^{α_{1,1}}, T_{2} = y_{1}x_{2}^{α_{2,1}}, ⋯, T_{L} = y_{k}s_{k}.

D’ici bas pour (0.2), on suppose toujours que la matrice

(1.4.2)  [ \begin{matrix}α_{1,1} & ⋯ & α_{1,N} \\ ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ α_{k,1} & ⋯ & α_{k,N} \end{matrix} ] ,

est de rang k.

Si le nombre L est strictement plus petit que le nombre des variables (X, s, y) = M + 2k, alors nous appelons le cas “abondant”. Par contre, si M + 2k < L le cas “déficitaire”.

Dans le cas déficitaire, on peut définir le nombre m comme le nombre minimal des nouvelles variables

(1.4.3)  x′′ = (x′_{1}, ⋯, x′_{m})

pour rendre le nombre des variables égal à celui des termes selon la façon introduite au §1.1. Par exemple, la relation (1.4.1) devient comme suit:

(1.4.4)  T_{1} = y_{1}x′_{1}x_{1}^{α_{1,1}}, T_{2} = y_{1}x′_{2}x_{2}^{α_{2,1}}, ⋯, T_{(N+1)k−1} = y_{k}x′_{m}x_{N}^{α_{N,k}}, T_{(N+1)k} = y_{k}s_{k}.

Pour simplifier nous introduisons l’écriture des polynômes

f_{i}(X) = Xα⃗_{1,i} + ⋯ + Xα⃗_{τ_{i},i}, 1 ≤ i ≤ k,

où Xα⃗_{j,i} = X_{1}^{α_{j,i,1}} ⋯ X_{M}^{α_{j,i,M}} = x_{1}^{α_{j,i,1}} ⋯ x_{N}^{α_{j,i,N}} x_{1}^{′α_{j,i,N+1}} ⋯ x_{M−N}^{′α_{j,i,M}} . Le nombre τ_{i} dénote le nombre des termes qui sont présents dans l’expression f_{i}(X). On a ainsi τ_{1} + ⋯ + τ_{k} + k = L.

Proposition 1.5 Pour la variété torique P_{Σ} (resp. PΣ̃) associée à X_{s} définie par (0.2), (1.4.1), on a dimD(Σ) = dimD(Σ̃) + 1 = (N − 1)(k − 1), et

(1.4.5)  m = dimD(Σ) − 1 = dimD(Σ̃) = (N − 1)(k − 1) − 1.

C’est à dire, l’addition convenable (voir Lemme 3.5. ci-dessous) des nouvelles variables x′ = (x′′, x′_{m+1}) = (x′_{1}, ⋯, x′_{m}, x′_{m+1}) à f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x) rend notre polynôme G(X′, 0, y) de (1.1.4) quasihomogène.

Démonstration D’abord on remarque que α⃗_{j,i} = (0, ⋯, 0, ⋯, 0, ^{∨^{j}} ⋯,α_{j,i,j}, 0, ⋯, 0), 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ N, selon la notation ci-dessus. Pour démontrer la proposition, il suffit de trouver l’ensemble minimal de vecteurs supplémentaires e⃗_{j,i}, (j, i) ∈ Ã, |Ã| = m + 1 tel que α⃗_{j,i} − α⃗_{j+1,i} + e⃗_{j,i} possède un unique vecteur vertical dans C^{N+m+1}. Si la condition (1.4.2) est satisfaite, on voit que l’espace vectoriel engendré par

α⃗_{j,1} − α⃗_{j+1,1}, 1 ≤ j ≤ N − 1
α⃗_{j,i} − α⃗_{j+1,i} + e⃗_{j,i}, 1 ≤ j ≤ N − 1, 2 ≤ i ≤ k,

avec ⋀_{1≤j≤N−1,2≤i≤k} e⃗_{j,i} ≠ 0 possède unique vecteur vertical

⋀_{1≤j≤N−1} (α⃗_{j,1} − α⃗_{j+1,1}) ⋀_{1≤j≤N−1,2≤i≤k} (α⃗_{j,i} − α⃗_{j+1,i} + e⃗_{j,i})

dans C^{N+(N−1)(k−1)}. On en déduit que la dimension de l’espace desiré doit être m + 1 = (N − 1)(k − 1). C.Q.F.D.

1.5 En suite, on va considérer une paramétrisation simple de la variété définie par (0.1). Pour fixer la situation, désormais on tient uniquement compte du cas déficitaire des variables. Les cas abondants des variables seront traités ailleurs (par exemple (4.2.1), (4.2.2) ci-dessous). On note

(1.5.1)  Ξ :=^{t} (x_{1}, ⋯, x_{N}, x′_{1}, ⋯, x′_{m}, s_{1}, ⋯, s_{k}, y_{1}, ⋯, y_{k}),
(1.5.2)  Log T :=^{t} (log T_{1}, ⋯, log T_{L})
(1.5.3) Log Ξ :=^{t} (log x_{1}, ⋯, log x_{N}, log x′_{1}, ⋯, log x′_{m}, log s_{1}, ⋯, log s_{k}, log y_{1}, ⋯, log y_{k}).

Ici on oublie la variable x′_{m+1} en la fixant x′_{m+1} = 1. Alors, une équation linéaire équivalente à (1.4.4) s’écrit comme, (1.5.4) log T_{1} = log y_{1}+log x′_{1}+α_{1,1}log x_{1}, log T_{2} = log y_{1}+log x′_{2}+α_{2,1}log x_{2}, ⋯, log T_{(N+1)k} = log y_{k}+log s_{k}.

Reécrivons cette relation linéaire (1.5.4) au moyen d’une matrice L ∈ End(Z^{L}),

(1.5.5)  Log T = L · Log X.

Dorénavant, les colonnes des matrices L, L^{−1} etc. seront toujours rangées en correspondance avec l’ordre des variables donné ci-dessus dans (1.5.1), (1.5.2), (1.5.3).

Bien entendu, on peut modifier, avec une certaine liberté, de monômes du polynôme f en y ajoutant des paramètres (x′_{1}, ⋯, x′_{m}), comme on verra dans l’exemple suivant. C’est à dire, on peut ajouter x′ comme chez (1.6.3) ou bien (1.6.7) ci-dessous. On va revenir à cette question plus tard au §3.2. Voir Remarque 5 à propos de la compactification de Terasoma.

Néanmoins, dans le cas de la singularité (0.2), le choix des monômes auxquels on multiplié les paramètres supplémentaires est un peu délicat. Notamm ent, il faut suivre les règles suivantes pour éviter la dégénérescence de la matrice L de la relation (1.5.5).

Lemme 1.6 Pour (0.2) et (1.4.3), on a une matrice non-dégénérée L si on suit les règles suivantes:

a. Pour l’indice i ∈ {1, ⋯, N} fixé, il faut choisir au moins un des monômes x_{j}^{α_{j,i,j}}, 1 ≤ i ≤ k que on ne modifie pas.

b. Pour l’indice i ∈ {1, ⋯, k} fixé, il faut choisir au moins un des termes x_{j}^{α_{j,i,j}}, 1 ≤ j ≤ N que on ne modifie pas.

Par exemple, on peut modifier les termes de y_{ℓ}(f_{ℓ}(x) + s_{ℓ}) pour ℓ assez grand de la façon suivante:

(1.5.6)  y_{ℓ}(f_{ℓ}(x, x′) + s_{ℓ}) = y_{ℓ}(x_{1}^{α_{1ℓ}} + ∑_{i=2}^{N} x′_{i,ℓ}x_{i}^{α_{iℓ}} + s_{ℓ}).

Ainsi on crée un polynôme qui dépend des (N − 1) nouveaux paramètres (x′_{2,ℓ}, ⋯, x′_{N,ℓ}) qui n’apparaîssent pas aux f_{1}(x, x′) + s_{1}, ⋯ f_{ℓ−1}(x, x′) + s_{ℓ−1}. On arrive à une notion naturelle qui contient le cas (0.2).

Définition 2 Nous appelons une IC (0.1) simpliciable, s’il existe un polynôme (1.1.4) tel que dimD(Σ) = L − 2k − N + 1 et tel que la matrice L définie par (1.5.5) soit non-dégénérée. Nous appelons tel polynôme (1.1.4) simplicial.

Dans le cas où l’IC est simpliciable, on peut énoncer une nouvelle proposition, analogue à la Proposition 1.5. C’est à dire une relation entre le nombre des variables nécessaires pour la quasihomogénéité et le nombre m de (1.4.3).

Proposition 1.7 Pour l’IC simpliciable plongée dans P_{Σ} (resp. PΣ̃), on a la relation suivante;

(1.5.7)  m = dim D(Σ) − 1 = dimD(Σ̃) = M − N.

Dorénavant, on va donc identifier M = N + m.

On se souvient ici de la notion de non-dégénérescence d’un polynôme qui s’entraîne de sa simpliciabilité.

Définition 3 L’hypersurface définie par un polynôme g(x) = ∑_{α∈supp(g)} g_{α}x^{α} ∈ C[x_{1}, ⋯, x_{n}] se dit non-dégénéré si et seulement si pour n’importe quel ξ ∈ R_{≥0}^{n} l’inclusion suivante a lieu,

\{x ∈ C^{n}; x_{1} \frac{∂g^{ξ}}{∂x_{1}} = ⋯ = x_{n} \frac{∂g^{ξ}}{∂x_{n}} = 0\} ⊂ \{x ∈ C^{n}; x_{1} ⋯ x_{n} = 0\}

où g^{ξ}(x) = ∑_{{β;<β,ξ>≤<α,ξ>, pour tout α∈supp(g)}} g_{α}x^{α}.

Proposition 1.8 Si la matrice L est non-dégénérée, l’hypersurface Z_{F (X,0,y)} est non-dégénérée au sens de la Définition 3.

Démonstration D’abord on remarque que pour ξ = (\overbrace{0, ⋯, 0}^{M}, \overbrace{1, ⋯, 1}^{k}) on a F^{ξ}(X, 0, y) = F (x, 0, y). Il est nécessaire que l’équation suivante ait aucune solution dans T^{M+k} pour la nondégénérescence de l’hypersurface Z_{F (X,0,y)},

X_{1} \frac{∂F (X, 0, y)}{∂X_{1}} = ⋯ = X_{M} \frac{∂F (X, 0, y)}{∂X_{M}} = y_{1}f_{1}(X) = ⋯ = y_{k}f_{k}(X) = 0.

Cett’équation entraîne, (1.5.8)

T_{1}(X, y) = T_{2}(X, y) = ⋯ = T_{τ_{1}}(X, y) = T_{d^{1}+1}(X, y), ⋯, T_{d^{2}+1}(X, y), ⋯, T_{d^{k}−1}(X, y) = 0,

avec d^{q} := ∑_{i=1}^{q} τ_{i} + q. Pour resoudre l’équation (1.5.8) dans T^{M+k}, il suffit de chercher la solution non-triviale du système,

LLog Ξ_{0} =^{t} (−∞, ⋯, −∞),
Log Ξ_{0} :=^{t} (log x_{1}, ⋯, log x_{N}, log x′_{1}, ⋯, log x′_{m}, 0, ⋯, 0, log y_{1}, ⋯, log y_{k}).

Si detL ≠ 0 une solution quelconque Log Ξ_{0} contient un élément −∞. Cela veut dire que l’équation (1.5.8) n’a pas de la solution dans T^{M+k}. C.Q.F.D.

1.6. Exemple On considère un exemple de l’IC non-dégénérée défini par 3 polynômes qui dépendent de deux variables,

(1.6.1)  f_{i}(x) = x_{1}^{α_{i}} + x_{2}^{β_{i}} , 1 ≤ i ≤ 3.

Alors la fonction de phase a 9 termes, pourtant elle dépend de 8 variables-paramètres: y_{1}(x_{1}^{α_{1}} + x_{2}^{β_{1}} + s_{1}) + y_{2}(x_{1}^{α_{2}} + x_{2}^{β_{2}} + s_{2}) + y_{3}(x_{1}^{α_{3}} + x_{2}^{β_{3}} + s_{3}).

On se trouve au cas déficitaire. On ajoute un autre paramètre x′_{1} qui met notre polynôme sous forme convenable. Notamment, on regarde

(1.6.2)  y_{1}(x_{1}^{α_{1}} + x_{2}^{β_{1}} + s_{1}) + y_{2}(x_{1}^{α_{2}} + x_{2}^{β_{2}} + s_{2}) + y_{3}(x_{1}^{α_{3}} + x′_{1}x_{2}^{β_{3}} + s_{3}),

au lieu de la fonction de phase initiale.Alors on a (1.6.3) T_{1} = y_{1}x_{1}^{α_{1}}, T_{2} = y_{1}x_{2}^{β_{1}}, T_{3} = y_{1}s_{1}, T_{4} = y_{2}x_{1}^{α_{2}}, T_{5} = y_{2}x_{2}^{β_{2}}, T_{6} = y_{2}s_{2}, T_{7} = y_{3}x_{1}^{α_{3}}, T_{8} = y_{3}x′_{1}x_{2}^{β_{3}}, T_{9} = s_{3}.

Dans ce cas là, on est ramené à resoudre l’équation linéaire suivant:

(1.6.4)  Log T = L_{3} · Log X.

où

(1.6.5)  L_{3} = [ \begin{matrix}α_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & β_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ α_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & β_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ α_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & β_{3} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] ,

Log T =^{t} (log T_{1}, log T_{2}, log T_{3}, log T_{4}, log T_{5}, log T_{6}, log T_{7}, log T_{8}, log T_{9})
Log X =^{t} (log x_{1}, log x_{2}, log x′_{1}, log s_{1}, log s_{2}, log s_{3}, log y_{1}, log y_{2}, log y_{3}).

Autrement dit, on a relation:

Log X = L_{3}^{−1} · Log T,

avec

L_{3}^{−1} =

(1.6.6)

\frac{1}{δ(1, 2)} [ \begin{matrix}β_{2} & −β_{2} & 0 & −β_{1} & β_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ α_{2} & −α_{2} & 0 & −α_{1} & α_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −δ(2, 3) & δ(2, 3) & 0 & δ(1, 3) & −δ(1, 3) & 0 & −δ(1, 2) & δ(1, 2) & 0 \\ β_{1} α_{2} & −α_{1} β_{2} & δ(1, 2) & −α_{1} β_{1} & α_{1} β_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ β_{2} α_{2} & −β_{2} α_{2} & 0 & −α_{1} β_{2} & β_{1} α_{2} & δ(1, 2) & 0 & 0 & 0 \\ α_{3} β_{2} & −α_{3} β_{2} & 0 & −β_{1} α_{3} & β_{1} α_{3} & 0 & −δ(1, 2) & 0 & δ(1, 2) \\ −β_{1} α_{2} & α_{1} β_{2} & 0 & α_{1} β_{1} & −α_{1} β_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −β_{2} α_{2} & β_{2} α_{2} & 0 & α_{1} β_{2} & −β_{1} α_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −α_{3} β_{2} & α_{3} β_{2} & 0 & β_{1} α_{3} & −β_{1} α_{3} & 0 & δ(1, 2) & 0 & 0 \end{matrix} ] .

Ici on s’est servi de la notation δ(i, j) = α_{i}β_{j} − α_{j}β_{i}, 1 ≤ i, j ≤ 3. Pourtant on note que det(L_{3}) = δ(1, 2). Si on regarde une autre paramétrisation:

(1.6.7)  y_{1}(x_{1}^{α_{1}} + x_{2}^{β_{1}} + s_{1}) + y_{2}(x_{1}^{α_{2}} + x̃′_{1}x_{2}^{β_{2}} + s_{2}) + y_{3}(x_{1}^{α_{3}} + x_{2}^{β_{3}} + s_{3}).

On aura Log T̃ = L_{2} · (log X̃′) avec la matrice:

(1.6.8)  L_{2} = [ \begin{matrix}α_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & β_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ α_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & β_{2} & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ α_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & β_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] ,

(1.6.9)  L_{2}^{−1} =

\frac{1}{δ(1, 3)} [ \begin{matrix}β_{3} & −β_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & −β_{1} & β_{1} & 0 \\ α_{3} & −α_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & −α_{1} & α_{1} & 0 \\ δ(2, 3) & −δ(2, 3) & 0 & −δ(1, 3) & δ(1, 3) & 0 & δ(1, 2) & −δ(1, 2) & 0 \\ β_{1} α_{3} & −α_{1} β_{3} & δ(1, 3) & 0 & 0 & 0 & −β_{1} α_{1} & β_{1} α_{1} & 0 \\ β_{3} α_{2} & −β_{3} α_{2} & 0 & −δ(1, 3) & 0 & δ(1, 3) & −β_{1} α_{2} & β_{1} α_{2} & 0 \\ α_{3} β_{3} & −α_{3} β_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & −α_{1} β_{3} & α_{3}β_{1} & δ(1, 3) \\ −β_{1} α_{3} & α_{1} β_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & β_{1} α_{1} & −β_{1} α_{1} & 0 \\ −β_{3} α_{2} & β_{3} α_{2} & 0 & δ(1, 3) & 0 & 0 & β_{1} α_{2} & −β_{1} α_{2} & 0 \\ −α_{3} β_{3} & α_{3} β_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & α_{1} β_{3} & −β_{1} α_{3} & 0 \end{matrix} ]

(1.6.10)  L_{3} · C_{32} = L_{2}

avec C_{32} = −\frac{δ(1,3)}{δ(1,2)}. On a det(L_{2}) = −δ(1, 3).

2 Représentation Mellin-Barnes-Pincherle de l’intégrale fibre

2.1 L’intégrale- fibre en tant qu’une fonction hypergéométrique généralisée Nous notons par X^{J} le monôme x_{1}^{i_{1}} ⋯ x_{N}^{i_{N}} x′_{1}^{i′_{1}} ⋯ x′_{m}^{i_{m}}. Dans le cas de l’IC simpliciable, on a

m = M − N. On reprend la forme

(2.1.1)  M_{J,γ_{s}}^{ζ}(z) := ∫_{Π} s^{z}I_{X^{J},γ_{s}}^{ζ}(s)\frac{ds}{s^{1}},

pour certain cycle Π qui évite les pôles de I_{X^{J},γ}^{ζ}(s). D’ailleurs il serait utile de voir le calcul du chapitre précédent, en liaison avec la notion des fonctions hypergéométriques généralisées (FHG) au sens de Mellin-Barnes-Pincherle [2], [20]. Par cette formulation la FHG de Gauss s’exprime par l’intégrale,

2F_{1}(α, β, γ|s) = \frac{1}{2πi} ∫_{z_{0}−i∞}^{z_{0}+i∞}(−s)^{z} \frac{Γ(z + α)Γ(z + β)Γ(−z)}{Γ(z + γ)}dz, −ℜα, −ℜβ < z_{0}.

L’ensemble des indices des colonnes et des rayons de la matrice L sera noté par I,

I := {1, ⋯, L}.

Ici on se souvient de la relation L = N + m + 2k = M + 2k. La notion suivante facilitera notre formulation des résultats. Définition 4 Nous appelons une fonction g(z) = g(z_{1}, ⋯, z_{k}) Δ− périodique pour Δ ∈ Z_{>0}, si

g(z) = h(e^{π\sqrt{−}1 \frac{z_{1}}{Δ}} , ⋯, e^{π\sqrt{−}1 \frac{z_{k}}{Δ}} ),

pour une fonction rationelle h(ζ_{1}, ⋯, ζ_{k}) quelconque.

Pour (0.1) une IC simpliciable, on a l’énoncé comme suit.

Proposition 2.1 1)Il existe un cycle Π ∈ H_{k}(T^{k} \ S.S.I_{X^{J},γ}^{ζ}(s)) tel que la transformée de Mellin (2.1.1) se représente comme produit des Γ− fonctions à un facteur g(z) de fonction Δ− périodique près:

M_{J,γ}^{ζ}(z) = g(z) ∏_{a∈I} Γ(L_{a}(J, z, ζ)),

avec

(2.1.2) L_{a}(J, z, ζ) = \frac{∑_{j=1}^{N} A_{j}^{a}(i_{j} + 1) + ∑_{j=1}^{m} C_{j}^{a}(i′_{j} + 1) + ∑_{ℓ=1}^{k} (B_{ℓ}^{a}z_{ℓ} + D_{ℓ}^{a}(ζ_{ℓ} + 1))}{Δ}, a ∈ I.

Ici on a la matrice aux éléments entiers,

(2.1.3)  ^{t}T = (A_{1}^{a}, ⋯, A_{N}^{a}, C_{1}^{a}, ⋯, C_{m}^{a}, B_{1}^{a}, ⋯, B_{k}^{a}, D_{1}^{a}, ⋯, D_{k}^{a})_{1≤a≤L},

avec p.g.d.c.(A_{1}^{a}, ⋯, A_{N}^{a}, C_{1}^{a}, ⋯, C_{m}^{a}, B_{1}^{a}, ⋯, B_{k}^{a}, D_{1}^{a}, ⋯, D_{k}^{a}) = 1, pour tout a ∈ [1, L], où la matrice Δ^{−1}T est l’inverse de L. Ainsi Δ > 0 est determiné d’une manière unique. Pourtant les coefficients (2.1.2) satisfont les propriétés suivantes pour chaque indice a ∈ I :

a Soit L_{a}(J, z, ζ) = \frac{Δ}{Δ}z_{ℓ}, c.à.d. A_{1}^{a} = ⋯ = A_{N}^{a} = 0, B_{1}^{a} = ⋯ ^{∨^{ℓ}} ⋯ = B_{k}^{a} = 0, B_{ℓ}^{a} = 1.

b Soit

L_{a}(J, z, ζ) = \frac{∑_{j=1}^{N} A_{j}^{a}(i_{j} + 1) + ∑_{j=1}^{m} C_{j}^{a}(i′_{j} + 1) + ∑_{ℓ=1}^{k} B_{ℓ}^{a}(z_{ℓ} − ζ_{ℓ} − 1)}{Δ}

2) Pour chaque l’indice 1 ≤ ℓ ≤ N, 1 ≤ q ≤ k, 1 ≤ j ≤ m fixé les égalités suivantes ont lieu:

(2.1.4)  ∑_{a∈I} A_{ℓ}^{a} = 0, ∑_{a∈I} B_{q}^{a} = 0, ∑_{a∈I} C_{j}^{a} = 0.

3)Parmi les fonction linéaires L_{a}, a ∈ I la relation suivante a lieu:

∑_{a∈I} L_{a}(J, z, ζ) = ζ_{1} + ⋯ + ζ_{k} + k.

Démonstration

1) D’abord on se souvient de la définition de la Γ−fonction,

∫_{C_{a}} e^{−T_{a}}T_{a}^{σ_{a}} \frac{dT_{a}}{T_{a}} = (1 − e^{2πiσ_{a}})Γ(σ_{a}),

pour l’unique cycle C_{a} nontrivial qui tourne autour de T_{a} = 0 avec les asymptotes ℜT_{a} → +∞. On transforme l’intégrale (1.3.8) à l’aide de l’application (1.5.5),

(2.1.5)  ∫_{(R_{+})^{k}×γ^{Π}} e^{Ψ(T (X,s,y))}X^{J+1}s^{z}y^{ζ+1} \frac{dX}{X^{1}} ∧ \frac{dy}{y^{1}} ∧ \frac{ds}{s^{1}}

= (detL)^{−1} ∫_{L_{∗}(R_{+}^{k}×γ^{Π})} e^{∑_{a∈I} T_{a}} ∏_{a∈I} T_{a}^{L_{a}(J,z,ζ)} ⋀_{a∈I} \frac{dT_{a}}{T_{a}} .

Evidemment l’intégrale (2.1.5) est égale au (1.3.8) à des fonctions Δ− périodiques près. Ici L_{∗}(R_{+}^{k}× γ^{Π}) dénote l’application d’un chaîne dans C_{X}^{M} × C_{s}^{k} × C_{y}^{k} au celui dans C_{T}^{M+2k} induite par la transformation (1.5.5). On peut considérer une action naturelle λ : C_{a} → λ(C_{a}) définie par la relation,

∫_{λ(C_{a})} e^{−T_{a}}T_{a}^{σ_{a}} \frac{dT_{a}}{T_{a}} = ∫_{(C_{a})} e^{−T_{a}}(e^{2π\sqrt{−}1}T_{a})^{σ_{a}} \frac{dT_{a}}{T_{a}} .

A l’aide de cett’action le chaîne L_{∗}(R_{+}^{k} × γ^{Π}) s’avère homologue au chaîne,

∑_{(j_{1}^{(ρ)},···,j_{L}^{(ρ)})∈[1,Δ]^{L}} m_{j_{1}^{(ρ)},···,j_{L}^{(ρ)}} ∏_{a=1}^{k} λ^{j_{a}^{(ρ)}}(R_{+}) ∏_{a′=k+1}^{L} λ^{j_{a′}^{(ρ)}}(C_{a′}),

avec m_{j_{1}^{(ρ)},···,j_{L}^{(ρ)}} ∈ Z. Celui-ci explique l’apparition du facteur g(z) = ∑_{(j_{1}^{(ρ)},···,j_{L}^{(ρ)})∈[1,Δ]^{L}} m_{j_{1}^{(ρ)},···,j_{L}^{(ρ)}}

∏_{a=1}^{k} e^{2π\sqrt{−}1j_{a}^{(ρ)}L_{a}(J,z,ζ)} ∏_{a′=k+1}^{L} e^{2π\sqrt{−}1j_{a′}^{(ρ)}L_{a′} (J,z,ζ)}(1−e^{2π\sqrt{−}1L_{a′} (J,z,ζ)}) à part de la fonction Γ(•).

Dans la suite, on s’occupe de l’analyse des facteurs de la fonction Γ chez l’intégrale (2.1.5). Dans ce but, on représente la matrice L (resp.L^{−1}) comme un ensemble des L colonnes proprement rangées:

(2.1.6)  L = (v⃗_{1}, v⃗_{2}, , ⋯, v⃗_{L}), L^{−1} = (w⃗_{1}, w⃗_{2}, , ⋯, w⃗_{L}), w⃗_{a} =^{t} (w_{a,1}, ⋯, w_{a,L}).

Les vecteurs colonnes de L^{−1} sont divisées en 3 groupes:

1 les colonnes avec tous les éléments formellement non-zéros.

2 avec unique élément non-zéro (= 1) qui produit z_{i}, 1 ≤ i ≤ k.

3 avec les éléments non-zéros qui produisent une fonction linéaire en ζ + 1, J + 1 d’après (2.1.2). Dans l’argument plus loin, les premières deux groupes des colonnes nous importent. Le produit intérieur des vecteurs (J, z, ζ) et w⃗_{a} définit la fonction linéaire sous question:

(2.1.7)  L_{a}(J, z, ζ) = (J + 1, z, ζ + 1) · w⃗_{a}.

La colonne qui correspond à la variable log s_{i} de L consiste en un seul élément non-zéro (= 1) à la position τ_{1} + ⋯ + τ_{i} + i. Pourtant la colonne de L qui correspond à la variable log x′_{ℓ} aussi consiste d’un élément non-zéro (= 1) qui n’est pas en position τ_{1} + ⋯ + τ_{i} + i, (1 ≤ i ≤ k). Notons simplement, cette correspondance par

v⃗_{ρ(i)} =^{t} (0, ⋯, 0, ⋯^{∨^{σ(i)}}1, 0, ⋯, 0),

qui entraîne chez L^{−1},

w⃗_{σ(i)} =^{t} (0, ⋯, 0, ⋯^{∨^{ρ(i)}}1, 0, ⋯, 0).

Ici ρ, σ : {N + 1, ⋯, M + k} → I est l’injection qui envoye les numéros des colonnes correspondant aux variables s, x′ à l’ensemble total des indices I. En suite, on divise les colonnes de L^{−1} en k groupes Λ_{1}, ⋯, Λ_{k} ⊂ I dont chacun représente Λ_{b} = {τ_{1} + ⋯ + τ_{b−1} + b, ⋯, τ_{1} + ⋯ + τ_{b} + b} ⊂ I. Pour ce groupe, on peut constater les propriétés suivantes. a) La colonne v⃗_{M+k+b} =^{t}

(0, ⋯, 0, 0, ⋯^{∨^{τ_{1}+···+τ_{b−1}+b}} 0, 1, 1, ⋯, ⋯, ^{∨^{τ_{1}+···+τ_{b}+b}} 1, ⋯, 1, 0, ⋯, 0), avec τ_{b} + 1, (1 ≤ b ≤ k) éléments non-zéros (= 1). b)

Pour les vecteurs w⃗_{a} du cas 1 ci-dessus,

(2.1.8)  ∑_{a∈Λ_{b}} w_{a,j} = 0 si j ≠ M + k + b, 1 ≤ b ≤ k,

et puis il existe un autre vecteur du même groupe Λ_{b} qui satisfait:

(2.1.9)  w_{σ(i),j} = δ_{ρ(i),j},

où δ_{·,∗} est le symbole delta de Kronecker. Le vecteur (2.1.9) corresopnd au groupe 2.

2) Les 1ère , ⋯, M + k−ième vecteurs rayons de la matrice L^{−1} sont orthogonaux aux vecteurs v⃗_{M+k+1}, ⋯, v⃗_{M+2k} ci-dessus. Cela signifie les relations (2.1.4).

3) L’énoncé se déduit du point 2). C.Q.F.D.

En vue de la Proposition 2.1, on peut introduire les sous-ensembles des indices a ∈ {1, 2, ⋯, M} comme suit.

Définition 5 Le sous-ensemble I_{q}^{+} ⊂ {1, 2, ⋯, k} (resp. I_{q}^{−}, I_{q}^{0}) consiste en indices a tels que le coefficient B_{q}^{a} de L_{a}(J, z, ζ) (2.1.2) soit positif (resp. negatif, zéro). D’une façon analogue, on définit le sous-ensemble J_{r}^{+} ⊂ {1, 2, ⋯, m} (resp. J_{r}^{−}, J_{r}^{0}) qui consiste en les indices a tels que le coefficient C_{r}^{a} de L_{a}(J, z, ζ) soit positif (resp. negatif, zéro)

2.2. Système de Horn Pour assurer la convergence de la transformée de Mellin inverse de M_{J,γ}^{ζ}(z) de (2.1.1), on vérifie que la transofrmée de Mellin M_{J,γ}^{ζ}(z) admet l’éstimation suivante quitte à multiplier une fonction Δ− périodique g(z).

| M_{J,γ}^{ζ}(z) |< C_{J}exp(−ϵ | Im z |) lorsque Im z → ∞, dans un secteur d’ouverture < 2π.

pour un certain ϵ > 0,

Avant d’énoncer un lemme directement applicable à notre situation, on se rappelle un lemme élémentaire pour l’intégrale:

(2.2.1)  ∫_{z_{0}−i∞}^{z_{0}+i∞} s^{z}g(z) ∏_{j=1}^{ν} \frac{Γ(z + α_{j})}{Γ(z + ρ_{j})}dz.

Lemme 2.2 Si on choit une des fonctions suivantes g^{+}(z) (resp. g^{−}(z)) en tant que g(z), alors l’intégrand de (2.2.1) est de décroissance exponentielle lorsque Im z tend vers ∞ dans le secteur 0 ≤ arg z < 2π, (resp. −π ≤ arg z < π.)

g^{±}(z) = 1 + e^{±2πiβ_{ν}} ∏_{j=1}^{ν} \frac{sin2π(z + α_{j})}{sin2π(z + ρ_{j})},

avec β_{ν} = −1 + ∑_{j=1}^{ν}(ρ_{j} − α_{j})

Démonstration

Il suffit de se rappeler

∏_{j=1}^{ν} \frac{Γ(x + iy + α_{j})}{Γ(x + iy + ρ_{j})} → const. | y |^{−(β_{ν}+1)}

lorsque y → ±∞. Ici, on se sert de la formule de Binet:

log Γ(z + a) = log Γ(z) + a log z − \frac{a − a^{2}}{2z} + O(| z |^{−2})

si | z |>> 1,. Le facteur | s^{−(x+iy)} |= r^{−x}e^{θy}, pour s = re^{iθ} donne la contribution exponentiellement décroissante dans chaque cas. C.Q.F.D.

Nous introduisons la notation

L_{j}(z) = A_{j1}z_{1} + A_{j2}z_{2} + ⋯ + A_{jk}z_{k} + A_{j0}, 1 ≤ j ≤ p
M_{j}(z) = B_{j1}z_{1} + B_{j2}z_{2} + ⋯ + B_{jk}z_{k} + B_{j0}, 1 ≤ j ≤ r.

Lemme 2.3 Pour que l’intégrale

(2.2.2)  ∫Π̌ s^{z}g(z)\frac{∏_{j=1}^{p} Γ(L_{j}(z))}{∏_{j=1}^{r} Γ(M_{j}(z))}dz_{1} ∧ ⋯ ∧ dz_{k}

avec g(z) une fonction Δ− périodique convenable définisse une fonction à croissance polynomiale à ses lieux singuliers (y compris ∞) il suffit que les conditions suivantes soient safisfait.

i) Pour chaque i > 0

(2.2.3)  ∑_{j=1}^{p} A_{j,i} = ∑_{j=1}^{r} B_{j,i}

ii) Le nombre

(2.2.4)  α = min_{z∈S^{k−1}}(∑_{j=1}^{p} |L_{j}(z) − A_{j0}| − ∑_{j=1}^{r} |M_{j}(z) − B_{j0}|)

soit non-negatif.

Démonstration Pour voir l’existence d’une direction d’intégration lelong laquelle l’intégrand de (2.2.2) est de décroissance exponentielle, on recourt à une astuce de Nörlund [20] comme au lemme 2.2. Si on utilise la notation comme suit:

β_{i} = ∑_{j} A_{j,i} − ∑_{j} B_{j,i}

η = ∑_{j=1}^{p} A_{j,0} − ∑_{j=1}^{r} B_{j,0} − \frac{1}{2}(p − r)

l’intégrand de (2.2.2) se comporte comme e^{∑_{j=1}^{k}(− \frac{1}{2} απ|u_{j}|+θ_{j}u_{j})} ∏_{j=1}^{k} |v_{j}|^{β_{j}v_{j}+η}(R_{j}/ρ_{j})^{γ} pour certain γ, ρ_{1}, ⋯, ρ_{k} ∈ R et s = (R_{1}e^{iθ_{1}}, ⋯, R_{k}e^{iθ_{k}}) lorsque le norme de la variable z_{j} = u_{j} + iv_{j} tend vers l’infini. Il est facile de voir cela de la formule de Stirling (Whittaker-Watson, Chapter XII, Exemple 44). L’estimation ci-dessus entraîne immédiatement le lemme. C.Q.F.D.

Remarque 1 Dans [22] les auteurs ont établi un théorème semblable à notre dans le cas où α de (2.2.4) est strictement positif.

Si on applique ce lemme à notre intégrale, on voit qu’il existe un cycle Π̌

(2.2.5)  I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) := ∫Π̌ g(z)\frac{∏_{a∈I_{q}^{+}∪I_{q}^{0}} Γ(L_{a}(J, z, ζ))}{∏_{ā∈I_{q}^{−}} Γ(1 − Lā(J, z, ζ))}s^{−z}dz,

avec une fonction g(z) rationelle en e^{πiL_{a}(J,z,ζ)}, a ∈ I. Ici on se souvient de la relation Γ(z)Γ(1−z) = \frac{π}{sin πz} . Une autre consequence importante de la proposition ci-dessus est le théorème suivant:

Théorème 2.4 L’intégrale I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) satisfait un système des équations du type de Horn comme suit:

(2.2.6)  L_{q,J}(ϑ_{s}, s, ζ)I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) = [P_{q,J}(ϑ_{s}, ζ) − s_{q}^{Δ}Q_{q,J}(ϑ_{s}, ζ)]I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) = 0, 1 ≤ q ≤ k

avec

(2.2.7)  P_{q,J}(ϑ_{s}, ζ) = ∏_{a∈I_{q}^{+}} ∏_{j=0}^{B_{q}^{a}−1}(L_{a}(J, −ϑ_{s}, ζ) + j)

(2.2.8)  Q_{q,J}(ϑ_{s}, ζ) = ∏_{ā∈I_{q}^{−}} ∏_{j=0}^{−Bā ; q−1}(−Lā(J, −ϑ_{s}, ζ) − j),

où I_{q}^{+}, I_{q}^{−}, 1 ≤ q ≤ k. sont les ensembles des indices définis dans la Définition 5. Pourtant les degrés des deux opératuers P_{q,J}(ϑ_{s}, ζ), Q_{q,J}(ϑ_{s}, ζ) sont égaux. Notamment ils s’expriment par la relation suivante,

(2.2.9)  ∑_{a∈I_{q}^{+}} B_{q}^{a} = |χ(X_{q})| = |χ(X̃_{q})|,

ici X_{q} signifie la variété affine de dimension M − 1,

X_{q} := {(X, s)|_{s_{q}=1} ∈ T^{M+k−1}; f_{1}(X) + s_{1} = ⋯ = f_{q−1}(X) + s_{q−1} =
= f_{q}(X) + 1 = f_{q+1}(X) + s_{q+1} = ⋯ = f_{k}(X) + s_{k} = 0}.

Nous notons par X̃_{q} l’IC définie dans T^{M+1},

X̃_{q} := {(x, s_{q}) ∈ T^{M+1}; f_{1}(x) = ⋯ = f_{q−1}(x) = f_{q}(x) + s_{q} = f_{q+1}(x) = ⋯ = f_{k}(x) = 0}.

Démonstration Pour un cycle γ qui réalise l’expression (2.1.1) de la transformée de Mellin, l’énoncé est une conséquence évidente du (2.2.5). Pour l’autre cycle γ′, on applique l’argument de [4], [5],

[25] 3.4.1, qui dit que l’intégrand de l’expression

∫_{γ′} ∫_{Γ}[P_{q,J}(ϑ_{s}, ζ) − s_{q}^{Δ}Q_{q,J}(ϑ_{s}, ζ)](f_{1}(X) + s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(X) + s_{k})^{−ζ_{k}−1}X^{J}dX,

donne derivée d’une forme rationelle sur T^{M} \ X_{1} ∪ ⋯ ∪ X_{k} (notation de la Proposition 1.4).

Nous prouvons ici donc (2.2.9). Soit E_{q} sous-espace de R_{(z,ζ,J)}^{L} défini par z_{q} = 0, ζ = 0. Alors on a l’égalité pour a ∈ I_{q}^{+}

B_{q}^{a} = (M + k − 1)!vol_{M+k−1}(⟨v⃗_{1}|_{E_{q}}, ⋯^{∨^{a}}, v⃗_{L}|_{E_{q}}⟩),

où v⃗_{i} i−ème vecteur rayon de la matrice L. En fait ⟨v⃗_{1}|_{E_{q}}, ⋯^{∨^{a}}, v⃗_{L}|_{E_{q}}⟩ est formellement un polyèdre avec L − 1 vertexes (y compris {0}) dans E_{q} dont le volume est égal au volume d’un simplexe avec (M + k − 1) vertexes dans E_{q} qui appartiennent à l’un des polyèdres de Newton Δ(f_{1}(X) + s_{1}),Δ(f_{q−1}(X) + s_{q−1}), Δ(f_{q}(X) + 1), Δ(f_{q+1}(X) + s_{q+1}), ⋯, Δ(f_{k}(X) + s_{k}).

Dans la matrice L on multiplie les rayons qui correspondent aux termes de f_{ℓ}(X) par λ_{ℓ} (ℓ ≠ q). Notons par L(λ) la matrice ainsi modi fiée. Alors

det(L(λ)) = λ_{1}^{τ_{1}} ⋯ λ_{k}^{τ_{k}}det(L),

où τ_{i} = nombre des termes dans l’expression f_{i}(X). Evidemment τ_{1} + ⋯ τ_{k} + k = L. Si on calcule le (M + q, ℓ)−mineur ( déterminant de la matrice que l’on obtient de L en enlevant (M + q)−ième colonne et ℓ−ième rayon de L(λ)). On remarque ici que M + 1, ⋯ M + k colonnes sont ceux qui correspondent à z_{1}, ⋯, z_{k}. Le (M + q, ℓ)−mineur sous question nous donne le (M + q, ℓ)−mineur de L multiplié par λ_{1}^{τ_{1}} ⋯ λ_{ℓ}^{τ_{ℓ}−1}λ_{k}^{τ_{k}} dont l’homogénéité en (λ_{1}, ⋯, λ_{k}) est égal à L − k − 1 = M + k − 1. D’après la définition du volume mixte de Minkowski, le somme de tous les simplexes possibles engendrés par M + k − 1 vertexes qui appartiennent à l’un des polyèdres de Newton Δ(f_{1}(X) + s_{1}),Δ(f_{q−1}(X) + s_{q−1}), Δ(f_{q}(X) + 1), Δ(f_{q+1}(X) + s_{q+1}), ⋯, Δ(f_{k}(X) + s_{k}) doit être le somme des coefficients positifs de λ_{1}^{a_{1}} ⋯ λ_{k}^{a_{k}},

a_{1} + ⋯ + a_{k} = M + k − 1, a_{1} ≥ 1, ⋯, a_{k} ≥ 1

chez les (M + q, ℓ)−mineurs avec 1 ≤ ℓ ≤ L. Ce somme est égal à ∑_{a∈I_{q}^{+}} B_{q}^{a}. D’autre part d’après le théorème de Khovanski-Oka [16], [21] le caractéristique d’Euler de l’intersection complète X_{q} s’exprime par des données combinatoires,

\frac{1}{(M + k − 1)!}|χ(X_{q})| =

vol_{M+k−1}(Δ(f_{1}(X)+s_{1}), Δ(f_{q−1}(X)+s_{q−1}), Δ(f_{q}(X)+1), Δ(f_{q+1}(X)+s_{q+1}), ⋯, Δ(f_{k}(X)+s_{k})).

L’égalité |χ(X̃_{q})| = |χ(X_{q})| est une conséquence facile d’algèbre linéaire. C.Q.F.D.

On peut formuler une condition de non-résonance pour le système (2.2.6). Notamment, l’ensemble des fonctions linéaires

⋃_{a∈I_{q}^{+}}{L_{a}(J, z, ζ), L_{a}(J, z, ζ) + 1, ⋯, L_{a}(J, z, ζ) + B_{q}^{a} − 1},

ait aucune intersection avec l’ensemble

⋃_{ā∈I_{q}^{−}}{Lā(J, z, ζ), Lā(J, z, ζ) + 1, ⋯, Lā(J, z, ζ) − Bā ; q − 1}.

Dans le cas de non-résonance ci-dessus, le dégré de l’opérateur L_{q,J}(ϑ, ζ) est égal à |χ(X_{q})|.

Corollaire 2.5 La variété caractéristique du système (2.2.6) est égale à la variété

Λ = {(s, ξ) ∈ T^{∗}C_{s}^{k}; σ(L_{q})(s, ξ) = [P_{q,0}(sξ, 0) − s_{q}^{Δ}Q_{q,0}(sξ, 0)] = 0, 1 ≤ q ≤ k}

où sξ = (s_{1}ξ_{1}, ⋯, s_{k}ξ_{k}). Le lieu singulier de (2.2.6) est contenu dans l’ensemble R = {s ∈ C_{s}^{k}; R[σ(L_{1})(s, ξ), ⋯, σ(L_{k})(s, ξ)] = 0} où R[σ(L_{1})(s, ξ), ⋯, σ(L_{k})(s, ξ)] ∈ C[s] est le résultant des polynômes σ(L_{1})(s, ξ), ⋯, σ(L_{k})(s, ξ).

Malheureusement dans plusieurs cas le résultant R[σ(L_{1})(s, ξ), ⋯, σ(L_{k})(s, ξ)] est identiquement zéro. Pour déduire des informations essentielles sur le lieu singulier du sysème (2.2.6), on introduit la notion de “résultant résiduel”. Soit L_{0}(s, ξ) le p.g.d.c. des polynômes σ(L_{1})(s, ξ), ⋯, σ(L_{k})(s, ξ) alors le résultant résiduel est défini comme le résultant des polynômes \frac{σ(L_{1})(s,ξ)}{L_{0}(s,ξ)}, ⋯, \frac{σ(L_{k})(s,ξ)}{L_{0}(s,ξ)}. Divers experiments sur les cas concrèts nous permettent de formuler la conjecture suivante.

Conjecture Le polyèdre de Newton du résultant résiduel R[\frac{σ(L_{1})(s,ξ)}{L_{0}(s,ξ)}, ⋯, \frac{σ(L_{k})(s,ξ)}{L_{0}(s,ξ)}] dépourvu

du facteur de forme s_{1}^{d_{1}} ⋯ s_{k}^{d_{k}} coincide avec le somme mixte de Minkowski ∑_{q=1}^{k} ∑_{ā∈I_{q}^{−}} Δ(Lā) pour Δ(Lā) := {z ∈ R_{+}^{k}; σ(L_{q})(s, ξ) ≤ ℓā} pour le choix propre des lā.

Ici on définit le somme mixte de Minkowski pour deux polyèdres par Δ_{1} + Δ_{2} = {z_{1} + z_{2}; z_{1} ∈ Δ_{1}, z_{2} ∈ Δ_{2}}. On peut trouver des exemples qui supportent cette conjecture dans [23] pour des systèmes de Horn qui n’ont pas forcément d’origine géométrique. Il est probable que une étude détaillée du polytôpe secondaire introduit par les auteurs du [14] peut donner une réponse combinatoire à cette question.

Corollaire 2.6 Chaque solution du système (2.2.6) peut être representée comme combinaison linéaire des fonctions:

I_{X^{J},γ_{δ}}^{ζ}(s) := ∫Π̌_{δ} \frac{∏_{a∈I_{q}^{+}∪I_{q}^{0}} Γ(L_{a}(J, z, ζ))}{∏_{a∈I_{q}^{−}}(Γ(1 − L_{a}(J, z, ζ))}s^{−z}dz,

associée à un cycle Π̌_{δ} ⊂ {z ∈ C^{k}; L_{a}(J, z, ζ) ∈ Z_{≤0}}.

Il s’agit d’une méthode généralisée de Frobenius. Voir [28], Chap. 2, 3.

Ici nous introduisons la notion du support de la transformée de Mellin M_{J,γ}^{ζ}(z) qui contribue essentiellement à l’inversion décrite au corollaire 2.6.

Définition 6 Pour un indice q ∈ [1, k] fixé on note par supp^{(q)}(M_{J,γ}^{ζ})(z) l’ensemble des pôles d’ordre ≥ k de l’expression

\frac{∏_{a∈I_{q}^{+}} Γ(L_{a}(J, z, ζ))}{∏_{a∈I_{q}^{−}}(Γ(1 − L_{a}(J, z, ζ))}.

Remarque 2 On remarque ici que les réseaux de l’ensemble supp^{(q)}(M_{J,γ}^{ζ})(z) donnent naissance à la bonne κ-filtration (κ =k) introduite par C.Sabbah [25], [26].

Nous introduisons une fonction méromorphe qui depend de z, (η^{(1)}, ⋯, η^{(k)}), (η^{′(1)}, ⋯, η^{′(k)}) ∈ Z^{k}, (α_{1}^{(ℓ)}, ⋯, α_{k}^{(ℓ)}), (β_{1}^{(ℓ)}, ⋯, β_{k}^{(ℓ)}) ∈ Q^{k} et Δ un entier positif.

a(z) = \frac{∏_{ℓ=1}^{k} Γ(\frac{<α^{(ℓ)},z>}{Δ} + η^{(ℓ)})}{∏_{ℓ=1}^{k} Γ(\frac{<β^{(ℓ)},z>}{Δ} + η^{′(ℓ)})},

où < α^{(ℓ)}, z >= α_{1}^{(ℓ)}z_{1} + ⋯ + α_{k}^{(ℓ)}z_{k}. L’expression < β^{(ℓ)}, z > se définit d’une façon analogue. Nous introduisons la notation, z + Δe_{r} = (z_{1}, ⋯, z_{r−1}, z_{r} + Δ, z_{r+1}, ⋯, z_{k}).

Lemme 2.7 Pour la fonction a(z) on a la relation suivante:

\frac{a(z + Δe_{q})}{a(z)} = \frac{∏_{ℓ:α_{q}^{(ℓ)}>0}^{k} ∏_{j=0}^{α_{q}^{(ℓ)}−1}(\frac{<α^{(ℓ)},z>}{Δ} + j + η^{(ℓ)}) ∏_{m′:β_{q}^{(m′)}<0}^{k} ∏_{j=1}^{−β_{q}^{(m′)}}(\frac{<β^{(m′)},z>}{Δ} − j + η′^{(m′)})}{∏_{m:α_{q}^{(m)}<0}^{k} ∏_{j=1}^{−α_{q}^{(m)}}(\frac{<α^{(m)},z>}{Δ} − j + η^{(m)}) ∏_{ℓ′:β_{q}^{(ℓ′)}>0}^{k} ∏_{j=0}^{β_{q}^{(ℓ′)}−1}(\frac{<β^{(ℓ′)},z>}{Δ} − j + η′^{(ℓ′)})}.

Démonstration L’énoncé s’entraîne de la relation recurrente bien connue:

Γ(\frac{α(n + Δ)}{Δ} + ζ) = Γ(\frac{αn}{Δ} + ζ)(\frac{αn}{Δ} + ζ)(\frac{αn}{Δ} + 1 + ζ) ⋯ (\frac{αn}{Δ} + α − 1 + ζ),

si α > 0.

Γ(\frac{α(n + Δ)}{Δ} + ζ) = Γ(\frac{αn}{Δ} + ζ)(\frac{αn}{Δ} + ζ − 1)^{−1}(\frac{αn}{Δ} + ζ − 2)^{−1} ⋯ (\frac{αn}{Δ} + ζ + α)^{−1},

si α < 0.C.Q.F.D.

La compatibilité du système (2.2.6) au sens d’Ore-Sato ([28]) se déduit de la proposition cidessus.

Proposition 2.8 Les coefficients rationels

(2.2.10)  R_{q}(z) = \frac{P_{q,J}(z, ζ)}{Q_{q,J}(z + Δe_{q}, ζ)},

définis pour les opérateurs (2.2.7), (2.2.8) satisfont la condition de compabitilité:

(2.2.11)  R_{q}(z + Δe_{r})R_{r}(z) = R_{r}(z + Δe_{q})R_{q}(z), q, r = 1, ⋯, k.

3 Structure de Hodge de l’intégrale fibre

3.1. Structure de Hodge du groupe de cohomologie d’une hypersurface dans un tore Nous nous souvenons des notions fondamentales sur la structure de Hodge mixte du groupe de

cohomologie d’une hypersurface dans un tore selon [4], [11].

Soit Π un polyèdre convexe de dimension n dans R^{n} avec tous les vertexes dans Z^{n}. Soit S_{Π} ⊂ C[x_{1}^{±}, ⋯, x_{n}^{±}] un sous-anneau de l’anneau des polynômes de Laurent défini comme suivant:

(3.1.1)  S_{Π} := C ⊕ ⨁_{\frac{α⃗}{k} ∈Π,∃k≥1} C · xα⃗.

Nous notons par Δ(f) l’envelope convexe de l’ensemble α⃗ ∈ supp(f) qui s’appelle polyèdre de Newton d’un polynôme de Laurent f(x). Nous introduisons l’ideal de Jacobi comme suit:

(3.1.2)  J_{f,Δ(f)} = ⟨x_{1} \frac{∂f}{∂x_{1}} , ⋯, x_{n} \frac{∂f}{∂x_{n}} ⟩ · S_{Δ(f)}.

Soit τ une facette ℓ−dimensionelle du Δ(f) et on définit

(3.1.3)  f^{τ} (x) = ∑_{α⃗∈τ∩supp(f)} aα⃗xα⃗,

où f(x) = ∑_{α⃗∈supp(f)} aα⃗xα⃗. Le polynôme de Laurent f(x) s’appelle Π− régulier, si Δ(f) = Π et pour chaque facette ℓ−dimensionelle τ ⊂ Δ(f) (ℓ > 0) les équations polynomiales:

f^{τ} (x) = x_{1} \frac{∂f^{τ}}{∂x_{1}} = ⋯ = x_{n} \frac{∂f^{τ}}{∂x_{n}} = 0,

ne possèdent pas de solutions communes dans T^{n} = (C^{×})^{n}. Proposition 3.1 Soit f un polynôme de Laurent tel que Δ(f) = Π. Alors les conditions suivantes sont équivalentes.

(i) Les éléments x_{1} \frac{∂f}{∂x_{1}} , ⋯, x_{n} \frac{∂f}{∂x_{n}} donne naissance à une suite régulière dans S_{Δ(f)}.

(ii)

dim(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ) = n!vol(Π).

(iii) f est Π−régulier.

Pour un polynôme f Π−régulier, il est possible d’introduire une filtration sur Π = S_{Δ}(f) qui est définie comme suit. L’inclusion α⃗ ∈ S_{k} soit vraie si et seulement si \frac{α⃗}{k} ∈ Δ(f). Par conséquence nous avons une filtration croissante;

C ≅ {0} = S_{0} ⊂ S_{1} ⊂ ⋯ ⊂ S_{n} ⊂ ⋯,

dont une filtration décroissante est déduit sur \frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} :

F^{n}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ) ⊂ F^{n−1}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ) ⊂ ⋯ ⊂ F^{0}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ).

Elle s’appelle filtration de Hodge de \frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} . Il faut remarquer ici que la filtration de Hodge se termine par le n−ième terme.

Nous nous rapelons la notion du polynôme d’Ehrhart:

Définition 7 Soit Π un polytôpe convexe de dimension n. Nous notons la série de Poincaré d’un algèbre gradué S_{Π} par

P_{Π}(t) = ∑_{k≥0} ℓ(kΠ)t^{k},

Q_{Π}(t) = ∑_{k≥0} ℓ^{∗}(kΠ)t^{k},

où ℓ(kΠ) (resp.ℓ^{∗}(kΠ) ) dénote le nombre des points entiers dans kΠ. (resp. points entiers intérieurs dans kΠ ). Alors nous appelons

Ψ_{Π}(t) = ∑_{k=0}^{n} ψ_{k}(Π)t^{k} = (1 − t)^{n+1}P_{Π}(t),

Φ_{Π}(t) = ∑_{k=0}^{n} φ_{k}(Π)t^{k} = (1 − t)^{n+1}Q_{Π}(t),

les polynômes d’Ehrhart.

Les polynômes d’Erhart satisfont la relation suivante,

t^{n+1}Ψ_{Π}(t^{−1}) = Φ_{Π}(t).

Dorénavant notre objet central sera le groupe de cohomologie de l’hypersurface Z_{f} := {x ∈ T^{n}; f(x) = 0}. On a un isomorphisme important pour la filtration de Hodge filtration du P H^{n−1}(Z_{f}).

Théorème 3.2 ([4]) Pour la partie primitive P H^{n−1}(Z_{f}) du H^{n−1}(Z_{f}), on a isomorphisme suivant;

(3.1.4)  \frac{F^{i}P H^{n−1}(Z_{f})}{F^{i+1}P H^{n−1}(Z_{f})} ≅ Gr_{F}^{n−i}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ) = \frac{F^{i}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} )}{F^{i+1}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} )}.

En plus

dim Gr_{F}^{n−i}(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ) = ∑_{q≥0} h^{i,q}(P H^{n−1}(Z_{f})) = ψ_{n−i}(Δ(f)),

pour i ≤ n − 1.

Quant’à la filtration par le poids, nous avons la caractérisation comme suit. Afin d’introduire la notion du strate du support de l’algèbre \frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} nous nous servons de la convention d’identifier un

polynôme xα⃗ ∈ S_{Δ}(f) avec α⃗ ∈ Z^{n}. Un strate de dimension (n−j) du supp(S_{Δ}(f)) est défini comme l’ensemble des points i⃗ ∈ kΔ(f), k = 1, 2, ⋯ tels que \frac{i⃗}{k} se trouve sur la facette (n−j)−dimensionelle du Δ(f) et au même temps il n’appartient à aucune facette (n − j − 1)−dimensionelle Π′ ⊂ Δ(f).

Théorème 3.3 On peut identifier la filtration par le poids sur P H^{n−1}(Z_{f}) avec la filtration décroissante

0 = W_{n−2} ⊂ W_{n−1} ⊂ ⋯ ⊂ W_{2n−2} = P H^{n−1}(Z_{f}),

telle que W_{n+i−1} ≅\{ les points entiers situés sur le strate du supp(\frac{S_{Δ}(f)}{J_{f,Δ(f)}} ) de dimension ≥ (n − i) mais sur aucun strate de dimension (n − i − 1) } pour 0 ≤ i ≤ n − 2.

Le théorème ci-dessus est une conséquence facile du Theorem 8.2 [4]. Tout d’abord nous notons que la suite exacte suivante a lieu,

0 → H^{n}(T) → H^{n}(T \ Z_{f}) →^{Res} H^{n−1}(Z_{f}) → 0.

L’application de résidu de Poincaré Res donne un morphisme de la structure de Hodge mixte du type (−1, −1),

Res(F^{j} H^{n}(T \ Z_{f})) = F^{j−1} H^{n−1}(Z_{f}), Res(W_{j} H^{n}(T \ Z_{f})) = W_{j−2} H^{n−1}(Z_{f}).

On a donc,

0 → W_{n+i} H^{n}(T) → W_{n+i}H^{n}(T \ Z_{f}) →^{Res} W_{n+i−2}H^{n−1}(Z_{f}) → 0,

pour i = 2, ⋯, n − 1 où

(3.1.5)  W_{2n−1} H^{n}(T) = ⋯ = W_{n−1} H^{n}(T) = 0,

et dim W_{2n} H^{n}(T) = 1. En tenant compte du (3.1.5) on voit que l’application de résidu de Poincaré Res entraîne l’isomorphisme

Res : W_{n+i}H^{n}(T \ Z_{f}) →^{Res} W_{n+i−2}H^{n−1}(Z_{f}),

pour i = 1, ⋯, n − 1. La structure combinatoire W_{n+i}H^{n}(T \ Z_{f}), i = 1, ⋯, n − 1 est bien établie par le Theorem 8.2 [4].

3.2. La transition

Notons par x′ les paramètres supplémentaires qui ont été introduits dans §1 pour le cas déficitaire des variables. On s’interesse ici à la façon de modifier les termes par les variables supplémentaires x′ = (x′_{1}, ⋯, x′_{m}). Nous supposons que le terme T_{i_{j}}, 1 ≤ j ≤ m du (1.3.9) contient le facteur x′_{j}. Nous notons par l’intégrale- fibre I_{x^{J},γ}^{ζ}(s) pour ce choix de modification concret

(3.2.1)  I_{x^{J},γ}^{ζ}(s) = ∫_{γ}(f_{1}(x, x′) + s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(x, x′) + s_{k})^{−ζ_{k}−1}x^{J+1} \frac{dx}{x^{1}} \frac{dx′}{x̃^{′1}}

Définition 8 On considère la transformée de Mellin (2.1.1) pour l’intégrale (3.2.1) pour q ∈ [1, k] fixé comme (2.2.5). Nous notons l’envelope convexe de l’ensemble supp^{(q)}(M_{J,γ}^{ζ}(z)) (défini dans la Définition 6) qui contient infiniment beaucoup des points z avec z_{q} < 0, par Σ_{J}^{q} ⊂ R^{k}. Alors nous appelons le bord de cet ensemble ∂Σ_{J}^{q} les spectres de l’intégrale-fibre I_{x^{J},γ}^{ζ}(s).

Proposition 3.4 Les spectres de l’intégrale-fibre (3.2.1) I_{x^{J},γ}^{ζ}(s) sont donnés par des hyperplanes affines:

∂Σ_{J}^{q} = ∂{ ⋃_{a∈I}{z; L_{a}(J, z, ζ) ≤ 0, pour a ∈ I_{q}^{+}, z_{i} ≥ 0 , i ≠ q }}.

Démonstration Dans le domaine défini comme {z ∈ R^{M}; L_{a}(J, z, ζ) < 0, p_{q}^{(a)} > 0, z_{q} < 0 et z_{i} > 0, (i ≠ q)} pour a ∈ [1, L] = I fixé, on trouve infiniment beaucoup de points-pôles chez une représentation de la transformée de Mellin indexée par q ∈ [1, k],

M_{J,γ}^{ζ}(z) = \frac{∏_{a∈I_{q}^{+}∪I_{q}^{0}} Γ(L_{a}(J, z, ζ))}{∏_{a∈I_{q}^{−}} Γ(1 − L_{a}(J, z, ζ)}.

Pourtant L_{a}(J, z, ζ) = 0 est une équation qui prend part à la définition du ∂Σ_{J}^{q} comme un ensemble semi-algébrique. C.Q.F.D.

Bien entendu les spectres ∂Σ_{J}^{q} se diffère de ceux de

Ĩ_{x^{J},γ}^{ζ}(s) = ∫γ̃(f_{1}(x, x̃′) + s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(x, x̃′) + s_{k})^{−ζ_{k}−1}x^{J+1} \frac{dx}{x^{1}} \frac{dx̃′}{x̃^{′1}}

que nous notons ∂Σ̃_{J}^{q} qui est définie pour une autre façon d’ajouter des paramètres supplementaires x̃′ = (x̃′_{1}, ⋯, x̃′_{m}) dans laquelle le terme Tĩ_{j}, 1 ≤ j ≤ m du (1.3.9) contient le facteur x̃′_{j}.

On a déjà remarqué telle sorte d’ambiguité de choix des paramètres supplémentaires dans l’exemple 1.6, (1.6.2) et (1.6.7). Heureusement cette différence est controlable par une procédure assez simple.

Proposition 3.5 Soient

Log Ξ =^{t} (log x_{1}, ⋯, log x_{N}, log x′_{1}, ⋯, log x′_{m}, log s_{1}, ⋯, log s_{k}, log y_{1}, ⋯, log y_{k}),

et

Log Ξ̃ =^{t} (log x_{1}, ⋯, log x_{N}, log x̃′_{1}, ⋯, log x̃′_{m}, log s_{1}, ⋯, log s_{k}, log y_{1}, ⋯, log y_{k}),

deux systèmes des variables-paramètres différents. Soient les paramétrisations de Cayley correspondant:

Log T = L · Log Ξ = L̃ · Log Ξ̃.

Alors les spectres de l’intégrale-fibre I_{x^{J},γ}^{ζ}(s) sont transformées dans ceux de Ĩ_{x^{J},γ}^{ζ}(s) par la règle suivante:

L̃ · L^{−1}(∂Σ_{J}^{q}) = ∂Σ̃_{J}^{q}.

En fait cette transition peut être mieux comprise dans le cadre de la théorie de Terasoma sur la compactification de l’espace produit des fibres et celui des paramètres (voir Remarque 5 ci-dessous).

3.3 Il existe un système de poids pour les variables (x, x′′, s, y) pour que la relation suivante associée au monôme T_{ν}(y, X), 1 ≤ ν ≤ L de (1.3.9) soit vraie. Il existe le champ d’Euler E^{(ν)},

(3.3.1)  E^{(ν)}(x, x′′, 1, y, s) =

∑_{i=1}^{N} w_{i}^{(ν)}x_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} + ∑_{j=1}^{m} w′_{j}^{(ν)}x′_{j} \frac{∂}{∂x′_{j}} − x′_{m+1} \frac{∂}{∂x′_{m+1}} + ∑_{ℓ=1}^{k}(q_{ℓ}^{(ν)}y_{ℓ} \frac{∂}{∂y_{ℓ}} + p_{ℓ}^{(ν)}s_{ℓ} \frac{∂}{∂s_{ℓ}}),

qui agit sur le polynôme F (x, x”, 1, y, s) + (x′_{m+1} − 1)T_{ν}(x, s, y) en sorte que

E^{(ν)}(x, x”, 1, y, s)(F (x, x”, 1, y, s) − T_{ν}(x, s, y)) = 0,

(3.3.2)  E^{(ν)}(x, x”, 1, y, s)T_{ν}(x, s, y) = T_{ν}(x, s, y).

Autement dit, le polynôme F (x, x”, 1, y, s) + (x′_{m+1} − 1)T_{ν}(y, X) est quasihomogène par rapport au poids (3.3.1) qui est déterminé de telle façon que w′_{m+1}^{(ν)} = w^{(ν)}(x′_{m+1}) = −1. Le remplacement de T_{ν}(x, s, y) par x′_{m+1}T_{ν}(x, s, y) dans F (x, x”, 1, y, s) entraîne la quasihomogénéité. Nous introduisons les vecteurs-poids pour chaque ν:

w^{(ν)} = (w_{1}^{(ν)}, ⋯, w_{N}^{(ν)}),
w⃗′^{(ν)} = (w′_{1}^{(ν)}, ⋯, w′_{m}^{(ν)}),
(3.3.3)  p^{(ν)} = (p_{1}^{(ν)}, ⋯, p_{k}^{(ν)}).

Nous appelons une quasihomogénéité w^{(ν)}(•) triviale s’il existe i_{ν} tel que p_{i}^{(ν)} = 0 pour tous les indices i ≠ i_{ν} et p_{i_{ν}}^{(ν)} > 0. Nous désignons par I^{T} ⊂ I (resp. I^{NT} ) l’ensemble des poids triviaux (resp. non-triviaux). Il est facile de voir que |I^{T} | = k.

Les autres quasihomogénéités seront appelées non-triviales.

Lemme 3.6 1). La quasihomogénéité définie par (3.3.1) correspond au vecteur-colonne v⃗_{ν} de la matrice L^{−1}, (2.1.6).Et elle donne naissance à la fonction linéaire L_{ν}(J, z, ζ), 1 ≤ ν ≤ L.

2) Il existe M + 1 poids non-triviaux. C’est à dire |I^{NT} | = M + 1.

Démonstration 1). Pour simplifier, supposons que l’expression y_{1}f_{1}(X) de (1.1.4) ne contient pas des variables x′. Alors le vecteur v⃗_{1} de (2.1.6) correspond à la quasihomogénéité non-trivaile qui provient de la multiplication x_{1}^{α_{1,1}} → x′_{m+1}x_{1}^{α_{1,1}} car v⃗_{1} est vertical à tout les vecteurs horizontaux de L sauf le premier,

(3.3.4)  [ L 1 0 ⋮ 0 ] ( v⃗_{1} ; −1 ) = 0.

Ainsi en général le vecteur v⃗_{i} nous donne la quasihomogénéité (soit triviale soit non-triviale) qui provient de la multiplication T_{i}(x, s, y) → x′_{m+1}T_{i}(x, s, y). 2). Pour chaque polytôpe simplicial, il existe M + 1 façons d’ajouter un vertexe nouveau tel qu’il produise une quasihomogénéité nontriviale. En fait, les cas triviaux correspondent soit à la multiplication des types s_{ℓ} → x′_{m+1}s_{ℓ}, (k cas) x′_{j}T_{i}(x, x′′, s, y) → x′_{m+1}x′_{j}T_{i}(x, x′′, s, y) (m cas), soit à la multiplication telle que les règles a et b du lemme 1.5 soient violées (k − 1 cas). Nous avons L − (m + 2k − 1) = M + 1. C.Q.F.D.

Le système de poids w^{(ν)}(•), w⃗′^{(ν)}(•), ν ∈ I est donnée par les vecteurs-poids (3.3.3) ci-dessous.

Théorème 3.7 1). Pour un monôme X^{J+1}y^{ζ+1} \frac{dX∧dy}{dF} ∈ Gr_{F}^{r} P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}), l’inclusion suivante a lieu:

(3.3.5)  ∂Σ_{J}^{ℓ} ⊃ ∂{ ⋃_{ν∈I_{ℓ}^{+}}{{z; L_{ν}(J, z, ζ) ≥ 0, p_{ℓ}^{(ν)} > 0} ∩_{q≠ℓ} {z_{q} ≥ 0}}}

où l’inégalité comme suit est satisfaite,

(3.3.6)  M + k − r < L_{ν}(J, 0, ζ) ≤ M + k − r + 1.

2). Quant à la filtration par le poids on a l’éstimation suivante. Pour l’élément X^{J+1}y^{ζ+1} \frac{dX∧dy}{dF} ∈ Gr_{F}^{r} Gr_{M+k−1+q}^{W}P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}), 1 ≤ q ≤ M+k−2, il existe q− paire d’indices {ν_{1}, ⋯, ν_{q}} ⊂ I_{ℓ}^{+} tel que l’intersection des pôles de M_{J}^{ζ}(z)

∂Σ_{J}^{ℓ} ⊃ {z ∈ C^{k}; L_{ν_{1}}(J, z, ζ) = ⋯ = L_{ν_{q}}(J, z, ζ) = 0} ≠ ∅.

Par contre, si on prend I_{ℓ}^{+} ∋ ν_{q+1} ∉ {ν_{1}, ⋯, ν_{q}} quelconque, on a

⋂_{j=1}^{q+1}{L_{ν_{j}}(J, z, ζ) = 0} = ∅.

Démonstration 1) On applique le Théorème 3.2 au simplexe Π défini comme Π = Δ(F (X, 0, y) + 1). On remarque la relation

Π = {{(J + 1, ζ + 1) ∈ R^{M+k}; 0 ≤ L_{ν}(J, 0, ζ) ≤ 1, ν ∈ I^{T} ∪ I^{NT} }

qui découle du fait que le vecteur (w^{(ν)}, w⃗′^{(ν)}, p^{(ν)}, −p^{(ν)}) non-trivial est vertical à l’hyperplan engendré par les vertexes du simplexe Π exceptés le vertexe ℓ⃗_{ν} qui correspond au ν−ième rayon de la matrice L. On se souvient ici que |I^{T} ∪ I^{NT} | = M + k + 1 d’après lemme 3.6, 2). Puisque pour tel ν, le monôme T_{ν}(X, y) ne dépend pas des variables (s_{1}, ⋯, s_{k}), on peut considérer la projection pr(ℓ⃗_{ν}) ∈ R^{M+k}. On voit que

⟨pr(ℓ⃗_{ν′}), (w^{(ν)}, w⃗′^{(ν)}, −p^{(ν)})⟩ = 0, si ν′ ≠ ν,
⟨pr(ℓ⃗_{ν}), (w^{(ν)}, w⃗′^{(ν)}, −p^{(ν)})⟩ = 1,

Ces relations nous donnent la déscription désirée du simplexe Π. On remarque ici,

Δ(F (X, 0, y)) = Π ∩ {(J, ζ) ∈ R^{M+k}; < ζ, 1 >= 1},

et Π∩Z^{M+k} = {0}∪(Δ(F (X, 0, y))∩Z^{M+k}). Il est donc possible d’appliquer les argments ci-dessus du P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)+1}) au groupe P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}). D’après la proposition 3.4, le bord ∂Σ_{J}^{ℓ} est défini par L_{ν}(J, z, ζ) = 0, ν ∈ I_{ℓ}^{+}. En revanche les hyperplans

{(J + 1, ζ + 1) ∈ R^{M+k}; L_{ν}(J, 0, ζ) = 0, ν ∈ I_{ℓ}^{+} ∪ I_{ℓ}^{−}}

contiennent le bord du simplexe (M +k −r)·Π si X^{J+1}y^{ζ+1} \frac{dX∧dy}{dF} ∈ Gr_{F}^{r} P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}). On en déduit que l’ensemble {{z; L_{ν}(J, z, ζ) ≥ 0, p_{ℓ}^{(ν)} > 0} ∩_{q≠ℓ} {z_{q} ≥ 0}} est contenu dans l’ensemble complémentaire de Σ_{J}^{ℓ} dans R^{M}.

2) Si le point (i^{0} + 1, i^{′0} + 1, ζ^{0} + 1) = (J^{0} + 1, z^{0} + 1) ∈ R^{M+k} satisfait un système d’équations

(3.3.7)  L_{ν_{j}}(J^{0}, 0, ζ^{0}) = ⟨p^{(ν_{j})}, −(ζ^{0} + 1)⟩ + ⟨w^{(ν_{j})}, i^{0} + 1⟩ + ⟨w⃗′^{(ν_{j})}, i^{′0} + 1⟩ = 0,

pour ν_{j}, j = 1, 2, ⋯, q ≤ M + k − 2, alors il existe une solution z^{0} de multiplicité q telle que

(3.3.7)′  L_{ν}(J^{0}, z^{0}, ζ^{0}) = ⟨p^{(ν_{j})}, z^{0} − (ζ^{0} + 1)⟩ + ⟨w^{(ν_{j})}, i^{0} + 1⟩ + ⟨w⃗′^{(ν_{j})}, i^{′0} + 1⟩ = 0.

Car ce système là est équivalent au (3.3.7) après remplacement de la variable ζ^{0} +1 par z^{0} −(ζ^{0} +1). Évidemment tel z^{0} s’associe à un hyperplan de codimension q dans R_{J,ζ}^{M+k} × R_{z}^{k} qui passe par (J^{0} + 1, z^{0}, ζ^{0} + 1). D’après le théorème 3.3, le fait que le point (i^{0} + 1, i^{′0} + 1, ζ^{0} + 1) satisfait le système (3.3.7) est équivalent à l’appartenance du monôme x^{i^{0}+1}x^{′i^{′0}+1}y^{ζ^{0}+1} \frac{dX∧dy}{dF} ∈ W_{M+k−1+q} du groupe P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}). Pour considérer la graduation Gr_{M+k−1+q}^{W}, il suffit d’exclure les strates qui correspondent à W_{M+k−1+q′}, 0 ≤ q′ ≤ q. C.Q.F.D.

Remarque 3 En se servant de l’isomorphisme (1.3.6), on peut formuler le théorème pour

\frac{X^{J}dX}{f_{1}(X)^{ζ_{1}+1} ⋯ f_{k}(X)^{ζ_{k}+1}} ∈ P H^{M}(T^{M} \ X_{1} ∪ ⋯ ∪ X_{k}),

par rapport à la structure de Hodge induite sur P H^{M}(T^{M} \ X_{1} ∪ ⋯ ∪ X_{k}).

Lemme 3.8 Supposons que un système des équations linéaires

(3.3.8)  L_{a}(J, z, ζ) = −n_{a}, a ∈ J_{q} ⊂ I, n_{a} ∈ Z_{≥0},

avec q = p+k possède une solution z = ż telle que ż_{i} ∈ Z_{≤}0 pour au moins une indice i ∈ {1, ⋯, k}. En plus pour q = p + k + 1 le système (3.3.8) des équations n’a pas des solutions comme ci-dessus. Alors la monodromie locale de l’intégrale I_{x^{J},γ}^{ζ}(s) autour de l’origine s = 0 a cellule de Jordan de taille p + 1.

En vue du lemme ci-dessus, la monodromie locale de l’intégrale I_{X^{J},γ}^{ζ}(s) autour de l’origine s = 0 peut avoir une cellule de Jordan de taille q + 1 pour certains γ ∈ H_{M−k}(X_{s}). Ce fait entraîne l’énoncé sur la filtration par le poids comme au [36].

Nous formulons une interprétation de notre Théorème 3.7 en se servant de la formulation classique de P.Deligne [8]. Soient X^{J^{0}+1}y^{ζ^{0}+1} \frac{dX∧dy}{dF} ∈ Gr_{M+k−1+q}^{W}P H^{M+k−1}(Z_{F (X,0,y)}) et (J^{0} + 1, z^{0}, ζ^{0} + 1) un point qui satisfait l’équation (3.3.7)′ tel que les conditions du Théorème 3.7, 2) soient vraies. On considère L_{a}(J, z, ζ) comme fonction linéaire définie dans l’espace affine (J, z) ∈ C^{M+k}. Nous désignons par X̃ un voisinage ouvert suffisamment petit du point (J^{0} + 1, z^{0}) ∈ C^{M+k} (pour chaque z d’un point (J, z) ∈ X̃ les conditions du Théorème 3.7, 2) soient vraies) et par Y_{ν_{j}} l’hyperplan,

Y_{ν_{j}} := {(J^{0} + 1, z^{0}) ∈ X̃; L_{ν_{j}}(J, z, ζ^{0}) = 0}, 1 ≤ j ≤ q.

Dès que 1 ≤ q ≤ M + k − 2, la reunion des hyperplans,

Y := Y_{ν_{1}} ∪ Y_{ν_{2}} ∪ ⋯ ∪ Y_{ν_{q}},

est un diviseur à croisements normaux. D’après 3.1, [8], on peut définir Ω1 ; X̃ < Y > le sous OX̃−

module localement libre engendré par Ω1 ; X̃ et \frac{d_{z,J}L_{ν_{j}} (J,z,ζ^{0})}{L_{ν_{j}} (J,z,ζ^{0})} en telle sorte que Ωp ; X̃ <Y >= ⋀^{p} Ω1 ; X̃ <

Y > soit un OX̃−module des p−formes différentielles sur X̃ à pôle logarithmique le long de Y. Nous considérons une application M −Res (Mellin- Résidu),

M −Res : ∏_{a∈I} L_{a}(J, z, ζ^{0})dz| → ∑ ⋀_{a∈Ĩ;|Ĩ|=M+k,Ĩ⊂I^{T} ∪I^{NT}} \frac{d_{z,J}L_{a}(J, z, ζ^{0})}{L_{a}(J, z, ζ^{0})} ∈ ΩM+k ; X̃ <Y > .

Si on se souvient de la filtration par le poids W_{q}(Ωp ; X̃ < Y >) du [8], un sous module de Ωp ; X̃ < Y > formé des combinaisons linéaires de produits,

α ∧ \frac{d_{z,J}L_{ν_{1}}(J, z, ζ^{0})}{L_{ν_{1}}(J, z, ζ^{0})} ∧ ⋯ ∧ \frac{d_{z,J}L_{ν_{r}}(J, z, ζ^{0})}{L_{ν_{r}}(J, z, ζ^{0})},

avec α ∈ ΩM+k−r ; X̃, 0 ≤ r ≤ q, on a l’inclusion suivante,

(3.3.9)  M −Res(M_{J}^{ζ^{0}}(z)dz) ⊂ W_{q}(ΩM+k ; X̃ <Y >).

4 Quelques applications .

4.1. A−Fonction Hypergéométrique de Gel’fand-Kapranov-Zelevinski

Si nous remplaçons les variables x′ par s′ = (s′_{1}, ⋯, s′_{m}) considérées comme les variables de déformation des polynômes f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x), nous pouvons regarder l’intégrale

(4.1.1)  I_{x^{i},γ}^{ζ}(s, s′) = ∫_{γ_{s,s′}} (f_{1}(x, s′) + s_{1})^{−ζ_{1}−1} ⋯ (f_{k}(x, s′) + s_{k})^{−ζ_{k}−1}x^{i+1} \frac{dx}{x^{1}},

et sa transformée de Mellin

(4.1.2)  M_{i,γ}^{ζ}(z, z′) := ∫_{Π} s^{z}s^{′z′+1}Ĩ_{x^{i},γ}^{ζ}(s, s′)\frac{ds}{s^{1}} ∧ \frac{ds′}{s^{′1}} ,

au lieu des (1.3.5) et (1.3.7). En fait, le calcul totalement parallèle à celui du §2 nous donne,

(4.1.3)  M_{i,γ}^{ζ}(z, z′) = g(z, z′) ∏_{a∈I} Γ(L_{a}(i, z, z′, ζ)),

où la fonction linéaire L_{a}(i, z, z′, ζ) est définie d ’une façon analogue à (2.1.2). Il s’en déduit que l’intégrale Ĩ_{x^{i},γ}^{ζ}(s, s′) satisfait le système ci-dessous.

(4.1.4) L_{a}(i, z, z′, ζ) := \frac{∑_{j=1}^{N} A_{j}^{a}(i_{j} + 1) + ∑_{ℓ=1}^{k} (B_{ℓ}^{a}z_{ℓ} + D_{ℓ}^{a}(ζ_{ℓ} + 1)) + ∑_{j=1}^{m} C_{j}^{a}(z′_{j} + 1)}{Δ}, a ∈ I

(4.1.4)_{1} L̃_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}s, s′, ζ)Ĩ_{X^{i},γ}^{ζ}(s, s′) := [P̃_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ) − s_{q}^{Δ}Q_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ)]Ĩ_{x^{i},γ}^{ζ}(s, s′) = 0, 1 ≤ q ≤ k

avec

(4.1.4)_{2}  P̃_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ) = ∏_{a∈I_{q}^{+}} ∏_{j=0}^{B_{q}^{a}−1}(L_{a}(i, −ϑ_{s}, −ϑ_{s′}, ζ) + j),

(4.1.4)_{3}  Q̃_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ) = ∏_{ā∈I_{q}^{−}} ∏_{j=0}^{−Bā ; q−1}(−Lā(i, −ϑ_{s}, −ϑ_{s′}, ζ) − j),

où I_{q}^{+}, I_{q}^{−}, 1 ≤ q ≤ k sont les ensembles des indices définis dans la Définition 5.

(4.1.4)_{4} L̃′_{r,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}s, s′, ζ)Ĩ_{X^{i},γ}^{ζ}(s, s′) := [P̃′_{r,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ)−s_{r}^{′Δ}Q′_{r,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ)]Ĩ_{x^{i},γ}^{ζ}(s) = 0, 1 ≤ q ≤ k

(4.1.4)_{5}  P̃′_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ) = ∏_{a∈J_{r}^{+}} ∏_{j=0}^{C_{r}^{a}−1}(L_{a}(i, −ϑ_{s}, −ϑ_{s′}, ζ) + j)

(4.1.4)_{6}  Q̃_{q,i}(ϑ_{s}, ϑ_{s′}, ζ) = ∏_{ā∈J_{r}^{−}} ∏_{j=0}^{−Cā ; r−1}(−Lā(i, −ϑ_{s}, −ϑ_{s′}, ζ) − j).

Remarque 4 Comme m = dim D(Σ) − 1 = dim D(Σ̃) (voir (1.4.5)), on peut considérer que le système (4.1.4)_{∗} est défini sur (C^{×})^{k} × (D(Σ)/C^{×}) (resp. (C^{×})^{k} × D(Σ̃)) pour D(Σ) (resp. D(Σ̃)) le groupe de Néron-Severi.

D’après le point 2.4 de [15] les expressions (4.1.3), (4.1.4)_{∗} donnent l’uniformisation de Horn du discriminant des polynômes f_{1}(x, s′) + s_{1}, ⋯, f_{k}(x, s′) + s_{k}.

D_{s,s′} = \{(s, s′) ∈ C^{k+m}; f_{1}(x, s′) + s_{1} = ⋯ = f_{k}(x, s′) + s_{k} = 0, rank ( \begin{matrix}grad_{x} f_{1}(x, s′) \\ ⋯ \\ grad_{x} f_{k}(x, s′) \end{matrix} ) < N,

pour certain x ∈ T^{N}}.

Soit Δ_{f}(s, s′) le polynôme qui définit D_{s,s′} sans multiplicité. Pour les fonctions suivantes qui sont Δ−ième racines des fonctions rationelles,

ψ_{q}(z, z′) = (\frac{∏_{a∈I_{q}^{+}}(∑_{ℓ=1}^{k} B_{ℓ}^{a}z_{ℓ} + ∑_{j=1}^{m} C_{j}^{a}z′_{j})^{B_{q}^{a}}}{∏_{ā∈I_{q}^{−}}(∑_{ℓ=1}^{k} −Bā ; ℓz_{ℓ} − ∑_{j=1}^{m} Cā ; jz′_{j})^{−Bā ; q}} )^{\frac{1}{Δ}} , 1 ≤ q ≤ k,

ϕ_{r}(z, z′) = (\frac{∏_{a∈J_{r}^{+}}(∑_{ℓ=1}^{k} B_{ℓ}^{a}z_{ℓ} + ∑_{j=1}^{m} C_{j}^{a}z′_{j})^{C_{r}^{a}}}{∏_{ā∈J_{r}^{−}}(∑_{ℓ=1}^{k} −Bā ; ℓz_{ℓ} − ∑_{j=1}^{m} Cā ; jz′_{j})^{−Cā ; r}} )^{\frac{1}{Δ}} , 1 ≤ r ≤ m.

on définit l’application h,

(4.1.5)  h : C^{k+m} \ {0} → (C^{×})^{k+m},
(z, z′) → (ψ_{1}(z, z′), ⋯, ψ_{k}(z, z′), ϕ_{1}(z, z′), ⋯, ϕ_{m}(z, z′)).

On se souvient ici que les ensembles I_{q}^{+} ⊂ {1, 2, ⋯, k} (resp. I_{q}^{−}), J_{r}^{+} ⊂ {1, 2, ⋯, m} (resp. J_{r}^{−}) ont été introduits dans la Définition 3 du §2.1.

En vue de la propriété (2.1.3), la fonction rationelle ψ_{q}(z, z′)^{Δ} (resp. ϕ_{r}(z, z′)^{Δ}) est de poids homogène zéro par rapport aux variables (z, z′) et donc on peut la regarder comme l’application de CP^{k+m−1} au lieu de celle de C^{k+m}. L’application (4.1.5) n’est qu’une application inverse de l’application de Gauss logarithmique;

D_{s,s′} ∩ (C^{×})^{k+m} → CP^{k+m−1},

(s, s′) → (s_{1} \frac{∂}{∂s_{1}} Δ_{f}(s, s′) : ⋯: s_{k} \frac{∂}{∂s_{k}} Δ_{f}(s, s′) : s′_{1} \frac{∂}{∂s′_{1}} Δ_{f}(s, s′) : ⋯: s′_{m} \frac{∂}{∂s′_{m}} Δ_{f}(s, s′)).

Soit

f̄_{ℓ}(x, a) = a_{1,ℓ}xα⃗_{1,ℓ} + ⋯ + a_{τ_{ℓ},ℓ}xα⃗_{τ_{ℓ},ℓ} + a_{0,ℓ}. 1 ≤ ℓ ≤ k.

Pour la simplicité on se sert de la notation a := (a_{0,1}, ⋯, a_{τ_{k},k}) ∈ T^{L}. Nous regardons le cobord de Leray ∂γ_{a} d’un cycle γ_{a} ∈ H_{N−k}(X_{a}, Z) de l’IC X_{a} = {x ∈ T^{N}; f̄_{1}(x, a) = ⋯ = f̄_{k}(x, a) = 0}.

Alors on peut définir par Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a_{0,1}, ⋯, a_{τ_{k},k}) :=

∫_{∂γ_{a}} ∏_{ℓ=1}^{k} f̄_{ℓ}(x, a)^{−ζ_{ℓ}−1}x^{J+1} \frac{dx}{x^{1}},

une A− fonction hypergéométrique de Gel’fand-Zelevinski-Kapranov [14] associée aux polynômes,

f_{ℓ}(x) = xα⃗_{1,ℓ} + ⋯ + xα⃗_{τ_{ℓ},ℓ}, 1 ≤ ℓ ≤ k,
x^{J} = x_{1}^{I_{1}} ⋯ x_{N}^{I_{N}} , xα⃗_{j,ℓ} = x_{1}^{α_{j,ℓ,1}} ⋯ x_{N}^{α_{j,ℓ,N}} .

On impose ici la condition de non-dégénérescence de la Définition 1 pour l’IC X_{s} obtenue d’après la procédure décrite dans §1.1 pour n’importe quelle addition des variables supplémentaires x′. Il est commode de considérer la matrice suivante analogue à la matrice L (1.5.5),

M(A) := [ \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 1 & 1 & ⋯ & 1 \\ 0 & α_{111} & ⋯ & α_{τ_{1}11} & 0 & α_{121} & ⋯ & α_{τ_{2}21} & 0 & ⋯ & 0 & α_{1k1} & ⋯ & α_{τ_{k}k1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & α_{11N} & ⋯ & α_{τ_{1}1N} & 0 & α_{12N} & ⋯ & α_{τ_{2}2N} & 0 & ⋯ & 0 & α_{1kN} & ⋯ & α_{τ_{k}kN} \end{matrix} ] .

Nous supposons d’ici bas toujours rank(M(A)) = k + N. En suite, on considère un réseau Λ ⊂ Z^{L} des L−vecteurs définis par le système linéaire des équations ci-dessus:

∑_{i=0}^{τ_{q}} b(j, q, ν) = 0, 1 ≤ q ≤ k,

∑_{q=1}^{k} ∑_{j=1}^{τ_{q}} α_{jqℓ}b(j, q, ν) = 0, 1 ≤ ℓ ≤ N.

Ici nous avons noté par (b(0, 1, ν), ⋯, b(τ_{1}, 1, ν), b(0, 2, ν), ⋯, b(τ_{2}, 2, ν), ⋯, b(τ_{k}, k, ν)), 1 ≤ ν ≤ m + k, une Z base du Λ.

Pour un sous-ensemble K ⊂ {(0, 1), ⋯, (k, τ_{k})} tel que les colonnes m⃗_{j,q}(A), (j, q) ∈ K de la matrice M(A) engendrent l’espace R^{N+k} sur R et |K| = N + k on définit d’après [14] l’ensemble des indices (détérminés par la méthode de Frobenius généralisée),

Π((ζ + 1, J + 1), K) = {((λ(0, 1, ν), ⋯, λ(τ_{1}, 1, ν), ⋯, λ(τ_{k}, k, ν))}_{1≤ν≤|det(m⃗_{j,q}(A))_{(j,q)∈K}|},

qui satisfont le système des équations suivantes,

∑_{j=0}^{τ_{ν}} λ(j, q, ν) + ζ_{q} + 1 = 0, 1 ≤ q ≤ k,

∑_{q=1}^{k} ∑_{j=1}^{τ_{q}} α_{jqℓ}λ(j, q, ν) − (I_{ℓ} + 1) = 0, 1 ≤ ℓ ≤ N.

Soit T une triangulation du polyèdre de Newton Δ(F (x, 1, y) + 1) pour F (x, 1, y) défini comme au (1.2.1) selon la définition [14], 1.2. Pourtant on impose la condition que λ(j, q, ν) ∈ Z pour (j, q) ∉ K. Soient K_{1}, K_{2} ∈ T deux simplexes différents de la triangulation T. On suppose que pour (λ(0, 1, ν_{p}), ⋯, λ(k, τ_{k}, ν_{p})) ∈ Π((ζ + 1, J + 1), K_{p}), λ(j, q, ν_{p}) ∈ Z pour (j, q) ∉ K_{p}, (p = 1, 2) avec 1 ≤ ν_{p} ≤ |det(m⃗_{ρ}(A))_{ρ∈K_{p}}|. On introduit la condition de T − non-résonance sur (ζ + 1, J + 1)

(4.1.6)  (λ(0, 1, ν_{1}), ⋯, λ(k, τ_{k}, ν_{1})) ≢ (λ(0, 1, ν_{2}), ⋯, λ(k, τ_{k}, ν_{2})) mod Λ,

pour n’importe quel paire (λ(0, 1, ν_{p}), ⋯, λ(k, τ_{k}, ν_{p})) ∈ Π((ζ + 1, J + 1), K_{p}), p = 1, 2. Une adaptation du theorem 3 [14] à notre situation peut être formulée comme suit.

Théorème 4.1 La fonction Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a) satisfait le système des équations comme suit.

1)

(∑_{j=0}^{τ_{q}} a_{ji} \frac{∂}{∂a_{ji}} + ζ_{q} + 1)Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a) = 0, 1 ≤ q ≤ k,

(  ∑_{1≤q≤k,1≤j≤τ_{q}} α_{jq1}a_{jq} \frac{∂}{∂a_{jq}} −(I_{1}+1))Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a) = ⋯ = (  ∑_{1≤q≤k,1≤j≤τ_{q}} α_{jqN}a_{jq} \frac{∂}{∂a_{jq}} −(I_{N}+1))Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a) = 0,

(  ∏_{\{(j,q);b(j,q,ν)>0\}}(\frac{∂}{∂a_{jq}})^{b(j,q,ν)} − ∏_{\{(j,q);b(j,q,ν)<0\}}(\frac{∂}{∂a_{jq}})^{−b(j,q,ν)})Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a) = 0, 1 ≤ ν ≤ L − (k + N).

2) La dimension des solutions au point générique de a ∈ T^{L} du système ci-dessus est égal à (N + k)!vol_{N+k}Δ(F (x, 1, y) + 1) si la condition (4.1.6) de T-non-résonance est satisfaite.

Dans la suite nous rangeons les paramètres a = (a_{0,1}, ⋯, a_{τ_{k},k}) par leur ordre d’apparition et définissons les paramètres indexés de nouveau a_{1} = a_{1,1}, ⋯, a_{τ_{1}} = a_{τ_{1},1}, a_{τ_{1}+1} = a_{0,1}, ⋯, a_{L−1} = a_{τ_{k},k}, a_{L} = a_{0,k}. Nous introduisons la notation analogue du (1.5.3),

(4.1.7)  Ξ(A) :=^{t} (log X_{1}, ⋯, log X_{N}, log a_{1}, ⋯, log a_{L}, log U_{1}, ⋯, log U_{k}).
log T_{1} =< α⃗_{1,1}, log X > +log a_{1} + log U_{1},
⋮
log T_{τ_{1}} =< α⃗_{1,τ_{1}}, log X > +log a_{τ_{1}} + log U_{1},
⋮
log T_{L} = log a_{L} + log U_{k}.

On considère l’équation

L(A) · Log Ξ(A) = L · Log Ξ,

ici la matrice L(A) est construite comme suit. Les colonnes ℓ⃗_{i}(A) = w⃗_{i}, 1 ≤ i ≤ N avec les vecteurs w⃗_{i} définis comme la colonne de la matrice L dans (1.5.5). Pour les colonnes du numéro N +1 à N +L

(ℓ⃗_{N+1}(A), ⋯, ℓ⃗_{N+L}(A)) = id_{L}. Les colonnes ℓ⃗_{N+L+j}(A) =^{t} ( \overbrace{0, ⋯, 0, 0,}^{τ_{1}+···+τ_{j−1}+j−1}, \overbrace{1, 1, ⋯, 1}^{τ_{j}+1}, 0, ⋯, 0), 1 ≤

j ≤ k. Autrement dit, la matrice L(A) est obtenue après l’insertion d’une matrice id_{L} dans la matrice transposée ^{t}M(A) entre la k−ième et la (k + 1)−ième colonne quitte à des permutations nécessaires des colonnes après l’insertion.

Proposition 4.2 Il existe un cycle γ_{a} tel que l’égalité suivante soit vraie pour une intégrale définie dans (4.1.1),

(4.1.8)  Φ_{x^{J},γ_{a}}^{ζ}(a) = B_{J}^{ζ}(a)I_{x^{J},γ}^{ζ}(s(a), s′(a)),

ici

s_{ℓ}(a) = ∏_{j=1}^{L} a_{j}^{σ_{j,N+ℓ}}, , 1 ≤ ℓ ≤ k,

s′_{ρ}(a) = ∏_{j=1}^{L} a_{j}^{σ_{j,N+k+ρ}}, , 1 ≤ ρ ≤ m,

B_{J}^{ζ}(a) = ∏_{ℓ=1}^{N}(∏_{j=1}^{L} a_{j}^{σ_{j,ℓ}})^{I_{ℓ}+1} ∏_{ν=1}^{k}(∏_{j=1}^{L} a_{j}^{σ_{j,N+k+m+ν}})^{ζ_{ν}+1}.

Les exposants σ_{j,ℓ} sont définis par la relation suivante

(4.1.7)  L^{−1} · L(A) = [ \begin{matrix}1 & ⋯ & 0 & σ_{1,1} & ⋯ & σ_{L,1} & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 1 & σ_{1,N} & ⋯ & σ_{L,N} & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & σ_{1,N+1} & ⋯ & σ_{L,N+1} & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & σ_{1,N+k+m} & ⋯ & σ_{L,N+k+m} & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & σ_{1,N+k+m+1} & ⋯ & σ_{L,N+k+m+1} & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & ⋯ & 0 & σ_{1,L} & ⋯ & σ_{L,L} & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ] .

La transition du cycle γ(a) à γ est gérée par les transformations,

X_{i} = (∏_{j=1}^{L} a_{j}^{σ_{j,i}})^{−1} · x_{i}.

Démonstration Il suffit de remarquer la relation

x^{J+1}y^{ζ+1} \frac{dx}{x^{1}} ∧ \frac{dy}{y^{1}} = B_{J}^{ζ}(a)X^{J+1}U^{ζ+1} \frac{dX}{X^{1}} ∧ \frac{dU}{U^{1}} .

C.Q.F.D.

On peut donc conclure que (au moins localement sur une carte a_{j} ≠ 0 pour j ∈ I, |I| = k + m) A−fonction hypergéométrique du type de GZK (4.1.1) est exprimée au moyen d’une intégrale-fibre annulée par un système de Horn. On peut trouver un pareil énoncé chez [15].

Corollaire 4.3 Dans le cas où dim D(Σ) = 1, c.à.d. m = 0 au (1.5.7), la condition de T −non résonance (4.1.6) est équivalente à la condition,

x^{J+1}y^{ζ+1} \frac{dx}{x^{1}} ∧ \frac{dy}{y^{1}} ∈ Gr_{N+k−1}^{W}H^{N+k−1}(Z_{F (x,0,y))}).

Corollaire 4.4 La dimension de l’espace des solutions du système du Théorème 4.1 au point générique est égal à |χ(Z_{F (x,1,y)})| si la condition de T − non-résonance (4.1.6) est satisfaite.

Démonstration Il faut considérer l’envelope convexe des vecteurs qui correspondent aux vertexes des polynômes y_{1}(f_{1}(x)+1)+ ⋯ +y_{k}(f_{k}(x)+1). C’est à dire (α⃗_{1,1}, 1, 0, ⋯, 0),⋯,(α⃗_{τ_{1},1}, 1, 0, ⋯, 0), (α⃗_{1,2}, 0, 1, 0, ⋯, 0), ⋯, (α⃗_{τ_{k},k}, 0, ⋯, 0, 1) ∈ Z^{N+k}. Ils se trouvent sur l’hyperplan ζ_{1} + ⋯ + ζ_{k} = 1. Il est donc possible de regarder le volume (N +k−1) dimensionel (N +k−1)!vol_{N+k−1}(Δ(F (x, 1, y)) qui est égal au (N + k)!vol_{N+k}(Δ(F (x, 1, y) + 1). Le caractéristique d’Euler est exprimé comme suit

|χ(Z_{F (x,1,y)})| = (N + k − 1)!vol_{N+k−1}(Δ(F (x, 1, y))),

d’après Khovanski-Oka [16], [21]. C.Q.F.D.

Le corollaire ci-dessus avec la Proposition 4.2 nous donne

Corollaire 4.5 La dimension du système (4.1.4)_{1}, (4.1.4)_{4} est égal à |χ(Z_{F (x,1,y)})| si la condition de T −non-résonance (4.1.6) est satisfaite.

Remarque 5 (Compactification de Terasoma) Dans 3.2 nous avons regardé la relation entre deux systèmes différents de multiplier L−(N+k) termes par nouvelles variables (x′_{1}, ⋯, x′_{m}) et (x̃′_{1}, ⋯, x̃′_{m}). Nous considérons un ensemble des triangulations J = { la façon de choisir (N + k)−termes de l’expression y_{1}f_{1}(x) + ⋯ + y_{k}f_{k}(x) }. Alors évidemment un (N + k)−simplexe, T_{i} i ∈ J correspond au chaque choix des L − (N + k) termes auxquels les nouvelles variables sont multipliées.

Par exemple dans (1.6.2) les termes de numéros 1, 2, 4, 5, 7 sont libres de ces variables, pourtant dans (1.6.2) les termes de numéros 1, 2, 4, 7, 8 les sont. Les deux tores paramétrés par les variables (s′_{1}, ⋯, s′_{m}) ∈ T^{m} = S′_{i_{1}} et (s̃′_{1}, ⋯, s̃′_{m}) ∈ T^{m} = S′_{i_{2}} sont ainsi indexés par i_{1}, i_{2} ∈ J . Terasoma [35] compactifie l’espace ∐_{a∈T^{L}}(X_{a}, a) au moyen d’un espace produit ∏_{i∈J} P_{Π} × ∏_{i∈J} S′_{i}. Ici Π dénote le diagramme de Newton Δ(y_{1}f_{1}(x) + ⋯ + y_{k}f_{k}(x)) et P_{Π} la variété torique y associée. Il colle deux chartes P_{Π} × S′_{i_{1}} et P_{Π} × S′_{i_{2}} dans leur compactification (notée par H̃_{J}) au moyen de la transition mentionnée dans la Proposition 3.5 quitte à modifier (x′_{1}, ⋯, x′_{m}) et (x̃′_{1}, ⋯, x̃′_{m}) dans (s′_{1}, ⋯, s′_{m}) et (s̃′_{1}, ⋯, s̃′_{m}).

4.2 Application à la symétrie de miroir pour les espaces projectifs

Comme chez Givental’ [12] Nous regardons l’intersection complète définie par r + 1 fonctions:

(4.2.1)  X_{s} := {(x_{0}, ⋯ x_{n}) ∈ T^{n+1}; f_{0}(x) + s = 0, f_{1}(x) + 1 = 0, ⋯, f_{r}(x) + 1 = 0}.

où

(4.2.2)  f_{0}(x) = x_{0}x_{1} ⋯ x_{n}, f_{i}(x) = x_{ℓ_{1}+···+ℓ_{i−1}} + ⋯ + x_{ℓ_{1}+···+ℓ_{i−1}+ℓ_{i}−1} 1 ≤ i ≤ r.

Ici on comprend que ℓ_{0} = 0. On considère la fonction de phase comme au (1.1.5)′,

y_{0}(f_{0}(x) + s) + ∑_{i=1}^{r} y_{i}(f_{i}(x) + 1) = T_{0} + T_{1} + ⋯ + T_{n+r+3}.

La transformée de Mellin de l’intégrale fibre associée à X_{s} ci-dessus peut être calculé par la matrice; L,

Log T = L · Log Ξ,

ici la notation est comme au §1.

(4.2.3)  L = [ \begin{matrix}1 & 1 & \overbrace{⋯}^{ℓ_{1}−3} & 1 & 1 & ⋯ & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 \end{matrix} ] .

Alors la transformée de Mellin de l’intégrale fibre associée à X_{s} ci-dessus peut être calculé par la matrice; (L)^{−1}, qui se calcule facilement; (4.2.4)

L^{−1} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & \overbrace{⋯}^{ℓ_{1}−3} & 0 & −1 & 0 & 0 & \overbrace{⋯}^{ℓ_{2}−3} & 0 & 0 & \overbrace{⋯}^{n+r−ℓ_{1}−ℓ_{2}−2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 & −1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 1 & 0 & ⋯ & 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 1 & ⋯ & 0 & −1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 & −1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ −1 & 1 & 1 & 1 & ⋯ & 1 & −ℓ_{1} & 1 & 1 & ⋯ & 1 & −ℓ_{2} & ⋯ & −ℓ_{r} \\ 1 & 0 & −1 & −1 & ⋯ & −1 & ℓ_{1} & −1 & −1 & ⋯ & −1 & ℓ_{2} & ⋯ & ℓ_{r} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 1 \end{matrix} ] .

En résultat nous avons la transofrmée de Mellin M_{J,γ}^{ζ}(z) de l’intégrale période I_{x^{J},γ}^{ζ}(s) pour l’IC (4.2.1) admet une expression comme suit à des fonctions périodiques près,

M_{J,γ}^{ζ}(z) = ∏_{i=0}^{n} Γ(z − ζ_{0} + I_{i}) ∏_{j=1}^{r} Γ(− ∑_{i=ℓ_{1}+···+ℓ_{j−1}}^{ℓ_{1}+···+ℓ_{j}−1} I_{i} − ℓ_{j}z + ℓ_{j}ζ_{0} + ζ_{j} + 1),

en particulier

(4.2.5)  M_{0,γ}^{0}(z) = \frac{Γ(z)^{n+1}}{∏_{ν=1}^{r} Γ(ℓ_{ν}z)},

toujours à des fonctions périodiques près. Cette formule a été reclamée dans [12]. On se sert ici des notations des §2 et §3.

Si on regarde les vecteurs colonnes de la matrice L^{−1} après en avoir dépourvu les r + 2 vecteurs

rayons d’en bas, on obtient une série de vecteurs (1, 0, ⋯, 0),(0, 1, 0, ⋯, 0), (0, ⋯, 0, ^{∨^{ℓ_{1}}} 1, ⋯, 0),

\overbrace{(−1, ⋯, −1}^{ℓ_{1}}, 0, ⋯, 0), ⋯, \overbrace{(0, ⋯, 0}^{ℓ_{1}+···+ℓ_{i−1}−1}, 1, 0, ⋯, 0), \overbrace{(0, ⋯, 0}^{ℓ_{1}+···+ℓ_{i−1}}, 1, 0, ⋯, 0), ⋯, \overbrace{(0, ⋯, 0}^{ℓ_{1}+···+ℓ_{i}}, 1, 0, ⋯, 0),

\overbrace{(0, ⋯, 0}^{ℓ_{1}+···+ℓ_{i−1}}, \overbrace{−1, ⋯, −1}^{ℓ_{i}}, 0, ⋯, 0), 1 ≤ i ≤ r. Ces r groupes des vecteurs donnent naissance à un

éventail Σ qui définit lavariété torique P_{Σ} = P^{ℓ_{1}} × P^{ℓ_{2}} × ⋯ × P^{ℓ_{r}}. En particulier, on peut constater que l’intégrale-fibre associée à l’IC (4.2.2) avec r = 1 coincide avec la quantum cohomologie de la variété P^{n}. Voir [30].

4.3 L’hypothèse de Berglund, Candelas et des autres.

Dans l’article [7] les auteurs ont proposé une hypothèse naturelle sur l’intégrale-fibre associée à la variété de Calabi-Yau X_{s} qui est une symétrie de miroir par rapport à la variété de Calabi-Yau générique multi-quasihomogène Y de codimension ℓ définie dans le produit des espaces projectifs quasihomogènes P_{(g_{1}^{(1)},...,g_{τ_{1}+1}^{(1)})}^{(τ_{1})} × … × P_{(g_{1}^{(k)},...,g_{τ_{k}+1}^{(k)})}^{(τ_{k})} dont la codimension est ℓ. Dans cette section,

nous verifions leur hypothèse pour le cas ℓ = k.

Tout dábord nous considérons le système suivant des équations définies dans (C^{×})^{n},

(4.3.1)  f_{1}(x) = x^{v_{1}^{(1)}} + ⋯ + x^{v_{τ_{1}}^{(1)}},

f_{2}(x) = ∏_{j∈I^{(1)}} x_{j} + 1,

⋮,

f_{2i−1}(x) = x^{v_{1}^{(i)}} + ⋯ + x^{v_{τ_{i}}^{(i)}},

f_{2i}(x) = ∏_{j∈I^{(i)}} x_{j} + 1,

⋮,

f_{2k−1}(x) = x^{v_{1}^{(k)}} + ⋯ + x^{v_{τ_{k}}^{(k)}},

f_{2k}(x) = ∏_{j∈I^{(k)}} x_{j} + 1.

Ici, I^{(j)}, 1 ≤ j ≤ k sont les ensembles d’indices complémentaires l’un à l’autre tels que ∪_{q∈[1,k]}I^{(q)} = {1, ⋯, n} et I^{(q)} ∩ I^{(q′)} = ∅ si q ≠ q′. Dorénavant nous nous serverons des notations τ̃_{ν} := |I^{(ν)}| et b^{q} := ∑_{ν=1}^{q} τ_{ν}. On suppose que

∑_{ν=1}^{k} τ_{ν} = b^{k} = n.

L’équation f_{2j−1}(x) (resp.f_{2j}(x)) est donnée par les monômes avec les puissances v_{1}^{(j)}, ⋯, v_{τ_{j}}^{(j)} ∈ Z^{n}

(resp. v_{τ_{j}+1}^{(j)} ∈ Z^{n}) telles que pour le vecteur poids g^{(q)} = (\overbrace{0, ⋯, 0}^{b^{q−1}}, g_{1}^{(q)}, ⋯, g_{τ_{q}}^{(q)}, \overbrace{0, ⋯, 0}^{n−b^{q}}) ∈ Z_{≥0}^{n},

1 ≤ q ≤ k la relation ci-dessous soit vraie,

(4.3.2)  Q_{j}^{(q)} :=< v_{1}^{(j)}, g^{(q)} >= ⋯ =< v_{τ_{j}}^{(j)}, g^{(q)} >=< v_{τ_{j+1}}^{(j)}, g^{(q)} > , 1 ≤ j ≤ k,

en sorte que g_{τ_{q}+1}^{(q)} = Q_{q}^{(q)}. Cela signifie que le point v_{τ_{j}+1}^{(j)} appartient à l’hyperplan de dimension

τ_{j} − 1 engendré par v_{1}^{(j)}, v_{1}^{(j)}, ⋯, v_{τ_{j}}^{(j)}. L’égalité suivante est demandée si on suppose que X_{s} soit une variété de Calabi-Yau:

(4.3.3)  ∑_{j=1}^{k} Q_{j}^{(q)} = ∑_{i=1}^{τ_{q}} g_{i}^{(q)} =< g^{(q)}, (\overbrace{0, ⋯, 0}^{b^{q−1}}, \overbrace{1, ⋯, 1}^{τ_{q}}, \overbrace{0, ⋯, 0}^{n−b^{q}}) >, 1 ≤ q ≤ k.

On ne suppose pas, pourtant, cette condition dans l’argument suivant.

Du surcroît, on impose que pour chaque élément λ ∈ Aut(X_{j}), du groupe de l’automorphisme

de l’hypersurface X_{j} = {x ∈ T^{n}; f_{2j−1}(x) = 0} la relation (λ_{∗}f_{2j−1})(x) = λ_{∗}(x^{v_{τ_{j} +1}^{(j)}}) soit valable. Si on applique la technique de Cayley au système ci-dessus, on obtient un polynôme

(4.3.4)  F (x, s, y) = ∑_{j=1}^{k} y_{2j−1}(f_{2j−1}(x) + s_{j}) + ∑_{j=1}^{k} y_{2j}f_{2j}(x),

avec L = n + 3k termes. Pour faciliter la manipulation avec la matrice L ainsi construite pour F (x, s, y) nous introduisons la notation a^{ν} := τ_{1} + ⋯ + τ_{ν} + 3ν = b^{ν} + 3ν. En particulier, le a^{i−1} + 1−ème terme de F (x, s, y) correspond à y_{2i−1}x^{v_{1}^{(i)}} et le a^{i} − 3 = (a^{i−1} + τ_{i})−ème terme - y_{2i−1}x^{v_{τ_{i}}^{(i)}}. Le (a^{i} − 1)−ème terme - y_{2i} ∏_{j∈I^{(i)}} x_{j}.Le (a^{i} − 2)−ème terme - y_{2i}s_{i}. Le a^{i}−ème terme - y_{2i}.

On considère l’équation pour Ξ = (ξ_{1}, ⋯, ξ_{L}),

(4.3.5)  ^{t}L · Ξ =^{t} (1, ⋯, 1, z_{1}, ⋯, z_{k}),

équivalente à la relation,

(4.3.6)  Ξ =^{t} L^{−1} ·^{t} (1, ⋯, 1, z_{1}, ⋯, z_{k}).

Ainsi on obtient d’expressions linéaires (ξ_{1}(z), ⋯, ξ_{L}(z)) = (L_{1}(0, z, 0), ⋯, L_{L}(0, z, 0) pour i = 0, ζ = 0 en termes des fonctions linéaires définies dans la Proposition 2.1. Si on reécrit la matrice L en tenant compte des (4.3.1), (4.3.4) on a le vecteur rayon comme suit:

(4.3.7)  v̄_{q}^{(ν)} = (v_{q,1}^{(ν)}, v_{q,2}^{(ν)}, ⋯, v_{q,τ_{1}}^{(ν)}, ⋯, v_{q,n}^{(ν)}, \overbrace{0, ⋯, 0}^{2ν−2}, 1, \overbrace{0, ⋯, 0}^{3k−2ν+1}),

1 ≤ ν ≤ k, 1 ≤ q ≤ τ_{ν}. En se servant des notations du (3.1.13), §3 pour les vecteurs poids de la matrice L^{−1}, on peut déduire les systèmes suivants pour chaque ν et q fixés.

(4.3.8) \begin{matrix}v_{q,1}^{(ν)}w_{1}^{(a^{ν})} + v_{q,2}^{(ν)}w_{2}^{(a^{ν})} + ⋯ + v_{q,n}^{(ν)}w_{n}^{(a^{ν})} & = & −1 pour a^{(ν−1)} + 1 ≤ q ≤ a^{(ν−1)} + τ_{ν}, \\ & = & 0 ailleurs. \end{matrix}

(4.3.9) v_{1,j}^{(1)}p_{q}^{1} + v_{2,j}^{(1)}p_{q}^{2} + ⋯ + v_{τ_{1},j}^{(1)}p_{q}^{(τ_{1})} + v_{1,j}^{(2)}p_{q}^{(τ_{1}+4)} + ⋯ + v_{τ_{2},j}^{(2)}p_{q}^{(τ_{1}+τ_{2}+3)} + ⋯ + v_{τ_{k},j}^{(k)}p_{q}^{(a^{k}−3)}

\begin{matrix}= & −1 pour j ∈ I^{(q)} \\ = & 0. pourj ∉ I^{(q)} \end{matrix}

Il faut remarquer que le système (4.3.8) pour ν fixé (resp. (4.3.9) pour un q fixé) consiste de n−équations linéaires indépendantes par rapport aux inconnus {w_{1}^{(a^{ν})}, ⋯, w_{n}^{(a^{ν})}}, (resp. {p_{q}^{(j)}; j ∈ I_{Λ}}. Ici nous avons noté par I_{Λ} l’ensemble des indices {1, ⋯, L} \ ∪_{ν=1}^{k}{a^{ν} − 2, a^{ν} − 1, a^{ν}}. On voit encore des autres conditions nécéssaires sur w_{j}^{(a^{ν−1})},

(4.3.10)  ∑_{j∈I^{(ν)}} w_{j}^{(a^{ν}−1)} = 1,

(4.3.11)  ∑_{j∈I^{(ν)}} w_{j}^{(a^{ν})} = −1,

puisque le produit de la (a^{ν} − 1)−ième colonne de L^{−1} avec le (a^{ν} − 1)−ième rayon de L est égal à 1. D’autre part n + 2ν−ième colonne de L avec le j−ième rayon (1 ≤ j ≤ n + 2) de L^{−1} est égal à 0 qui signifie w_{j}^{(a^{ν}−1)} + w_{j}^{(a^{ν})} = 0. En plus on voit que

∑_{j∈I^{(ν)}} w_{j}^{(a^{ν′} −1)} = ∑_{j∈I^{(ν)}} w_{j}^{(a^{ν′})} = 0,

pour ν′ ≠ ν. On définit une (n × k)− matrice V^{Λ} comme suit:

(4.3.12)  V^{Λ} := (^{t}v_{τ_{1}+1}^{(1)}, ⋯,^{t} v_{τ_{k}+1}^{(k)}),

où ^{t}v_{τ_{q}+1}^{(q)} est un n− vecteur qui correspond au supp(f_{2ν})\{0}. En vu de la quasihomogénéité (4.3.2) on peut définir une k × k matrice comme suivant:

(4.3.13)  Q̂ := ( \begin{matrix}Q_{1}^{(1)} & ⋯ & Q_{k}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ Q_{1}^{(k)} & ⋯ & Q_{k}^{(k)} \end{matrix} ) = ( g^{(1)} ; ⋮ ; g^{(k)} ) · V^{Λ}.

Pour la simplicité de la formulation, nous nous servons d’une matrice diagonale,

(4.3.14)  G = diag(g_{1}^{(1)}, ⋯, g_{τ_{1}}^{(1)}, g_{1}^{(2)}, ⋯, g_{τ_{2}}^{(2)}, ⋯, g_{1}^{(k)}, ⋯, g_{τ_{k}}^{(k)}).

Dans la suite, nous allons considérer le cas avec rang(Q̂) = k. Introduisons une matrice n × n :

(4.3.15)  L_{Λ} := ( v_{1}^{(1)} ; v_{2}^{(1)} ; ⋮ ; v_{τ_{1}}^{(1)} ; ⋮ ; v_{τ_{k}}^{(k)} ) .

Pour la commodité nous nous servons d’une n × k matrice,

Q := L_{Λ}( ^{t}g^{(1)}, ⋯ ^{t}g^{(k)}) = Q̂ · ( g^{(1)} ; ⋮ ; g^{(k)} ) · G^{−1} =

= ( \begin{matrix}Q_{1}^{(1)} & \overbrace{⋯}^{τ_{1}−2} & Q_{1}^{(1)} & Q_{2}^{(1)} & \overbrace{⋯}^{τ_{2}−2} & Q_{2}^{(1)} & ⋯ & Q_{k}^{(1)} & \overbrace{⋯}^{τ_{k}−2} & Q_{k}^{(1)} \\ Q_{1}^{(2)} & \overbrace{⋯}^{τ_{1}−2} & Q_{1}^{(2)} & Q_{2}^{(2)} & \overbrace{⋯}^{τ_{2}−2} & Q_{2}^{(2)} & ⋯ & Q_{k}^{(2)} & \overbrace{⋯}^{τ_{k}−2} & Q_{k}^{(2)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ Q_{1}^{(k)} & \overbrace{⋯}^{τ_{1}−2} & Q_{1}^{(k)} & Q_{2}^{(k)} & \overbrace{⋯}^{τ_{2}−2} & Q_{2}^{(k)} & ⋯ & Q_{k}^{(k)} & \overbrace{⋯}^{τ_{k}−2} & Q_{k}^{(k)} \end{matrix} ) .

Dans cette situation, on déduit du (4.3.9) le système ci-dessous:

(4.3.16)  ( P⃗_{1} ; P⃗_{2} ; ⋮ ; P⃗_{k} ) · L_{Λ} = − ^{t}V^{Λ},

avec P⃗_{q} = (p_{q}^{(1)}, p_{q}^{(2)}, ⋯, p_{q}^{(τ_{1})}, ⋯, p_{q}^{(a^{k}−3)}). Si on note par Ľ_{j} le j−ème vecteur colonne de la matrice L_{Λ}, on déduit diréctement du (4.3.16) l’équation:

⟨z_{1}P⃗_{1} + z_{2}P⃗_{1} + ⋯ + z_{k}P⃗_{k}, Ľ_{j}⟩ + z_{q} = 0 si j ∈ I^{(q)}.

On construit une matrice ^{T} L que l’on obtient de la matrice transposée ^{t}L après des permutations propres des colonnes en telle sorte que chaque rayon de ^{T} L corresponde au vertexe d’un polynôme

(4.3.4)^{T}  ^{T} F (x, s, y) = ∑_{j=1}^{k} y_{2j−1}(^{T} f_{2j−1}(x) + s_{j}) + ∑_{j=1}^{k} y_{2j} ^{T} f_{2j}(x),

pour les polynômes,

(4.3.1)^{T}  ^{T} f_{2q−1}(x) = x^{^{T}^{v_{1}^{(q)}}} + ⋯ + x^{^{T}^{v(q) ; τ̃q}},

T f_{2q}(x) = ∏_{ℓ∈^{T} I^{(q)}} x_{ℓ} + 1, 1 ≤ q ≤ k, 1 ≤ q ≤ k.

D’une facon analogue aux (4.3.12) − (4.3.15) on peut définir le système des poids

(^{T} g^{(1)}, ⋯,^{T} g^{(k)}),
T Q_{j}^{(q)} = ⟨^{T} v_{r}^{(j)},^{T} g^{(q)}⟩, 1 ≤ r ≤ τ̃_{q}, 1 ≤ j, q ≤ k.

Il est facile à voir que les équations du ^{T} (4.3.1) définissent une IC dans P_{(^{T} g_{1}^{(1)},...,^{T} g_{τ̃_{1}+1}^{(1)})}^{(τ̃_{1})} × … ×

P_{(^{T} g_{1}^{(k)},...,^{T} g_{τ̃_{k}+1}^{(k)})}^{(τ̃_{k})} avec ^{T} g_{τ̃_{q}+1}^{(q)} =^{T} Q_{q}^{(q)}. Nous introduisons des matrices analogues au cas (4.3.1),

(4.3.12)^{T}  ^{T} V^{Λ} := (^{t}(^{T} v_{τ̃_{1}+1}^{(1)}), ⋯,^{t} (^{T} v_{τ̃_{k}+1}^{(k)})),

où ^{T} v_{τ_{q}+1}^{(q)} est un n− vecteur qui correspond au supp(^{T} f_{2q}) \ {0}.

(4.3.13)^{T}  ^{T} Q̂ := ( \begin{matrix}^{T} Q_{1}^{(1)} & ⋯ & ^{T} Q_{k}^{(1)} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ^{T} Q_{1}^{(k)} & ⋯ & ^{T} Q_{k}^{(k)} \end{matrix} ) = ( ^{T} g^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} g^{(k)} ) ·^{T} V^{Λ}.

(4.3.14)^{T}  ^{T} G = diag(^{T} g_{1}^{(1)}, ⋯,^{T} g(1) ; τ̃_{1},^{T} g_{1}^{(2)}, ⋯,^{T} g(2) ; τ̃_{2}, ⋯,^{T} g_{1}^{(k)}, ⋯, ^{T} g(k) ; τ̃_{k}).

(4.3.15)^{T}  ^{T} L_{Λ} := ( ^{T} v_{1}^{(1)} ; ^{T} v_{2}^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} v(1) ; τ̃_{1} ; ⋮ ; ^{T} v(k) ; τ̃_{k} ) .

On remarque ici que par la construction ^{T} L_{Λ} =^{t} L_{Λ}. Enfin on introduit les fonctions linéaires T Ξ := (^{T} ξ_{1}(z), ⋯,^{T} ξ_{L}(z)), définies par la relation,

(4.3.6)^{T}  ^{T} Ξ = ^{t}(^{T} L)^{−1} ·^{t} (1, ⋯, 1, z_{1}, ⋯, z_{k}).
T Q := ^{T} L_{Λ}( ^{t}(^{T} g^{(1)}), ⋯ ^{t}(^{T} g^{(k)})).

Nous pouvons introduire l’ensemble des indices ^{T} I_{Λ} analogue au I_{Λ}. Nous avons les indices du I_{Λ} 1 = j_{1} < ⋯ < j_{n} = L − 4 et celles du ^{T} I_{Λ}, 1 = i_{1} < ⋯ < i_{n} = L − 4. Dans cette situation, nous considérons deux conditions sur les fonctions (4.3.1),

(4.3.17)  ( ^{T} ξ_{i_{1}}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ_{i_{n}}(z) ) = G · V^{Λ} · ( ^{T} ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ^{(k)}(z) ) ,

pour certaines fonctions linéaires (^{T} ξ^{(1)}(z), ⋯,^{T} ξ^{(k)}(z)) et

(4.3.17)′  ( ξ_{j_{1}}(z) ; ⋮ ; ξ_{j_{n}}(z) ) =^{T} G ·^{T} V^{Λ} · ( ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ξ^{(k)}(z) ) ,

pour des fonctions linéaires (ξ^{(1)}(z), ⋯, ξ^{(k)}(z)). En plus nous nous servons de la condition

(4.3.17)′′  ^{T} V^{Λ} = V^{Λ},

après une permutation propre des variables lors de la construction du polynôme ^{T} F (x, s, y) par (4.3.1)^{T} . On remarque que sous la condition (4.3.17)′′ l’égalité suivante a lieu entre les nombres des termes présents dans (4.3.1) et (4.3.1)^{T}

τ_{ν} = τ̃_{ν}, 1 ≤ ν ≤ k,

car

\overbrace{(1, ⋯, 1)}^{n} ·V^{Λ} = (τ̃_{1}, ⋯, τ̃_{k}),

\overbrace{(1, ⋯, 1)}^{n} · ^{T} V^{Λ} = (τ_{1}, ⋯, τ_{k}).

En plus nous imposons une condition supplémentaire,

(4.3.17)′′′  rank(Q̂) = rank(^{T} Q̂) = k.

Théorème 4.6 La transformée de Mellin M_{0,γ}^{0}(z) de l’intégrale période I_{x^{0},γ}^{0}(s) pour l’IC (4.3.1) admet une expression comme suit à des fonctions Δ− périodiques près, si elle satisfait les conditions (4.3.17),(4.3.17)′,(4.3.17)′′, (4.3.17)′′′.

(4.3.18)  M_{0,γ}^{0}(z(ξ)) = \frac{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}} Γ( ^{T} g_{j}^{(ν)}ξ^{(ν)})}{∏_{ν=1}^{k} Γ(∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(ν)}ξ^{(q)})}.

Ici z(ξ) = (z_{1}(ξ), ⋯, z_{k}(ξ)) est une k−tuple des fonctions linéaires en variables ξ = (ξ^{(1)}, ⋯, ξ^{(k)}) définies par la relation (4.3.6).

D’une façon symétrique M_{0, ^{T} γ}^{0}(z(ξ)) pour l’IC, (4.3.1)^{T} admet une expression comme suit à des fonctions Δ périodiques près,

(4.3.18)^{T}  M_{0, ^{T} γ}^{0}(z(ξ)) = \frac{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}} Γ(g_{j}^{(ν)} ^{T} ξ^{(ν)})}{∏_{ν=1}^{k} Γ(∑_{q=1}^{k} Q_{q}^{(ν)} ^{T} ξ^{(q)})}.

Les ^{T} ξ^{(ν)} sont définies par la relation (4.3.6)^{T} .

Afin de faciliter l’argument de l’épreuve, nous formulons un énoncé auxiliaire.

Lemme 4.7 Sous les conditions du Théorème 4.6, la transformée de Mellin M_{0,γ}^{0}(z) de l’intégrale période I_{x^{0},γ}^{0}(s) pour l’IC (4.3.1) admet une expression comme suit à des fonctions Δ périodiques près,

M_{0,γ}^{0}(z) = ∏_{i=1}^{k} Γ(z_{i}) ∏_{j∈I_{Λ}} Γ(ξ_{j}(z)).

Démonstration Il faut donc démontrer que les solutions spéciales du système (4.3.5) satisfont

(4.3.19)  ξ_{a^{ν}−2}(z) = ξ_{a^{ν}−1}(z) = z_{ν}, ξ_{a^{ν}} (z) = 1 − z_{ν}.

Pour le voir, on remarque que le système ci-dessous est une conséquence directe de la relation LL^{−1} = id_{L},

(4.3.20)  ∑_{i=1}^{n} v_{q,i}^{(ν)}w_{i}^{(a^{ν})} + q_{2μ−1}^{(a^{ν})} = 0, a^{(μ−1)} + 1 ≤ q ≤ a^{μ−1} + τ_{μ}, μ ∈ [1, k].

− ∑_{i=1}^{n} w_{i}^{(a^{ν})} = ∑_{i=1}^{n} w_{i}^{(a^{ν}−1)} = 1.

La dernière se déduit des (4.3.10) et (4.3.11). Soit ν(j) ∈ [1, k] tel que j appartienne au I^{(ν(j))}, alors on a

(4.3.21)  ∑_{i∈I_{Λ}} v_{i,j}^{(ν(j))}p_{q}^{(i)} + p_{q}^{(a^{ν(j)−1})} = 0,

pour q ∈ [1, k].

On en déduit les relations suivantes.

(4.3.22)  q_{2ν−1}^{(a^{ν})} = q_{2ν}^{(a^{ν})} = 1,

(4.3.23)  q_{2ν−1}^{(a^{ν′})} = q_{2ν}^{(a^{ν′})} = 0, pour ν′ ≠ ν.

L’égalité q_{2ν}^{(a^{ν′})} = 0 se déduit du fait que le produit de la a^{ν−1}−ième colonne de L^{−1} avec le a^{ν′}−ième rayon de L est égal à 0. D’autre part, le produit de la (n + 2ν)−ième colonne de L avec le a^{ν′}−ième

rayon de L^{−1} est égal à q_{2ν−1}^{(a^{ν′})} +q_{2ν}^{(a^{ν′})} = 0. Cela démontre (4.3.23). Le produit de la a^{ν}−ième colonne

de L^{−1} avec le a^{ν′}−ième rayon de L est égal à q_{2ν−1}^{(a^{ν′})} + p_{ν}^{(a^{ν′})} = 0. D’où s’entraîne l’égalité p_{ν}^{(a^{ν′})} = 0 pour ν ≠ ν′. Le produit de la (a^{ν} − 1)−ième colonne de L^{−1} avec le (a^{ν′} − 2)−ième rayon de L est égal à q_{2ν′−1}^{(a^{ν}−1)} + p_{ν′}^{(a^{ν}−1)} = 0. Par consequence, on a

(4.3.24)  p_{ν′}^{(a^{ν}−1)} = 0 pour ν ≠ ν′,
p_{ν}^{(a^{ν}−1)} = −q_{2ν−1}^{(a^{ν}−1)} = 1, p_{ν}^{(a^{ν})} = −1,

car p_{ν}^{(a^{ν})} + p_{ν}^{(a^{ν}−1)} = 0. En plus on voit que

(4.3.25)  q_{r}^{(a^{ν}−1)} = 0, r ≠ 2ν − 1.

En somme, grâce aux (4.3.20), (4.3.22), (4.3.24),

ξ_{a^{ν}} (z) = ∑_{i=1}^{n} w_{i}^{(a^{ν})} + ∑_{r=1}^{2k} q_{r}^{(a^{ν})} + ∑_{q=1}^{k} p_{q}^{(a^{ν})}z_{q} = −1 + 1 + 1 − z_{ν} = 1 − z_{ν}.

D’autre part (4.3.20), (4.3.25), (4.3.24), entraînent

ξ_{a^{ν}−1}(z) = 1 + 0 − 1 + z_{ν} = z_{ν}.

Quant’à la fonction ξ_{a^{ν}−2}(z) il est facile de voir que tout les éléments de la (a^{ν} −2)−ième colonne de L^{−1} consiste des zéros sauf le (n + 2k + ν)−ième élément qui est égal à 1.

On a donc l’égalité

M_{0,γ}^{0}(z) = ∏_{i=1}^{k} Γ(z_{i})^{2}Γ(1 − z_{i}) ∏_{j∈I_{Λ}} Γ(ξ_{j}(z)) = ∏_{i=1}^{k} \frac{π}{sin πz_{i}} Γ(z_{i}) ∏_{j∈I_{Λ}} Γ(ξ_{j}(z)).

C.Q.F.D.

Démonstration du Théorème 4.6 On démontre la relation suivante,

( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) =^{T} Q̂ ( ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ξ^{(k)}(z) ) .

En fait

t(^{T} Q) ·^{t} (^{T} L_{Λ})^{−1} · ^{T} V^{Λ} ( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) = ( ^{T} g^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} g^{(k)} ) ·^{T} V^{Λ} ( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) = ^{T} Q̂ ( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} )

42 S. TANABÉ qui se déduit du (4.3.6)^{T} et du (4.3.13)^{T} . D’autre part grâce à la condition (4.3.17)′′ on a

t(^{T} Q)·^{t}(^{T} L_{Λ})^{−1}· ^{T} V^{Λ} ( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) =^{t} (^{T} Q)·L_{Λ}^{−1}·V^{Λ} ( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) =^{T} Q̂ ( ^{T} g^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} g^{(k)} )·^{T} G^{−1} ( ^{T} ξ_{j_{1}}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ_{j_{n}}(z) ) .

La dernière égalité s’explique par la relation ^{t}(^{T} Q) =^{T} Q̂ ( ^{T} g^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} g^{(k)} )·^{T} G^{−1} et par une consequence directe du (4.3.16),

L_{Λ}^{−1} · V^{Λ} ( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) = ( ^{T} ξ_{j_{1}}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ_{j_{n}}(z) ) .

Le chaîne des égalités ci-dessus est vrai en vue du (4.3.16) et du (4.3.17),

T Q̂ ( ^{T} g^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} g^{(k)} ) ·^{T} G^{−1} ( ^{T} ξ_{j_{1}}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ_{j_{n}}(z) ) =^{T} Q̂ ( g^{(1)} ; ⋮ ; g^{(k)} ) · G^{−1} ( ^{T} ξ_{j_{1}}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ_{j_{n}}(z) )

=^{T} Q̂ ( g^{(1)} ; ⋮ ; g^{(k)} ) · G^{−1}GV^{Λ} ( ^{T} ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ^{(k)}(z) ) = ^{T} Q̂ · Q̂ ( ^{T} ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ^{(k)}(z) ) .

L’égalité,

( g^{(1)} ; ⋮ ; g^{(k)} ) · G^{−1} = ( \begin{matrix}1 & \overbrace{⋯}^{τ_{1}−2} & 1 & 0 & \overbrace{⋯}^{τ_{2}−2} & 0 & ⋯ & 0 & \overbrace{⋯}^{τ_{k}−2} & 0 \\ 0 & \overbrace{⋯}^{τ_{1}−2} & 0 & 1 & \overbrace{⋯}^{τ_{2}−2} & 1 & ⋯ & 0 & \overbrace{⋯}^{τ_{k}−2} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \overbrace{⋯}^{τ_{1}−2} & 0 & 0 & \overbrace{⋯}^{τ_{2}−2} & 0 & ⋯ & 1 & \overbrace{⋯}^{τ_{k}−2} & 1 \end{matrix} ) =

= ( ^{T} g^{(1)} ; ⋮ ; ^{T} g^{(k)} ) · ^{T} G^{−1} = ( \begin{matrix}1 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{1}−2} & 1 & 0 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{2}−2} & 0 & ⋯ & 0 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{k}−2} & 0 \\ 0 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{1}−2} & 0 & 1 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{2}−2} & 1 & ⋯ & 0 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{k}−2} & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{1}−2} & 0 & 0 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{2}−2} & 0 & ⋯ & 1 & \overbrace{⋯}^{τ̃_{k}−2} & 1 \end{matrix} ) ,

est une conséquence des relations τ_{ν} = τ̃_{ν}, 1 ≤ ν ≤ k mentionnées comme corollaire du (4.3.17)”.

Grâce à la condition rank(^{T} Q̂) = n celui-là signifie

( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) = Q̂ ( ^{T} ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ^{T} ξ^{(k)}(z) ) .

D’une façon symétrique, en supposant que rank(Q̂) = n, on a

( 1 − z_{1} ; ⋮ ; 1 − z_{k} ) = ^{T} Q̂ ( ξ^{(1)}(z) ; ⋮ ; ξ^{(k)}(z) ) .

On en déduit directement la relation désirée,

∏_{ν=1}^{k} Γ(z_{ν}) = ∏_{ν=1}^{k} Γ(1−∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(ν)}ξ^{(q)}(z)) = \frac{1}{∏_{ν=1}^{k} Γ(∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(ν)}ξ^{(q)}(z))sin ( π ∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(ν)}ξ^{(q)}(z))}.

D’ailleurs le lemme 4.7 et la condition (4.1.17)′ nous donne

ξ_{a^{ν−1}+j} = ^{T} g_{j}^{(ν)}ξ^{(ν)}, j ∈ [1, τ_{ν}]

qui signifie

∏_{j∈I_{Λ}} Γ(ξ_{j}(z)) = ∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}} Γ( ^{T} g_{j}^{(ν)}ξ^{(ν)}).

La formule (4.3.18)^{T} se démontre d’une façon complètement parallèle. C.Q.F.D.

Conjecture Le pair (G·V^{Λ}, ^{T} G· ^{T} V^{Λ}) correspond aux symétries quantique (Q_{X})et géométrique (G_{X}) de l’IC X, (4.3.1) pourtant le pair (^{T} G · ^{T} V^{Λ}, G · V^{Λ}) à celles-ci de l’IC Y, (4.3.1)^{T} au sens de [7].

En fait, dans le cas k = 1, on peut facilement voir la dualité comme suit existe

Q_{X} = (ZQ̂; G), G_{X} = (Z_{_{T} Q̂}; ^{T} G),
G_{Y} = (ZQ̂; G), Q_{Y} = (Z_{_{T} Q̂}; ^{T} G),

avec |G| = Q̂ qui se déduit de la condition de Calabi-Yau.

En liaison avec la symétrie de miroir, on considère l’algèbre structurel de l’IC de dimension n−k notée par X et définie par (4.3.1),

A_{X} := \frac{C[x]}{(f_{1} + f_{2} − 1, ⋯ f_{2k−1} + f_{2k} − 1)C[x]},

et la filtration naturelle sur lui,

A_{X}^{j} := {x^{α} ∈ A_{X}; ∑_{q=1}^{k}⟨α, g^{(q)}⟩ = j},

avec le polynôme de Poincaré,

P_{A_{X}} (λ) = ∑_{j∈Z_{≥0}} dim(A_{X}^{j})λ^{j}.

D’une manière analogue, on définit les notions correspondantes de l’IC de la même dimension notée par Y et définie par (4.3.1)^{T} ,

A_{Y} := \frac{C[x]}{(^{T} f_{1} +^{T} f_{2} − 1, ⋯^{T} f_{2k−1} +^{T} f_{2k} − 1)C[x]},

A_{Y}^{j} := {x^{α} ∈ A_{Y}; ∑_{q=1}^{k}⟨α,^{T} g^{(q)}⟩ = j},

P_{A_{Y}} (λ) = ∑_{j∈Z_{≥0}} dim(A_{Y}^{j})λ^{j}.

Alors le résultat classique du [10] nous donne,

(4.3.26)  P_{A_{X}} (λ) = \frac{∏_{q=1}^{k} ∏_{ν=1}^{k}(1 − λ^{Q_{q}^{(ν)}})}{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}}(1 − λ^{g_{j}^{(ν)}})}, P_{A_{Y}} (λ) = \frac{∏_{q=1}^{k} ∏_{ν=1}^{k}(1 − λ^{^{T} Q_{q}^{(ν)}})}{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}}(1 − λ^{^{T} g_{j}^{(ν)}})}.

En suite on introduit les variables (t_{1}, ⋯, t_{k}) ∈ T^{k} telles que

∏_{ν=1}^{k} s_{ν}^{^{T} Q_{q}^{(ν)}} = t_{q}, 1 ≤ q ≤ k.

Grâce à la condition (4.3.17)′′, cett’équation est toujours resoluble par rapport aux variables s = s(t). On considère la transformée de Mellin inverse de M_{0,γ}^{0}(z(ξ)) associée à l’IC (4.3.1),

U_{α}(s) = ∫Π̌_{α} \frac{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}} Γ( ^{T} g_{j}^{(ν)}ξ^{(ν)}(z))}{∏_{ν=1}^{k} Γ(∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(ν)}ξ^{(q)}(z))}s^{−z+1}dz,

où Π̌_{α} ⊂ T^{k} est un cycle qui évite les lieux singuliers de l’intégrand. Il est facile de voir que

U_{α}(s(t)) = det(^{T} Q̂)^{−1} ∫_{^{T} Q̂^{−1}(Π̌_{α})} \frac{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}} Γ( ^{T} g_{j}^{(ν)}ξ^{(ν)})}{∏_{ν=1}^{k} Γ(∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(ν)}ξ^{(q)})}t_{1}^{−ξ^{(1)}} ⋯ t_{k}^{−ξ^{(k)}}dξ^{(1)} ∧ ⋯ ∧ dξ^{(k)}.

La transformée de Mellin inverse U_{α}(s(t)) est annulée par le système suivant d’équations différentielles,

L_{ν}(t_{ν}, ϑ_{t})U_{α}(s(t)) = 0, 1 ≤ ν ≤ k,

où

L_{ν}(t_{ν}, ϑ_{t}) = (∏_{j=1}^{τ_{ν}} ∏_{r=0}^{^{T} g_{j}^{(ν)}−1}(−^{T} g_{j}^{(ν)}ϑ_{t_{ν}} + r) − t_{ν} ∏_{μ=1}^{k} ∏_{r=0}^{^{T} Q_{ν}^{(μ)}−1}(∑_{q=1}^{k} ^{T} Q_{q}^{(μ)}ϑ_{t_{q}} − r)) , 1 ≤ ν ≤ k.

Nous notons par |χ(X̃_{ν})| le dégré de l’opérateur L_{ν}(t, ϑ_{t}) : |χ(X̃_{ν})| = ∑_{μ=1}^{k} ^{T} Q_{ν}^{(μ)} = ∑_{j=1}^{τ_{ν}} ^{T} g_{j}^{(ν)} =

T g_{τ_{ν}+1}^{(ν)}. On définit la restriction de l’opérateur L_{ν}(t, ϑ_{t}) au tore T = {t ∈ C^{k}; t_{i} = 0, i ≠ ν}\{t_{ν} = 0} comme suit,

L̃_{ν}(t_{ν}, ϑ_{t_{ν}}) := (∏_{j=1}^{τ_{ν}} ∏_{r=0}^{^{T} g_{j}^{(ν)}−1}(−^{T} g_{j}^{(ν)}ϑ_{t_{ν}} + r) − t_{ν} ∏_{μ=1}^{k} ∏_{r=0}^{^{T} Q_{ν}^{(μ)}−1}( ^{T} Q_{ν}^{(μ)}ϑ_{t_{ν}} − r)) .

Sur l’espace de dimension |χ(X̃_{q})| des solutions annulées par L̃_{q}(t_{q}, ϑ_{t_{q}}), on considère la monodromie M_{q}^{(0)} ∈ GL(|χ(X̃_{q})|, C) (resp. M_{q}^{(∞)} ∈ GL(|χ(X̃_{q})|, C)) autour du point t_{q} = 0 (resp. t_{q} = ∞). Alors l’expression ci-dessus de l’opérateur L̃_{ν}(t_{ν}, ϑ_{t_{ν}}) entraîne,

det(M_{q}^{(∞)} − λ_{q} · id_{|χ(X̃_{q})|}) = ∏_{ν=1}^{k}(1 − λ_{q}^{^{T} Q_{q}^{(ν)}}), det(M_{q}^{(0)} − λ_{q} · id_{|χ(X̃_{q})|}) = ∏_{j=1}^{τ_{q}}(1 − λ_{q}^{^{T} g_{j}^{(q)}}).

Par conséquence la fonction rationelle définie par

M_{X}(λ_{1}, ⋯ λ_{k}) := ∏_{q=1}^{k} \frac{det(M_{q}^{(∞)} − λ_{q} · id_{|χ(X̃_{q})|})}{det(M_{q}^{(0)} − λ_{q} · id_{|χ(X̃_{q})|})}

s’exprime

(4.3.27)  M_{X}(λ_{1}, ⋯ λ_{k}) = \frac{∏_{q=1}^{k} ∏_{ν=1}^{k}(1 − λ_{q}^{^{T} Q_{q}^{(ν)}})}{∏_{q=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{q}}(1 − λ_{q}^{^{T} g_{j}^{(q)}})}.

Pour la fonction rationelle M_{Y} (λ_{1}, ⋯ λ_{k}) définie d’une manère analogue à la fonction M_{X}(λ_{1}, ⋯ λ_{k}), on a

M_{Y} (λ_{1}, ⋯ λ_{k}) = \frac{∏_{q=1}^{k} ∏_{ν=1}^{k}(1 − λ_{q}^{Q_{q}^{(ν)}})}{∏_{q=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{q}}(1 − λ_{q}^{g_{j}^{(q)}})}.

Soit Ȳ la compactification de l’IC Y ⊂ T^{n} dans le produit des espaces projectifs quasihomogègenes P := P_{(^{T} g_{1}^{(1)},...,^{T} g_{τ_{1}+1}^{(1)})}^{(τ_{1})} × … × P_{(^{T} g_{1}^{(k)},...,^{T} g_{τ_{k}+1}^{(k)})}^{(τ_{k})}. On peut définir le faisceau cohérent O_{P}(ζ), ζ = (ζ_{1}, ⋯, ζ_{k}) dont la section sur un ouvert U_{I} = {x ∈ C^{n}; x_{i} ≠ 0, i ∈ I} est donnée par

Γ(U_{I}, O_{P}(ζ)) := {x^{α}; α = (α_{1}, ⋯, α_{n}) ∈ Z^{n}, α_{i} ≥ 0 pour i ∉ I, ⟨^{T} g^{(q)}, α⟩ = ζ_{q}, 1 ≤ q ≤ k}. On définit le faisceau cohérent OȲ (ζ) par la section sur l’ouvert U_{I}, Γ(U_{I}, OȲ (ζ)) := {x^{α} ∈ A_{Y}; α = (α_{1}, ⋯, α_{n}) ∈ Z^{n}, α_{i} ≥ 0 pour i ∉ I, ⟨^{T} g^{(q)}, α⟩ = ζ_{q}, 1 ≤ q ≤ k}. Pour lui on introduit le caractéristique d’Euler,

χ(OȲ (ζ)) := ∑_{i=0}^{n−k}(−1)^{i}dimH^{i}(OȲ (ζ)).

D’après [10], [13] le polynôme de Poincaré du caractéristique d’Euler,

P OȲ (t_{1}, ⋯, t_{k}) := ∑_{ζ∈(Z_{≥0})^{k}} χ(OȲ (ζ))t_{1}^{ζ_{1}} ⋯ t_{k}^{ζ_{k}}

admet une expression comme suit,

(4.3.28)  P OȲ (t_{1}, ⋯, t_{k}) = \frac{∏_{ν=1}^{k} ∏_{q=1}^{k}(1 − t_{ν}^{^{T} Q_{q}^{(ν)}})}{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}}(1 − t_{ν}^{^{T} g_{j}^{(ν)}})}.

Pour le faisceau OX̄(ζ) défini d’une façon analogue au OȲ (ζ), on définit

P OX̄(t_{1}, ⋯, t_{k}) := ∑_{ζ∈(Z_{≥0})^{k}} χ(OX̄(ζ))t_{1}^{ζ_{1}} ⋯ t_{k}^{ζ_{k}}.

Pour celui-là on a,

P OX̄(t_{1}, ⋯, t_{k}) = \frac{∏_{ν=1}^{k} ∏_{q=1}^{k}(1 − t_{ν}^{Q_{q}^{(ν)}})}{∏_{ν=1}^{k} ∏_{j=1}^{τ_{ν}}(1 − t_{ν}^{g_{j}^{(ν)}})}.

Si on compare (4.3.26), (4.3.27) et (4.3.28) on obtient l’énoncé suivant.

46 S. TANABÉ Théorème 4.8 Pour les IC X et Y définies par (4.3.1) et (4.3.1)^{T} on a la relation suivante,

M_{X}(λ, ⋯, λ) = P OȲ (λ, ⋯, λ) = P_{A_{Y}} (λ),

M_{Y} (λ, ⋯, λ) = P OX̄(λ, ⋯, λ) = P_{A_{X}} (λ).

Exemple 4.3.1, La variété de Schimmrigk Comme exemple simple, mais peu trivial, on regarde l’exemple suivant étudié dans [7],

f_{1}(x) = ∑_{i=0}^{3} x_{i}^{3}, f_{2}(x) = x_{1}x_{2}x_{3} + 1,

f_{3}(x) = ∑_{i=1}^{3} x_{i}x_{i+3}^{3}, f_{4}(x) = x_{0}x_{4}x_{5}x_{6} + 1.

Alors on a les matrices ci-dessous,

L = ( \begin{matrix}3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

L^{−1} = ( \begin{matrix}1/3 & −1/9 & −1/9 & −1/9 & 0 & 1/3 & −1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/9 & −1/9 & −1/9 & 0 & 1/3 & −1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1/9 & 2/9 & −1/9 & 0 & 1/3 & −1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1/9 & −1/9 & 2/9 & 0 & 1/3 & −1/3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1/9 & −1/27 & \frac{2}{27} & \frac{2}{27} & 0 & −1/9 & 1/9 & 2/9 & −1/9 & −1/9 & 0 & 1/3 & −1/3 \\ −1/9 & \frac{2}{27} & −1/27 & \frac{2}{27} & 0 & −1/9 & 1/9 & −1/9 & 2/9 & −1/9 & 0 & 1/3 & −1/3 \\ −1/9 & \frac{2}{27} & \frac{2}{27} & −1/27 & 0 & −1/9 & 1/9 & −1/9 & −1/9 & 2/9 & 0 & 1/3 & −1/3 \\ 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & −1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & −1/9 & −1/9 & −1/9 & 0 & 0 & 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1/3 & −1/3 & −1/3 & 1 & 1 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ −1/3 & 1/9 & 1/9 & 1/9 & 0 & 0 & 0 & −1/3 & −1/3 & −1/3 & 1 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

D’après la construction (4.3.4)^{T} basée sur la matrice transposée ^{t}(L) il est facile de voir que T f_{ℓ}(x) = f_{ℓ}(x), 1 ≤ ℓ ≤ 4. La matrice ^{T} L^{−1} = L^{−1} nous donne les fonctions linéaires

ξ^{(1)} = −\frac{1}{3}(z_{1} − 1) + \frac{1}{9}(z_{2} − 1), ξ^{(2)} = −\frac{1}{3}(z_{2} − 1).

On en déduit facilement que pour f(x) ainsi que ^{T} f(x) on a la transformée de Mellin de la période,

M_{0,γ}^{0}(z) = Γ(−\frac{1}{3}(z_{1} − 1) + \frac{1}{9}(z_{2} − 1))^{3}Γ(−\frac{1}{3}(z_{2} − 1))^{4}Γ(z_{1})Γ(z_{2}) = \frac{Γ(ξ^{(1)})^{3}Γ(ξ^{(2)})^{4}}{Γ(3ξ^{(1)} + ξ^{(2)})Γ(3ξ^{(2)})},

à des fonctions 27−périodiques près.

D’une manière analogue, on peut considérer l’IC,

f_{1}(x) = ∑_{i=0}^{n} x_{i}^{n}, f_{2}(x) = x_{1}x_{2} ⋯ x_{n} + 1,

f_{3}(x) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}x_{i+n}^{n}, f_{4}(x) = x_{0}x_{n+1}x_{n+2} ⋯ x_{2n} + 1,

dont l’intégrale fibre est exprimée par

M_{0,γ}^{0}(z) = \frac{Γ(ξ^{(1)})^{n}Γ(ξ^{(2)})^{n+1}}{Γ(nξ^{(1)} + ξ^{(2)})Γ(nξ^{(2)})},

à des fonctions n^{n}−périodiques près.

Il faut remarquer que notre matrice L satisfait une condition intéressante ci-dessous.

La condition de carré magique Pour chaque q ∈ [1, k] fixé, on peut trouver une application univalente σ : b ∈ I_{Λ} → {1, ⋯, n} telle que

p_{q}^{b} = w_{σ(b)}^{a^{q}}, pour tout b ∈ I_{Λ}.

Cette condition joue un rôle central lors de l’interpretation de la dualité bizarre d’Arnol’d sur l’échange des nombres de Gabrielov et de Dolgachev de point de vue de la symétrie de miroir [17].

Exemple 4.3.2 Nous considérons un exemple d’une hypersurface étudié dans [7]. Avec les notations ci-dessus, nous avons les données suivantes.

f_{1}(x) = x_{1}^{7} + x_{2}^{7}x_{4} + x_{3}^{7}x_{5} + x_{4}^{3} + x_{5}^{3}, f_{2} = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}.

L = [ \begin{matrix}7 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ,

L^{−1} = [ \begin{matrix}\frac{6}{49} & −1/49 & −1/49 & −\frac{2}{49} & −\frac{2}{49} & 0 & 1/7 & −1/7 \\ −\frac{2}{147} & \frac{19}{147} & −\frac{2}{147} & −\frac{11}{147} & −\frac{4}{147} & 0 & 2/21 & −2/21 \\ −\frac{2}{147} & −\frac{2}{147} & \frac{19}{147} & −\frac{4}{147} & −\frac{11}{147} & 0 & 2/21 & −2/21 \\ −1/21 & −1/21 & −1/21 & \frac{5}{21} & −2/21 & 0 & 1/3 & −1/3 \\ −1/21 & −1/21 & −1/21 & −2/21 & \frac{5}{21} & 0 & 1/3 & −1/3 \\ 1/7 & 1/7 & 1/7 & 2/7 & 2/7 & 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ −1/7 & −1/7 & −1/7 & −2/7 & −2/7 & 1 & 1 & −1 \end{matrix} ]

On a donc la transformée de Mellin de la période associée à l’IC {x ∈ (C^{×})^{5}; f_{1}(x) + s_{1} = 0, f_{2}(x) + 1 = 0} exprimée ci-dessous à des 7−fonctions périodiques près,

M_{0,γ}^{0}(z) = Γ(−\frac{1}{7}(z_{1} − 1))^{3}Γ(−\frac{2}{7}(z_{1} − 1))^{2}Γ(z_{1}) = \frac{Γ(ξ^{(1)})^{3}Γ(2ξ^{(1)})^{2}}{Γ(7ξ^{(1)})} .

D’après la construction (4.3.4)^{T} on voit que

T f_{1}(x) = x_{1}^{7} + x_{2}^{7} + x_{3}^{7} + x_{2}x_{4}^{3} + x_{3}x_{5}^{3}, ^{T} f_{2} = x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}.

On a alors la transformée de Mellin de la période associée à l’IC {x ∈ (C^{×})^{5}; ^{T} f_{1}(x) + s_{1} = 0, ^{T} f_{2}(x) + 1 = 0} exprimée ci-dessous à des 147−fonctions périodiques près,

M_{0,γ}^{0}(z) = Γ(−\frac{1}{7}(z_{1} − 1))Γ(−\frac{2}{21}(z_{1} − 1))^{2}Γ(−\frac{1}{3}(z_{1} − 1))^{2}Γ(z_{1}) = \frac{Γ(3ξ^{(1)})Γ(2ξ^{(1)})^{2}Γ(7ξ^{(1)})^{2}}{Γ(21ξ^{(1)})} .

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