Réduction des groupes algébriques commutatifs

Boris Kunyavskiĭ ^{∗}

Department of Mathematics and Computer Science, Bar-Ilan University, 52900 Ramat Gan, ISRAEL e-mail: kunyav@macs.biu.ac.il

et Jean-Jacques Sansuc

Institut de Mathématiques de Jussieu, CNRS UMR 9994, Université de Paris-VII–Denis-Diderot, UFR de Mathématiques, case 7012, Tour 45–55, 5-ième étage, 2, place Jussieu, 75251 Paris CEDEX 05, FRANCE e-mail: sansuc@math.jussieu.fr

Abstract

We study a problem of constructing an algebraic torus (an abelian variety) over a p-adic field whose Néron model would have a given connected commutative unipotent group as the identity component of its special fibre.

Résumé

Nous étudions le problème de la construction sur un corps p-adique d’un tore algébrique (resp. d’une variété abélienne) dont le modèle de Néron ait comme composante neutre de sa fibre spéciale un groupe unipotent commutatif connexe donné sur le corps résiduel.

∗Recherche subventionnée en partie par le Ministère d’Absorption (Israël) et la Fondation Israélienne de Science (ISF) fondée par l’Académie Israélienne des Sciences et des Lettres.

0 Introduction

En étudiant le problème de réduction d’un groupe algébrique, il faut évidemment préciser le modèle entier, c’est-à-dire le schéma dont les fibres spéciales peuvent être regardées comme réductions. Un modèle entier d’un groupe algébrique E défini sur K, corps des fractions d’un domaine intègre O, est défini comme un O-schéma en groupes E tel qu’il existe un isomorphisme de K-groupes E ×_{O}K ≃ E.

On peut se poser un problème de description, pour E donné, de tous ses modèles entiers. Dans telle généralité, le problème semble désespéré; néanmoins, voir [29] où l’on traite le cas de dimension 1.

Dans cet article, nous nous intéressons à des modèles entiers des tores algébriques, c’est-à-dire de K-groupes linéaires algébriques T tels que pour une extension L/K il existe un isomorphisme de L-groupes T ×_{K}L ≃ G_{m,L}^{d}. Parmi les extensions L avec cette propriété, il y a l’extension minimale, c’est une extension galoisienne finie [26, 3.36]; on l’appelle le corps de déploiement de T.

Pour construire des modèles entiers des tores, il y a plusieurs approches. Le choix d’un modèle convenable dépend de son utilisation ultérieure dans la solution des problèmes arithmétiques concrets. Nart et Xarles [12], [30] utilisent une modification de l’approche de Néron accomodée par Raynaud à la construction des modèles entiers des groupes algébriques non nécessairement propres; nous les appelons modèles de Néron–Raynaud. On les applique à l’étude du schéma des composantes connexes des variétés abéliennes et semi-abéliennes [4] ainsi que dans la théorie des groupes formels [5]. Une autre approche développée dans une série d’articles de Sekiguchi et al. [15]–[18] est fondée sur l’utilisation des modéles spécifiques ayant le tore déployé G_{m}^{d} comme fibre générique et le groupe des vecteurs de Witt W_{d} comme fibre spéciale. Regardant la situation comme déformation des groupes de Witt aux tores, on trouve des applications naturelles dans la construction de la théorie unifiée de Kummer–Artin–Schreier–Witt. Un autre type des modèles entiers, accomodés pour la généralisation aux modèles entiers des variétés toriques et l’étude de la distribution de leurs points entiers, a été introduit dans [11]. Enfin, on doit mentionner l’approche de Voskresenskiĭ [28] envisageant le calcul des nombres de classes et l’application des formules de type Siegel–Tamagawa. A la différence des modèles de Néron–Raynaud, ceux de Voskresenskiĭ ne sont pas toujours lisses, mais ils sont toujours de type fini sur O et possèdent certaines propriétés de minimalité.

Dans cet article, nous nous intéressons au problème de réduction des modèles entiers des tores algébriques définis sur un corps p-adique K.

Au paragraphe 1, nous rappelons la définition des modèles de Néron–Raynaud T_{NR} et celle des modèles de Voskresenskiĭ T_{V}, et nous établissons un lien entre eux dans le cas de “lisse réduction” correspondant aux tores déployés par une extension modérément ramifiée.

Proposition A. (Proposition 1.4.) Si T est de lisse réduction, on a un isomorphisme de k-groupes T̃_{NR}^{∘} ≃ T̃_{V}^{∘}, où T̃_{NR}^{∘} (resp. T̃_{V}^{∘}) désigne la composante neutre de la fibre spéciale du modèle entier T_{NR} (resp. T_{V}) de T.

Au paragraphe 2, nous calculons la réduction pour les tores déployés par une extension modérément ramifiée (Corollaire 2.2). On ramène le cas général à celui des tores normiques où l’on a des formules explicites.

Théorème B. (Théorème 2.1.) Soit F/K une extension totalement ramifiée de degré m = d+1 premier à p. Soit T = R_{F/K}^{1}G_{m} le tore normique, et soit T̃ sa réduction. Alors T̃^{∘} est isomorphe au produit

∏_{\begin{matrix}1≤i≤d \\ (i,p)=1 \end{matrix}} W_{r_{i},k},

où r_{i} = min{r : p^{r} ≥ m/i}, et où W_{n} est le groupe des vecteurs de Witt de longueur n.

Ça nous permet de répondre à une question posée dans [12]: déterminer tous les groupes unipotents qui peuvent apparaître dans la réduction T̃^{∘} d’un K-tore T.

Théorème C. (Théorème 2.2.) Soit T un K-tore de dimension d dont le corps de déploiement L soit modérément ramifié sur K. La partie unipotente de T̃^{∘} est alors k-isomorphe à un produit de groupes de Witt W_{n_{i},k} qu’on peut déterminer explicitement.

Au paragraphe 3, nous étudions “un problème inverse” pour la réduction. Plus précisément, on peut se poser une question suivante.

Question 0.1 Étant donnés un corps p-adique K de corps résiduel k, et un k-groupe commutatif B, existe-t-il un K-groupe commutatif E qui admette un modèle de Néron E de fibre spéciale E ×_{O}k isomorphe à B?

On peut spécialiser cette question.

Question 0.2 Étant donnés un corps p-adique K de corps résiduel k, et un k-groupe commutatif B, existe-t-il une K-variété abélienne A dont le modèle de Néron A ait la fibre spéciale A ×_{O}k isomorphe à B?

La réponse à cette question est positive lorsque B est une k-variété abélienne ou un k-tore. Le premier cas est évident. Dans le deuxième cas, on doit prendre le produit direct de dim_{k}B exemplaires de la courbe de Tate et le tordre par l’action de Gal(L/K), le groupe de Galois d’une extension non ramifiée, qui correspond au module des caractères de B (voir corollaire 5.10). Dans le cas où B est un k-groupe unipotent, la question semble d’être ouverte. En particulier, existe-t-il une K-surface abélienne S dont le modèle de Néron S ait la fibre spéciale S ×_{O}k isomorphe au groupe des vecteurs de Witt W_{2,k}? On verra que l’on peut obtenir une réponse partielle via uniformisation rigide, voir §5.

On peut se poser une question pareille pour les tores.

Question 0.3 Étant donnés un corps p-adique K de corps résiduel k, et un k-groupe commutatif affine B, existe-t-il un K-tore T de modèle minimal T tel que la fibre spéciale T ×_{O}k soit isomorphe à B?

Ici comme “modèle minimal” on pense, soit celui de Néron–Raynaud, soit celui de Voskresenskiĭ; la réponse ne dépend pas du choix du modèle, sauf le cas de ramification sauvage, cf. Proposition A.

Dans telle généralité, les réponses aux questions 0.2 et 0.3 sont négatives. Nous présentons des obstructions qui empêchent de construire une variété abélienne (resp. un tore) ayant la réduction donnée.

Théorème D. (Propositions 3.8 et 5.12.) Pour chaque d il existe un entier n_{0} = n_{0}(d) tel que, si k est un corps de caractéristique > n_{0}, alors, parmi les k-groupes unipotents de dimension d, seuls peuvent apparaître comme réduction du modèle minimal d’un K-tore algébrique (resp. d’une K-variété abélienne) de dimension d ceux dont la composante neutre est isomorphe à G_{a}^{d}.

Donc il semble naturel de se poser une question suivante.

Question 0.4 Étant donné un corps p-adique K de corps résiduel k, quels k-groupes commutatifs affines B peuvent apparaître comme réduction du modèle minimal d’un Ktore algébrique (resp. d’une K-variété abélienne) de dimension d?

Pour les tores, une version un peu plus raffinée de cette question est étudiée au paragraphe 4 pour d ≤ 3. La réponse est donnée par les théorèmes 4.2, 4.4 et 4.11.

Au paragraphe 5, on traite le cas des variétés abéliennes à l’aide d’uniformisation rigide.

Ça donne une réponse partielle à la question 0.2.

Corollaire E. (Corollaire 5.11.) Si k est un corps fini de caractéristique p ≤ 5, alors il existe un corps p-adique K à corps résiduel k et une K-surface abélienne S dont le modèle de Néron ait la réduction de type W_{2}.

Notons qu’il est important de distinguer des tores T et des variétés abéliennes A ayant réduction purement additive parmi ceux ayant réduction unipotente; voir, par exemple,

[5] où l’on utilise ça dans le calcul des groupes formels associés à T et à A.

Certains de ces résultats ont été annoncé dans la note [9].

Notations

K = un corps p-adique = une extension finie de Q_{p}

O = l’anneau des entiers de K ℘ = l’idéal maximal dans O k = O/℘ = le corps résiduel de K G_{m} = le groupe multiplicatif G_{a} = le groupe additif W_{n} = le groupe des vecteurs de Witt de longueur n U = un k-groupe commutatif unipotent connexe T = un K-tore de dimension d L = le corps de déploiement de T Π = Gal(L/K) = le groupe de Galois T̂ = Hom(T ×_{K} L, G_{m,L}) = le Π-module des caractères de T φ: Π → GL(d, Z) = la représentation de Π correspondant au module T̂ G = φ(Π) = un sous-groupe fini dans GL(d, Z) T = un O-schéma en groupes tel que T ×_{O}K ≃ T = un modèle entier de T T^{∘} = la composante neutre de T T̃ = T ×_{O}k = la fibre spéciale de T = la réduction de T T̃^{∘} = la composante neutre de T̃ A = une K-variété abélienne de dimension d A = le modèle de Néron de A A^{∘} = la composante neutre de A Ã = A ×_{O}k = la fibre spéciale de A = la réduction de A Ã^{∘} = la composante neutre de Ã

1 Modèles entiers des tores algébriques

Dans ce paragraphe, nous rappelons la définition du modèle de Néron–Raynaud et celle du modèle de Voskresenskiĭ, et nous établissons un lien entre eux dans le cas de “lisse réduction”.

Définition 1.1 [3, 10.1.1] Un O-schéma en groupes T = T_{NR}, lisse et séparé, est dit modèle de Néron–Raynaud d’un K-tore algébrique T si la fibre générique T_{K} est Kisomorphe à T et si T possède la propriété de Néron: pour tout O-schéma lisse T′ et tout K-morphisme des fibres génériques u_{K} colonT′_{K} → T_{K}, il existe un O-morphisme unique u: T′ → T qui prolonge u_{K}.

Le modèle de Néron–Raynaud est unique, et c’est un O-schéma localement de type fini. Pour construire le modèle T_{NR}, on procède comme suit. On construit d’abord le modèle G_{m} du groupe multiplicatif G_{m,K} en recollant G_{m,O} avec les exemplaires π^{n}G_{m,O}, où π est une uniformisante et où n parcourt Z. Pour un tore T quelconque, soit L/K une extension finie telle que T × _{K}L ≃ G_{m,L}^{d}. On plonge alors T dans un tore quasitrivial S = R_{L/K}T_{L} = R_{L/K}G_{m,L}^{d}, où R_{L/K} désigne le foncteur de Weil de restriction des scalaires. Soit G′_{m} le modèle de G_{m,L}, et soit T′ l’adhérence schématique de T dans la restriction de Weil R_{O_{L}/O_{K}}G′_{m}. On obtient le modèle T à partir de T′ par le processus de “lissification en groupes” (“group smoothening”, voir [3, 10.1]).

En ce qui est du modèle de Voskresenskiĭ ([28], [27]), on le construit à partir d’une représentation linéaire fidèle φ: T → GL(V) et le sous-groupe compact maximal U de T (k). On choisit un réseau U-invariant M ⊂ V; ça mène au choix d’une structure intègre dans GL(V). Autrement dit, on considère l’algèbre de Hopf B = O[x_{11}, …, x_{nn}, y^{−1}] dans K[GL(V)] (ici y = det(x_{ij})).

Définition 1.2 Avec les notations ci-dessus, le schéma en groupes T_{V} = Spec φ^{∗}(B) est dit modèle de Voskresenskiĭ du tore T.

On peut démontrer que le modèle de Voskresenskiĭ ne dépend ni du choix de φ, ni du choix de M, et c’est évidemment un O-schéma de type fini.

Nous introduisons la términologie nécessaire concernant la réduction des tores.

Définition 1.3 Soit T_{V} le modèle minimal de Voskresenskiĭ d’un K-tore T. La fibre spéciale T̃ = T_{V} ×_{O}k est appelée la réduction de T. Le tore T est dit de bonne réduction si T̃ est un k-tore, de lisse réduction si T̃ est un k-groupe algébrique, et de réduction dégénérée si T̃ est un k-schéma non réduit.

Dans le cas de lisse réduction, nous avons le lien suivant entre le modèle de Voskresenskiĭ et celui de Néron–Raynaud.

Proposition 1.4 Si T est de lisse réduction, on a un isomorphisme de k-groupes T̃_{NR}^{∘} ≃ T̃_{V}^{∘}, où T̃_{NR}^{∘} (resp. T̃_{V}^{∘}) désigne la composante neutre de la fibre spéciale du modèle entier T_{NR} (resp. T_{V}) de T.

Démonstration. Pour les modèles de Néron–Raynaud des tores déployés, on a (G_{m}^{d})^{∘} ≃ G_{m,O}^{d} = Spec O[x_{1}, …, x_{d}, x_{1}^{−1}, … x_{d}^{−1}]. Si R est le modèle de Néron–Raynaud d’un tore quasi-trivial R_{L/K}G_{m}, on a R^{∘} = R_{O_{L}/O_{K}}G_{m} (voir [12, 3.1]). On obtient donc T_{NR}^{∘} comme lissification de l’adhérence schématique de T dans R_{O_{L}/O_{K}}G_{m}^{d} (voir 1.1). De plus, dans le cas de “ramification modérée”, la réduction est lisse, et on n’a pas besoin de lissification (voir [6]).

D’autre part, le modèle de Voskresenskiĭ de G_{m}^{d} est lisse et connexe, et il est isomorphe à G_{m,O}^{d}; de plus, on a le même pour un tore quasi-trivial R_{L/K}G_{m}, son modèle de Voskresenskiĭ est isomorphe à R_{O_{L}/O_{K}}G_{m} (voir [28, §3]). Pour un tore arbitraire T, on peut obtenir T̃_{V} à partir d’un plongement de T dans un tore quasi-trivial S (voir [28, §4]). Le résultat ne dépend pas de S, par conséquant on peut prendre S = R_{L/K}G_{m}^{d} comme pour les modèles de Néron–Raynaud.

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Remarque. La proposition 1.4 partiellement justifie la définition 1.3 où nous avons pris le modèle de Voskresenskiĭ pour définir la réduction d’un tore.

Nous terminons ce paragraphe par un lemme simple qui sera utilisé dans la suite de façon systématique.

Lemme 1.5 Soient T_{1}, T_{2} des tores définis sur un corps p-adique K, et soit α: T_{1} → T_{2} une K-isogénie de degré premier à p. Alors α induit un k-isomorphisme des parties unipotentes des composantes neutres des fibres spéciales des modèles de Néron–Raynaud.

Démonstration. D’après [3, 7.3.6], α induit une O-isogénie des modèles entiers T_{1} → T_{2}, donc une k-isogénie des fibres spéciales et de leurs composantes neutres. Soit α̃: U_{1} → U_{2} l’isogénie des parties unipotentes de T̃_{1} et T̃_{2} induite par α. D’après [20, VI.6, prop. 6], son noyau est contenu dans U_{1}(k) car ᾱ est séparable et U_{1} et U_{2} sont commutatifs. Comme k est fini, l’ordre de U_{1}(k) est une puissance de p, donc égal à 1, car le degré de α̃ ne divise pas p, c’est-à-dire α̃ est en fait k-isomorphisme.

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2 Réduction des tores déployés par une extension modérément ramifiée

Voici d’abord une formule explicite pour la réduction d’un tore normique, ce qui généralise [28, §4].

Soit F/K une extension finie (non nécessairement normale), et soit T = R_{F/K}^{1}G_{m}, le tore normique défini comme le noyau de l’application norme N: R_{F/K}G_{m} → G_{m,K}. Nous voulons calculer la réduction de T en nous bornant au cas de lisse réduction. D’après [3, 7.2.2(ii)], le modèle de Néron–Raynaud est compatible avec le changement de base étale, et on peut donc se restreindre au cas totalement ramifié.

Théorème 2.1 Soit F/K une extension totalement ramifiée de degré m = d + 1 premier à p. Soit T = R_{F/K}^{1}G_{m} le tore normique, et soit T̃ sa réduction. Alors T̃^{∘} est isomorphe au produit

∏_{\begin{matrix}1≤i≤d \\ (i,p)=1 \end{matrix}} W_{r_{i},k},

où r_{i} = min{r : p^{r} ≥ m/i}, et où W_{n} est le groupe des vecteurs de Witt de longueur n.

Démonstration. .SoitSoitT_{1} = R_{F/K}G_{m}/G_{m,K}. On a une isogénie de K-groupes α: T_{1} → T donnée (au niveau de K-points) par

x(modK^{∗}) ↦ x^{m}/N_{F/K}(x),

où x ∈ F^{∗}. Comme le degré de α est premier à p, on a un k-isomorphisme des parties unipotentes de T̃^{∘} et T̃_{1}^{∘} (voir lemme 1.5). Le modèle de Néron–Raynaud de T_{1} est T_{1} = R_{O_{F} /O_{K}}G′_{m}/G_{m}, où G_{m} est le modèle de G_{m,K}, G′_{m} est le modèle de G_{m,F} (voir [3, 10.1.11]). L’extension F/K étant totalement ramifiée, donc donnée par un polynôme d’Eisenstein, on a O_{F} ≅ O_{K}[X]/(X^{m} + π_{K} · g(X)), où π_{K} est une uniformisante de O_{K} et deg(g(X)) < m. Donc l’anneau R = O_{F} /πO_{F} est isomorphe à k[X]/(X^{m}), et la fibre spéciale T̃_{1} s’identifie à U^{(m)}, groupe des unités de R congrues à 1 modulo π_{F}, où π_{F} est une uniformisante de O_{F}. L’exponentielle d’Artin–Hasse définit un isomorphisme de U^{(m)} sur un produit de groupes de Witt (voir [20, Ch. V, prop. 9]).

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Remarque. Sous les hypothèses du théorème, le modèle de Voskresenskiĭ T_{V} du tore T = R_{F/K}^{1}G_{m} a lisse réduction, même si L, la clôture normale de F, est sauvagement ramifiée sur K (voir [28, §4]). Bien entendu, on a la même formule pour la réduction T̃_{V}^{∘}.

L’étude de la réduction d’un tore arbitraire se ramène au cas des tores normiques, ce qui nous permet de répondre à une question posée dans [12]: déterminer tous les groupes unipotents qui peuvent apparaître dans la réduction T̃^{∘} d’un K-tore T. Quant à la partie torique de T̃^{∘}, elle a déjà été déterminée dans [12].

Théorème 2.2 Soit T un K-tore de dimension d dont le corps de déploiement L soit modérément ramifié sur K. La partie unipotente de T̃^{∘} est alors k-isomorphe à un produit de groupes de Witt W_{n_{i},k} qu’on peut déterminer explicitement.

Démonstration. Sans restreindre généralité, nous supposons L/K totalement ramifiée. Comme L/K est modérément ramifiée, p ne divise pas son indice de ramification, ni donc son degré. Par un théorème d’Ono (voir [13, 1.5.1]), il existe une isogénie

α: T^{m} × ∏_{i}(R_{K_{i}/K}G_{m})^{m_{i}} → ∏_{i}(R_{K_{i}/K}G_{m})^{n_{i}},

où K_{i} parcourt toutes les sous-extensions de L, et où les nombres entiers non negatifs m, m_{i}, n_{i} sont uniquement déterminés. De plus, on peut construire α de telle façon que p ne divisait pas son degré (voir [13, 1.3.3], [12, 3.3]). Vu le lemme 1.5, on obtient un isomorphisme des parties unipotentes des composantes neutres des réductions des modèles entiers:

α_{u}: U^{m} × U_{1} ≃ U_{2},

où U désigne la partie unipotente de T̃^{∘}, et où les k-groupes unipotents U_{1} et U_{2} sont donnés par les formules explicites du théorème 2.1. Mais U est isogène au produit de groupes de Witt W_{d_{i}}, où les nombres d_{i} sont uniquement déterminés (voir [20, Ch. VII, §2, th. 1]; ce théorème est énoncé pour k algébriquement clos mais la démonstration vaut aussi pour k parfait), ce qui donne T̃^{∘} à k-isomorphisme près.

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Remarque. Une tentative de faire le calcul des nombres r_{i} encore plus explicite dans le cas particulier d’un tore déployé par une extension cyclique qui a été énoncée dans [9, théorème 2.3], est fausse; en effet ce théorème contredit le théorème 2.1 ci-dessus pour les tores normiques. Par exemple, si p > m, alors les nombres r_{i} sont tous égals à 1; dans le théorème 2.3 de [9] ces nombres apparaissent comme les degrés des caractères F_{p}-irréductibles de Z/m parmi lesquels il y a ceux qui sont bien différents de 1 (disons, pour m = 4, p = 5).

3 Réduction unipotente

Dans ce paragraphe, nous nous intéressons à un “problème inverse” de la construction des tores ayant la réduction donnée (voir questions 0.3 et 0.4). Les modèles minimaux utilisés sont ceux de Néron–Raynaud. Notons T̃^{∘} la composante neutre de la fibre spéciale de T_{NR}. On peut se poser une question suivante.

Question 3.1 Étant donnés un corps p-adique K de corps résiduel k, et un k-groupe affine commutatif connexe B, existe-t-il un K-tore T tel que T̃^{∘} soit isomorphe à B ?

On peut écrire B comme un produit S ×U, où S est un k-tore et où U est un k-groupe unipotent. (Dans toute la suite, “unipotent” = “unipotent commutatif connexe”). Pour la partie torique, la réponse à la question 3.1 est positive et facile.

Proposition 3.2 Étant donné un k-tore S, il existe un K-tore T tel que T̃ ≃ S.

Démonstration. Se donner un K-tore algébrique T de dimension d équivaut à se donner un triplet (K, L, G), où K est le corps de définition, où L est le corps de déploiement et où G ⊂ GL(d, Z) est un sous-groupe fini correspondant au module galoisien T̂ = Hom(T_{L}, G_{m,L}) (voir [26, ch. 4, §9]); ici G est défini à conjugaison près.

Comme k est un corps fini, on a S = (k, l, G), où l/k est une extension cyclique et où G ⊂ GL(d, Z) est un sous-groupe cyclique. On choisit une extension cyclique non ramifiée L/K telle que l et k soient les corps résiduels. Alors le tore T = (K, L, G) est un tore cherché parce que sa réduction est isomorphe à S (voir [12, 1.1], [28, prop. 2]).

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Le fait suivant permet de ramener le cas général à celui de la réduction purement unipotente.

Proposition 3.3 Soit B = S × U le produit d’un k-tore S par un k-groupe unipotent U. S’il existe un K-tore T tel que T̃^{∘} soit isomorphe à B, alors il existe un K-tore T_{1} tel que T̃_{1}^{∘} soit isomorphe à U.

Démonstration. Notons T_{nr} le plus grand sous-tore de T ayant bonne réduction; son module des caractères est défini par T̂_{nr} = im [T̂ →^{tr} T̂^{I}], où I ⊂ G est le sous-groupe d’inértie, où T̂^{I} est le module d’invariants et où tr est l’application donné par

tr(T̂) = (∑_{σ∈I} σ) T̂.

On a T̃_{nr}^{∘} ≃ S (voir [12, th. 1.3]). Pour T_{1} = T/T_{nr}, on a donc T̃_{1}^{∘} ≃ U.

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Dans toute la suite, nous considérons le cas de la réduction purement unipotente. Nous allons présenter des spécialisations de la question 3.1.

Question 3.4 Étant donnés un corps p-adique K de corps résiduel k, et un k-groupe unipotent U, existe-t-il un K-tore T tel que T̃^{∘} soit isomorphe à U ?

Voici quelques obstructions évidentes à une réponse positive.

Premièrement, pour un tore T = (K, L, G), on peut rencontrer une situation où toute extension L/K à groupe de Galois G est non ramifiée, ce qui previent à T d’avoir réduction unipotente. Par exemple, c’est le cas pour K = Q_{2} et G = Z/3, le groupe cyclique d’ordre 3. Cette remarque montre qu’il est raisonnable de modifier la question 3.4.

Question 3.5 Étant donnés un corps fini k de caractéristique p, et un k-groupe unipotent U, existe-t-il un corps p-adique K de corps résiduel k′, une extension finie de k, et un K-tore T tel que T̃^{∘} soit isomorphe à U ×_{k}k′?

Même sous telle forme, il y a une obstruction à une réponse positive, et cette deuxième obstruction est plus sérieuse.

Théorème 3.6 [12, th. 0.1]

Soit e l’indice de ramification de L/K, et soit p la caractéristique de k. Si p > e, pour tout K-tore T la partie unipotente de T̃^{∘} est isomorphe au groupe additif G_{a}^{n}.

Ce théorème montre que pour k donné, dans les dimensions d petites par rapport à la caractéristique de k, la réponse à la question 3.5 est presque toujours négative.

Définition 3.7 Soit k un corps fini. Un k-groupe unipotent U est dit t-admissible s’il existe un corps p-adique K de corps résiduel k, et un K-tore T tel que T̃^{∘} soit isomorphe à U.

Proposition 3.8 Pour chaque d il existe un entier n_{0} = n_{0}(d) tel que, si k est un corps de caractéristique > n_{0}, alors, parmi les k-groupes unipotents de dimension d seuls soient t-admissibles ceux qui sont isomorphes à G_{a}^{d}.

Démonstration. Soit n_{0} = n_{0}(d) l’ordre maximal d’un sous-groupe fini de GL(d, Z). Alors pour tout corps p-adique K à corps résiduel k, et tout K-tore T de dimension d à corps de déploiement L, on peut borner l’indice de ramification de L/K:

e ≤ [L : K] = |G| ≤ n_{0} < p,

et le théorème 3.6 donne le résultat.

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On doit donc modifier le problème inverse dans ce cas.

Question 3.9 Étant donnés un corps fini k, et un entier d, quels sont les k-groupes unipotents B de dimension d qui sont t-admissibles?

Sur un corps k parfait, tout groupe unipotent est k-isogène à un produit de groupes de Witt W_{d}; il semble donc naturel de restreindre cette question.

Question 3.10 Le groupe des vecteurs de Witt W_{d,k}, est-il t-admissible?

Remarque. Il serait intéressant d’obtenir des bornes plus explicites que dans la proposition 3.8; dans cette direction, on peut utiliser l’uniformisation rigide et la proposition 5.12 cidessous.

4 Tores de petites dimensions à réduction unipotente

Dans ce paragraphe, nous étudions le cas d ≤ 3. Nous nous concentrons à la question 3.10, et nous allons considérer également les cas de ramification modérée et de ramification sauvage.

Définition 4.1 Soit k un corps fini. Un k-groupe unipotent U est dit v-admissible s’il existe un corps p-adique K de corps résiduel k, et un K-tore T déployé par une extension modérément ramifié L tel que T̃_{NR}^{∘} soit isomorphe à U.

Remarque. Bien entendu, si U est v-admissible, alors T̃_{V}^{∘} est aussi isomorphe à U vu la proposition 1.4.

Commençons par le cas d = 1.

Théorème 4.2 Soit k un corps fini de caractéristique p.

a) Le groupe additif G_{a,k} est t-admissible.

b) Le groupe additif G_{a,k} est v-admissible si et seulement si p ≠ 2.

Démonstration. Les seuls K-tores de dimension 1 sont S = G_{m,K} et T = R_{F/K}^{1}G_{m}, où F/K est une extension quadratique (voir [26, 4.73]). On a S̃_{V} = G_{m,k}; si F/K est non ramifiée, alors T̃_{V} = R_{f/k}^{1}G_{m}, où f est le corps résiduel de F; enfin, T̃_{V} ≃ {±1} × G_{a,k} si F/K est ramifiée et p ≠ 2 (voir théorème 2.1), et T̃_{V} est un schéma non réduit pour p = 2 (voir [6], [28]). Dans ce dernier cas, on peut obtenir le modèle de Néron–Raynaud T_{NR} en éclatant celui de Voskresenskiĭ T_{V} (voir [6, 4.3]); pour sa réduction, on a T̃_{NR}^{∘} ≃ G_{a,k} (voir [12, 3.2]).

□

Corollaire 4.3 Le groupe additif G_{a,k}^{d} est t-admissible.

Démonstration. Prenons T = (R_{F/K}^{1}G_{m})^{d}.

□

Passons au cas d = 2.

Théorème 4.4 Soit k un corps fini de caractéristique p.

a) Le groupe additif G_{a,k}^{2} est t-admissible.

b) Le groupe additif G_{a,k}^{2} est v-admissible si et seulement si p ≠ 2.

c) Le groupe des vecteurs de Witt W_{2,k} est t-admissible si et seulement si p ≤ 5.

d) Le groupe des vecteurs de Witt W_{2,k} est v-admissible si et seulement si, soit p = 3 ou 5, soit p = 2 et la cardinalité de k est égale à 2^{s} avec s pair.

Démonstration. Nous allons utiliser la description complète des tores de dimension 2 donnée par Voskresenskiĭ [25], avec les corrections de Seligman [19]. Nous allons présenter non seulement la liste des sous-groupes finis d ans GL(2, Z) (à conjugaison près) comme dans [25], mais aussi une description explicite des tores correspondants. Nous avons besoin des notations supplémentaires.

K = un corps de base

T = un K-tore

L = le corps de déploiement de T

F/K = une extension quadratique

C/K = une extension cubique abélienne

Q/K = une extension cyclique de degré 4

S/K = une extension cubique non abélienne

D/K = une extension de degré 4 non abélienne à clôture galoisienne diédrale M/K = une extension quadratique linéairement disjointe de L R_{M/K}^{1}T = ker[R_{M/K}T_{M} →^{N} T], où N(x) = xx^{σ}, σ engendrant Gal(M/K)

Nous voulons décrire les tores “indécomposables” de dimension 2, c’est-à-dire ceux qui ne sont pas isomorphes à un produit des tores de dimension 1.

Proposition 4.5 Tout K-tore indécomposable de dimension 2 est isomorphe à l’un des suivants:

• T_{1} = R_{F/K}G_{m}

• T_{2} = R_{M/K}^{1}T_{1}

• T_{3} = R_{C/K}^{1}G_{m}

• T_{4} = R_{M/K}^{1}T_{3}

• T_{5} = R_{S/K}^{1}G_{m}

• T_{6} = R_{S/K}G_{m}/G_{m,K}

• T_{7} = R_{M/K}^{1}T_{5}

• T_{8} = ker[R_{Q/K}G_{m} →^{N} R_{Q_{1}/K}G_{m}], où N(x) = xx^{σ^{2}} avec σ engendrant Gal(L/K) et Q_{1} = Q^{σ^{2}} le corps fixe

• T_{9} = ker[R_{D/K}G_{m} →^{N} R_{D_{1}/K}G_{m}], où N(x) = xx^{σ^{2}} avec σ un élément d’ordre 4 dans Gal(L/K) et D_{1} = D^{σ^{2}} le corps fixe

Démonstration. Nous utilisons la liste des sous-groupes finis dans GL(2, Z) et une observation générale suivante.

Lemme 4.6 Soit T = (K, L, G) un tore de dimension d défini sur k et déployé par L, et soit G ⊂ GL(d, Z) un sous-groupe fini correspondant au module galoisien T̂ = Hom(T_{L}, G_{m,L}). Soit M/K une extension quadratique linéairement disjointe d e L. Soit

R_{M/K}^{1}T = ker[R_{M/K}T_{M} →^{N} T].

Alors on peut écrire R_{M/K}^{1}T = (K, LM, G_{1}), où G_{1} = G × {±I_{d}}, et où I_{d} est la matrice unité de dimension d. De plus, on a un isomorphisme R_{M/K}^{1}T ≃ R_{M/K}T/T.

Démonstration. On a G_{1} = G × Z/2, le facteur Z/2 correspond à Gal(M/K), notons σ son générateur. Par la définition de T′ = R_{M/K}^{1}T, on a une suite exacte de G_{1}-modules:

0 → T̂ →^{α} T̂ ⊗ Z[G_{1}/G] →^{β} T̂′ → 0,

où α(m) = m ⊗ 1 + m ⊗ σ. Soit {e_{1}, …, e_{d}} une base de T̂. Prenons

{f_{1}, …, f_{d}} = {β(e_{1} ⊗ 1), …, β(e_{d} ⊗ 1)}

pour une base de T̂′. Comme σ permute m ⊗ 1 et m ⊗ σ, on a σf_{i} = −f_{i}, d’où la première assertion du lemme.

Soit T′′ = R_{M/K}T/T. On a une suite exacte

0 → T̂′′ → T̂ ⊗ Z[G_{1}/G] →^{γ} T̂ → 0,

où γ(e_{i} ⊗ 1) = γ(e_{i} ⊗ σ) = e_{i}. Donc on peut prendre

{g_{1}, …, g_{d}} = {e_{1} ⊗ 1 − e_{1} ⊗ σ, …, e_{d} ⊗ 1 − e_{d} ⊗ σ}

pour une base de T̂′′ et voir que l’action de G_{1} sur T̂′′ coïncide avec son action sur T̂′, d’où la dernière assertion du lemme.

□

Lemme 4.7 [25], [19] Il y a 9 sous-groupes finis indécomposables dans GL(2, Z) (à conjugaison près):

\begin{aligned}G_{1} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{2} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{3} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{4} & = & ⟨( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{5} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{6} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & −1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{7} & = & ⟨( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{8} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{9} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )⟩ . \end{aligned}

□

Ce lemme composé avec la définition d’un tore normique et le lemme 4.6, donne immédiatement les présentations pour T_{1}–T_{3}, T_{5} dans la liste de la proposition 4.5.

Pour T_{4}, il faut remarquer que l’on peut présenter G_{4} sous la forme équivalente:

G_{2} = ⟨( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )⟩ .

Pour T_{6}, nous rappelons que par définition, son module des caractères s’inclut dans une suite exacte

0 → T̂_{6} → Z[G/H] →^{ε} Z → 0,

où G = ⟨σ, τ: σ^{3} = τ^{2} = (στ)^{2} = 1⟩ ≃ S_{3}, H = ⟨τ⟩, et où ε est l’homomorphisme d’augmentation, ε(∑ a_{i}e_{i}) = ∑ a_{i}. On peut donc prendre {σ − 1, σ^{2} − 1} = {g_{1}, g_{2}} comme une base de T̂_{6}. On a

\begin{aligned}σg_{1} & = & g_{2} − g_{1} \\ σg_{2} & = & −g_{1} \end{aligned} \begin{aligned}τg_{1} & = & g_{2} \\ τg_{2} & = & g_{1} \end{aligned} .

Les formules pour G_{6} donnent

\begin{aligned}σf_{1} & = & f_{1} \\ σf_{2} & = & −f_{1} − f_{2} \end{aligned} \begin{aligned}τf_{1} & = & −f_{2} \\ τf_{2} & = & −f_{1} \end{aligned} .

En posant g_{1} = −f_{2}, g_{2} = f_{1}, nous établissons la présentation requise.

Pour T_{7}, présentons G_{7} sous la forme équivalente

⟨( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )⟩

et utilisons le lemme 4.6.

De la définition de T_{8}, on a une suite exacte

0 → Z[G/H] → Z[G] → T̂_{8} → 0,

où G = ⟨σ⟩ est le groupe cyclique d’ordre 4, H est son sous-groupe d’ordre 2, et où Z[G/H] s’inclut dans Z[G] comme le sous-module engendré par 1 + σ^{2} et σ + σ^{3}. Ça donne la matrice requise pour le gén érateur de G_{8}.

Pour T_{9}, on utilise un raisonnement analogue. Dans la suite exacte

0 → Z[G/H_{1}] → Z[G/H] → T̂_{9} → 0,

on a G = ⟨σ, τ: σ^{4} = τ^{2} = (στ)^{2} = 1⟩, H = ⟨τ⟩, H_{1} = ⟨σ^{2}, τ⟩, et Z[G/H_{1}] s’inclut dans Z[G/H] comme sous-module engendré par H + σ^{2}H et σH + σ^{3}H. Ça donne la représentation

σ = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) , τ = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) .

En prenant σ et τσ comme générateurs du groupe diédral, nous obtenons la représentation requise pour G_{9}.

La proposition 4.5 est démontrée.

□

Ayant ceci, passons à la démonstration du théorème 4.4.

a) L’assertion n’est qu’un cas particulier du corollaire 4.3.

b) Si p ≠ 2, on déduit le résultat du théorème 4.2(b) en prenant T = (R_{F/K}^{1}G_{m})^{2} pour F/K quadratique ramifiée.

Soit maintenant p = 2 et supposons qu’il existe un K-tore T de dimension 2 déployé par une extension modérément ramifiée L/K tel que T̃^{∘} ≃ G_{a}^{2}. Comme d’habitude, on peut supposer L/K totalement ramifiée. Par le théorème 4.2, on peut supposer T indécomposable. La liste de tels tores est donnée par la proposition 4.5. Comme l’indice de ramification e(L/K) doit être impair et égale à [L : K], le seul candidat est T_{3}. Le théorème 2.1 donne T̃_{3}^{∘} ≃ W_{2}. L’assertion b) est démontrée.

Afin d’obtenir c) et d), nous montrons d’abord que pour p = 3 et p = 5, il existe T_{i} déployé par une extension modérément ramifiée tel que T̃_{i}^{∘} ≃ W_{2}, et que pour p ≥ 7, on a toujours la réduction purement additive; on s’occupera au cas p = 2 séparément.

Considérons le cas p = 3 et T = T_{2}.

Lemme 4.8 Soient L/K et M/K deux extensions quadratiques ramifiées d’un corps 3adique K. Pour le tore T = T_{2} = R_{M/K}^{1}(R_{L/K}G_{m}), on a T̃^{∘} ≃ W_{2}.

Démonstration. On a une isogénie de degré 2

α: R_{ML/K}G_{m} → R_{L/K}G_{m} × T

définie par

x ↦ (N(x), x^{2}/N(x)),

où N(x) = xx^{σ} avec σ engendrant Gal(ML/L). Vu le lemme 1.5, ça donne un isomorphisme des parties unipotentes des composantes neutres des fibres spéciales

α̃: W_{2} × G_{a} → G_{a} × T̃^{∘},

d’où T̃^{∘} ≃ W_{2}.

□

Considérons le cas p = 5 et T = T_{7}.

Lemme 4.9 Soit K un corps 5-adique qui admette une extension cubique non normale S et une extension quadratique M, toutes les deux étant ramifiées. Alors pour T = T_{7} = R_{M/K}^{1}(R_{S/K}^{1}G_{m}), on a T̃^{∘} ≃ W_{2}.

Démonstration. On a une isogénie de degré 2

R_{M/K}(R_{S/K}^{1}G_{m}) → R_{S/K}^{1}G_{m} × T,

définie par

x ↦ (N_{M/K}(x), x^{2}/N_{M/K}(x)),

et une isogénie de degré 3

R_{S/K}G_{m} → G_{m} × R_{S/K}^{1}G_{m},

définie par

x ↦ (N_{S/K}(x), x^{3}/N_{S/K}(x)),

d’où une isogénie de degré 6 (donc premier à 5)

R_{MS/K}G_{m} × G_{m} → R_{M/K}G_{m} × R_{S/K}G_{m} × T.

D’après le lemme 1.5, ça donne un isomorphisme des parties unipotentes des réductions que nous calculons à l’aide du théorème 2.1:

W_{2} × G_{a}^{3} ≃ G_{a} × G_{a}^{2} × T̃^{∘},

d’où le résultat du lemme.

□

Soit maintenant p = 2. Prenons T = T_{5} = R_{S/K}^{1}G_{m} où S/K est une extension cubique non abélienne ramifiée. Malgré que L, la clôture normale de S, étant de degré 6 sur K, est sauvagement ramifiée, on peut utiliser le théorème 2.1 (voir la remarque après ce théorème). Nous obtenons T̃_{5}^{∘} ≃ W_{2}, ce qui prouve c).

En ce qui concerne d), il y a une petite subtilité. Nous ne pouvons pas utiliser le tore T_{5} car le corps de déploiement est sauvagement ramifié. Il faut donc utiliser T_{3} = R_{C/K}^{1}G_{m}, où C/K est une extension cubique abélienne ramifiée. Comme nous avons remarqué dans la preuve de b), T_{3} est le seul candidat, et comme T̃_{3}^{∘} ≃ W_{2}, on réussit une fois que l’on construit une extension C/K telle que k soit le corps résiduel de K. Mais c’est possible si est seulement si K (et donc k) contient les racines cubiques de l’unité, en d’autres termes, si est seulement si 3 divise q − 1, où q est la cardinalité de k. La dernière condition est équivalent à la condition q est une puissance paire de 2, ce qui démontre d).

L’ordre d’un sous-groupe fini dans GL(2, Z) divise 24, donc pour p > 3 tout tore de dimension 2 est déployé par une extension modérément ramifiée. Il suit qu’afin d’établir c) et d), il ne reste qu’à démontrer que pour p > 5, aucun tore de dimension 2 déployé par une extension modérément ramifiée n’admet la réduction du type W_{2}.

Considérons d’abord les tores T_{7} et T_{9} correspondant aux sous-groupes finis maximaux dans GL(2, Z).

Lemme 4.10 Lorsque p > 5 et T = T_{7} ou T_{9}, on a T̃^{∘} ≃ G_{a}^{2}.

Démonstration. Pour T = T_{7}, le résultat suit de l’isogénie établie dans la démonstration du lemme précédent. Pour T = T_{9}, on a une isogénie de degré 2

R_{D/K}G_{m} → R_{D_{1}/K}G_{m} × T

définie par

x ↦ (N_{D/D_{1}}(x), x^{2}/N_{D/D_{1}}(x)),

d’où, pour p > 3, on peut de nouveau utiliser le lemme 1.5 et le théorème 2.1 pour obtenir un isomorphisme

G_{a}^{3} ≃ G_{a} × T̃^{∘},

ce qui donne T̃^{∘} ≃ G_{a}^{2}.

□

Remarque. Dans les démonstrations des lemmes précédents, nous utilisions de façon systématique des isogénies définies explicitement sur les K-points des tores sous considération. Si l’on préfère penser d’une façon plus algébrique, on peut démontrer que T_{1} et T_{2} sont isogènes en exhibant un isomorphisme des modules T̂_{1} ⊗ Q et T̂_{2} ⊗ Q. Par exemple, dans le lemme 4.10, on peut établir l’isogénie cherchée comme suit. On revient à la démonstration de la proposition 4.5. Considérons la suite exacte de Q[G]-modules:

0 → Q[G/H_{1}] → Q[G/H] → T̂_{9} ⊗ Q → 0.

Alors le choix d’une base {H + σ^{2}H, σH + σ^{3}H, H − σ^{2}H, σH − σ^{3}H} de Q[G/H] donne un scindage

Q[G/H] ≃ (T̂_{9} ⊗ Q) ⊕ Q[G/H_{1}],

d’où l’isogénie cherchée.

Pour achever la démonstration du théorème 4.4, il ne reste qu’à remarquer que lorsque p > 5, pour n’importe quel tore T = T_{j} (j = 1, …, 9), on a une isogénie du corollaire 2.2:

T^{m} × ∏_{i}(R_{K_{i}/K}G_{m})^{m_{i}} → ∏_{i}(R_{K_{i}/K}G_{m})^{n_{i}}

avec [K_{i} : K] ≤ 6 (voir les isogénies dans les preuves des lemmes 4.9 et 4.10). Donc d’après le théorème 2.1, tous les tores qui l’en apparaissent ont réduction purement additive.

Le théorème 4.4 est démontré.

□

Enfin, considérons les tores de dimension 3. Nous nous contenterons du cas où le corps de déploiement est modérément ramifié.

Théorème 4.11 a) Le groupe additif G_{a,k}^{3} est v-admissible si et seulement si p ≠ 2. b) Le groupe G_{a,k} × W_{2,k} est v-admissible si et seulement si 3 ≤ p ≤ 7.

c) Le groupe des vecteurs de Witt W_{3,k} n’est jamais v-admissible.

Démonstration. Nous utilisons la même approche que dans le cas de dimension 2. On peut se limiter aux tores indécomposables et de plus, aux tores anisotropes (i.e. n’ayant pas des sous-tores déployés). En effet, un sous-tore déployé de T ait bonne réduction, et T̃ contiendrait une composante torique.

Pour décrire les tores indécomposables anisotropes de dimension 3, nous utilisons la liste des sous-groupes finis dans GL(3, Z) [24], avec une correction de [1], et quelques descriptions explicites présentées dans [8].

Comme ci-dessus, sans restreindre généralité, on peut supposer que L/K soit totalement ramifiée.

Distinguons les cas où p est pair ou impair.

Proposition 4.12 Si p = 2, il n’y a pas de K-tores anisotropes de dimension 3 déployés par une extension modérément et totalement ramifiée.

Démonstration. Soit T un K-tore anisotrope de dimension 3, et supposons que son corps de déploiement L soit modérément et totalement ramifié sur K. De la classification de sous-groupes finis dans GL(3, Z) [24], il suit qu e [L : K] ≤ 48. Comme e = [L : K] doit être impair, on a [L : K] = 3. Mais un tore anisotrope déployé par une extension cubique est de la forme T = (R_{L/K}^{1}G_{m})^{m}, donc sa dimension est paire, ce qui contredit l’hypothèse dim T = 3.

□

Passons au cas où p est impair. Considérons d’abord un cas particulier.

Proposition 4.13 Soit p impair, et soit T = (K, L, G) un K-tore de dimension 3 tel que G est un sous-groupe fini maximal indécomposable de GL(3, Z). Supposons que le corps L soit modérément et totalement ramifié sur K. Alors T̃^{∘} est isomorphe à G_{a} × W_{2} pour 3 ≤ p ≤ 7, et à G_{a}^{3} pour p ≥ 11.

Démonstration. De la classification de sous-groupes finis dans GL(3, Z) [24], il suit qu’il y a 3 sous-groupes finis maximaux indécomposables dans GL(3, Z) (à conjugaison près); nous les écrivons sous la forme différente d e [24], cf. [8]:

\begin{aligned}G_{1} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{2} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ −1 & −1 & −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )⟩ , \\ G_{3} & = & ⟨( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} )⟩ . \end{aligned}

Comme groupes abstraits, tous ces sous-groupes sont isomorphes à S_{4} × Z/2. De plus, ils sont tous conjugués entre eux comme sous-groupes de GL(3, Q). En effet, pour G_{1} et G_{2} c’est immédiat car ils sont duaux l’un à l’autre. En posant

A = ( \begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 1 & 0 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} ) ,

on vérifie directement que A^{−1}G_{1}A ≃ G_{3}. Puisque G_{1}–G_{3} sont conjugués dans GL(3, Q), les tores correspondants T_{1}–T_{3} sont K-isogènes (voir [26, 3.46]). Il faut remarquer que l’isogénie T_{1} → T_{2} (resp. T_{1} → T_{3}) est de degré 4 (resp. 2). Choisissons le tore T = T_{1} correspondant à G_{1} comme un représentant de cette classe d’isogénie. On voit que

T = R_{M/K}^{1}N, N = R_{S/K}^{1}G_{m},

où S/K est une extension de degré 4 avec la clôture galoisienne à groupe symétrique S_{4} et où M/K est une extension quadratique linéairement disjointe de S (voir lemme 4.6 et [8]). On a des isogénies évidentes de degrés 2^{l}:

R_{M/K}N → N × T, x ↦ (N_{M/K}(x), x^{2}/N_{M/K}(x)),
R_{S/K}G_{m} → G_{m} × N, x ↦ (N_{S/K}(x), x^{4}/N_{S/K}(x)),

d’où une isogénie

T × R_{S/K}G_{m} × R_{M/K}G_{m} ∼ R_{MS/K}G_{m} × G_{m}.

Soit U la partie unipotente de la réduction de T. Le lemme 1.5 et le théorème 2.1 donnent des isomorphismes

U × (W_{2} × G_{a}) × G_{a} ≃ W_{2} × W_{2} × G_{a}^{3} (p = 3),
U × G_{a}^{3} × G_{a} ≃ W_{2} × G_{a}^{5} (5 ≤ p ≤ 7),
U × G_{a}^{3} × G_{a} ≃ G_{a}^{7} (p ≥ 11),

d’où le résultat de la proposition.

□

Lemme 4.14 a) Si 3 ≤ p ≤ 7, alors le groupe W_{2} × G_{a} est v-admissible.

b) Si p = 2, alors le groupe W_{2} × G_{a} n’est pas v-admissible.

Démonstration. Soient K = Q_{p}, f(x) = x^{4} − p, F l’extension de K engendrée par une racine de f(x). Comme f(x) ∈ K[x] est un polynôme d’Eisenstein, F/K est totalement ramifiée. Notons L la clôture normale de F. Soit 3 ≤ p ≤ 7, alors Gal(L/K) est, soit le groupe diédrale D_{4} (il en est ainsi pour p = 3 ou 7, car dans ces cas K ne contient pas \sqrt{−1}), soit le groupe cyclique C_{4}, c’est-à-dire F/K est normale (c’est le cas pour p = 5 quand K contient \sqrt{−1}). Dans tous le cas, L/K est modérément ramifiée. D’après le théorème 2.1, le tore T = R_{F/K}^{1}G_{m} a la réduction T̃^{∘} ≃ G_{a} × W_{2}. Cela démontre la v-admissibilité de G_{a} × W_{2} pour k = F_{p}, 3 ≤ p ≤ 7. Soit maintenant k un corps fini arbitraire de caractéristique p, 3 ≤ p ≤ 7. Alors il faut trouver une extension non ramifiée K/Q_{p} à corps résiduel k. En prenant T = R_{F′/K}^{1}G_{m}, où F′ = F K est le composite de F comme ci-dessus avec K, on obtient la v-admissibilité de G_{a} × W_{2} pour n’importe quel k de caractéristique p, 3 ≤ p ≤ 7, ce qui démontre a).

L’assertion b) suit immédiatement du théorème 4.4(b) est de la proposition 4.12.

□

Pour achever la preuve du théorème 4.11, il ne reste qu’à démontrer que lorsque p ≥ 11, parmi les groupes unipotents de dimension 3, seuls ceux isomorphes à G_{a}^{3} sont v-admissibles.

Soit T = (K, L, G) un K-tore de dimension 3, anisotrope, indécomposable, avec L/K totalement et modérément ramifiée. On peut supposer que G ⊂ G_{1}, un sous-groupe fini maximal dans GL(3, Z). En considérant l’isogénie du corollaire 2.2

T × ∏_{i}(R_{K_{i}/K}G_{m})^{m_{i}} ∼ ∏_{i}(R_{K_{i}/K}G_{m})^{n_{i}}

et l’en comparant avec l’isogénie de la démonstration de la proposition 4.13, on conclut que [K_{i} : K] ≤ 8, donc seuls groupes additifs peuvent apparaître comme parties unipotentes des réductions des tores R_{K_{i}/K}G_{m} (voir théorème 2.1).

Le théorème 4.11 est démontré.

□

Remarque. Dans [15]–[18], les auteurs construisent des modèles entiers des tores déployés G_{m}^{d} de fibre spéciale W_{d,k} pour tous les entiers d, mais, bien entendu, ces modèles sont loin d’être minimaux.

5 Variétés abéliennes à réduction unipotente

Dans ce paragraphe, par analogie avec le cas torique, nous considérons le problème inverse de construction d’une variété abélienne à réduction donnée. En utilisant des méthodes d’uniformisation rigide développées dans [14], [2], nous allons déduire des réponses requises des résultats des paragraphes précédents. (Nous utiliserons une publication récente [4] pour les références nécessaires). Notons qu’à la différence de [21], [10], [22], [23] nous nous intéressons non seulement au type de la réduction (bonne, multiplicative, unipotente) mais plutôt à sa classe de k-isomorphisme.

Définition 5.1 Soit k un corps fini. Un k-groupe commutatif connexe B est dit aadmissible s’il existe un corps p-adique K de corps résiduel k, et une K-variété abélienne A telle que Ã^{∘} soit isomorphe à B.

(Ici Ã^{∘} désigne la composante neutre de la fibre spéciale du modèle de Néron A de A). On peut se poser les questions semblables à celles de §3.

Question 5.2 Étant donnés un corps fini k, et un entier d, quels sont les k-groupes unipotents de dimension d qui sont a-admissibles?

Question 5.3 Le groupe des vecteurs de Witt W_{d,k}, est-il a-admissible?

Pour d = 1, la réponse à la question 5.3 est positive et bien connue [10] .

On a un résultat général suivant.

Théorème 5.4 Soit B un k-groupe commutatif connexe. Si B est t-admissible, alors B est aussi a-admissible.

Nous utilisons la téchnique d’uniformisation rigide. Voici un aperçu de notre argument. D’après Raynaud [14], toute K-variété abélienne A admet l’uniformisation lorsqu’on se trouve dans la catégorie de K-espaces rigides. La composante neutre du modèle de Néron (formel) de la variété semi-abélienne E qui uniformise A coïncide avec celle de A, d’où la coïncidence des réductions Ẽ^{∘} ≃ Ã^{∘}. Il ne reste qu’à trouver A avec l’uniformisation purement torique. On fait ça à l’aide d’une forme tordue d’un produit direct de quelques exemplaires de la courbe elliptique de Tate.

Reproduisons les définitions et les résultats de la géométrie rigide qui sont indispensables pour nous.

Définition 5.5 [4, 1.1]

Soit A une K-variété abélienne. L’uniformisation rigide de A comprend les données suivantes:

• une immersion fermée de K-groupes rigides M↪E, où E est un K-schéma en groupes semi-abélien dont la partie abélienne possède potentiellement bonne réduction, et où M est un réseau de rang maximum dans E;

• un morphisme fidèlement plat f: E → A de K-groupes rigides avec ker f = M.

Théorème 5.6 [14], [4, 1.2] Toute K-variété abélienne admet l’uniformisation rigide.

Définition 5.7 [4, 2.1]

Soit X un K-espace rigide lisse. Un modèle de Néron formel de X est un O-modèle formel lisse V d’un sous-espace rigide ouvert V ⊂ X tel que la propriété de Néron soit satisfaite:

Si Z est un O-schéma formel lisse et h_{K}: Z → X est un morphisme de K-espaces rigides, alors on peut prolonger h_{K} de façon unique à un morphisme de O-schémas formels h: Z → X.

Proposition 5.8 [4, corollaire de 2.2]

Soit X un K-schéma en groupes lisse commutatif à modèle de Néron X, soit Y le K-groupe rigide associé à X, et soit Y le modèle de Néron formel de Y. Alors les fibres spéciales de X et de Y coïncident.

Théorème 5.9 [4, 2.3]

Soit f_{K}: E → A l’uniformisation rigide d’une K-variété abélienne A. Alors on peut prolonger f_{K} de façon unique à un morphisme de O-schémas formels f: E → A, où E, A sont les modèles de Néron formels de E, A; de plus, f induit un isomorphisme des composantes neutres E^{∘} ≃ A^{∘}.

Démonstration du théorème 5.4. Soit T un K-tore tel que T̃^{∘} ≃ U. On a T ×_{K}L ≃ G_{m,L}^{d}, où L est le corps de déploiement de T.

Considérons la courbe de Tate C définie sur K. Soit C^{d} le produit direct de d exemplaires de C. On a l’uniformisation rigide de C^{d}:

0 → Z^{d} → G_{m}^{d} → C^{d} → 0.

On peut tordre la dernière suite exacte par l’action de Gal(L/K) correspondant au module des caractères de T. Nous obtenons la suite

0 → M → T → A → 0

qui est l’uniformisation rigide d’une certaine variété abélienne A (qui est une K-forme tordue de C^{d}). D’après la proposition 5.8 et le théorème 5.9, on a Ã^{∘} ≃ T̃^{∘}, d’où le résultat.

□

Voici quelques conséquences immédiates.

Corollaire 5.10 Soit k un corps fini, alors tout k-tore est a-admissible.

Démonstration. Cela suit du théorème 5.4 compte tenu de la proposition 3.2.

□

Le corollaire suivant répond à la question 5.3 pour d = 2.

Corollaire 5.11 Si k est un corps fini de caractéristique p ≤ 5, alors le groupe W_{2,k} est a-admissible.

Démonstration. Cela suit du théorème 5.4 compte tenu du théorème 4.4.

□

Remarque. La démonstration du théorème 5.4 fournit des exemples explicites de surfaces abéliennes qui ont réduction du type W_{2}. On peut considérer un corps dyadique K qui admette une extension galoisienne cubique ramifiée L, et prendre

A = ker[R_{L/K}C →^{N} C],

où C désigne la courbe de Tate définie sur K. Le tore normique T = R_{L/K}^{1}G_{m} est alors l’uniformisation rigide de A, d’où le résultat (voir théorème 2.1). Si p = 5, nous considérons une extension quadratique ramifiée Q/K et la surface abélienne A comme cidessus, et nous prenons S = ker[R_{Q/K}A → A]. Si p = 3, nous considérons des extensions quadratiques ramifiées Q/K et F/K, et nous posons S = ker[R_{QF/K}C → R_{F/K}C]. Dans tous les cas, S̃^{∘} est isomorphe à W_{2} (voir lemmes 4.8, 4.9).

Q. Liu nous a communiqué qu’il existe une autre méthode de construire des surfaces abéliennes à réduction de type Witt qui utilise les jacobiennes des courbes de genre deux.

Pour d quelconque, en utilisant un argument suggéré par B. Edixhoven, on peut établir un analogue de la proposition 3.8.

Proposition 5.12 Pour chaque d il existe un entier n_{0} = n_{0}(d) tel que, si k est un corps de caractéristique > n_{0}, alors, parmi les k-groupes unipotents de dimension d, seuls soient a-admissibles ceux qui sont isomorphes à G_{a}^{d}.

Démonstration. D’après [7, prop. 3.6], étant donné une K-variété abélienne A, il existe une extension finie galoisienne L/K telle que A_{L} = A ×_{K} L ait réduction semi-stable sur L; ça veut dire que (la composante neutre de) la réduction Ã_{L}^{∘} est une extension d’une variété abélienne par un tore. Soit L l’extension minimale avec cette propriété, et soit n l’ordre du groupe de Galois Gal(L/K). Comme nous nous intéressons au cas de réduction purement unipotente, on peut supposer que L/K est totalement ramifiée et que K contient les racines n-ièmes de l’unité. Supposons que p > 2d + 1, alors p ne divise pas n [23, cor. 6.3]. De plus, n est borné par une fonction de d (voir, soit [23, cor. 6.3], soit [6, th. 6.1]). Alors, d’après [6, rem. 5.4.2], ça implique que, si p ≥ n, la partie unipotente de Ã^{∘} est tué par multiplication par p, d’où le résultat.

□

Remarque. La proposition ci-dessus donne, par uniformisation rigide, une autre demonstration de la proposition 3.8. Nous ne considérons pas le problème d’explicitation de n_{0} = n_{0}(d). Dans cette direction, on peut appliquer [22], [23].

Remerciements. Les auteurs remercient S. Bosch, B. Edixhoven, G. Faltings, B. Gross, D. Kazhdan, B. Mazur, B. Z. Moroz, M. Raynaud, J.-P. Serre, V. E. Voskresenskiĭ et X. Xarles pour des discussions fructueuses. Le premier auteur remercie l’Université de Franche-Comté, Harvard University, l’Université de Paris-VII, Sonderforschungsbereich 170 (Universität Göttingen), l’Université de Caen et Max-Planck-Institut für Mathematik (Bonn) pour leur accueil pendant la période quand ce travail a été conçu et accompli.

Références

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