Transformée de Mellin des intégrales- fibres de courbe espace associées aux singularités isolées d’intersection complète quasihomogènes

Susumu TANABÉ

Abstrait. La transformée de Mellin de l’intégrale -fibre est calculée pour certaines singularités isolées de courbe espace quasihomogènes (surtout singularités simples de la liste de Giusti). On discerne la propriété de la symétrie des spectres de Gauss-Manin (Théorème 3.1) et la structure de reseaux des pôles de la transformée de Mellin qui est exprimée au moyen des données topologiques des singularités (Corollaire 4.4, Théorème 5.2). Comme une application de ces résultats, on exprime le nombre de Hodge du fibre de Milnor en terme des spectres de Gauss-Manin.

0 Introduction

Ici on calcule concrètement le système de Gauss-Manin de l’intégrale-fibre associée aux singularites isolées d’intersection complète (SIIC).

D’abord nous fixons la situation. Pour les deux variétés complexes X = (C^{n+k}, 0), S = (C^{k}, 0), on regarde une application quasihomogène d’intersection complète,

f : X → S  (0.1)

telle que X_{s} := {(x_{1}, ⋯, x_{n+k}); ∈ X; f_{1}(x) = s_{1}, …, f_{k}(x) = s_{k}}. C’est à dire f_{1}(x), ⋯, f_{k}(x) sont les polynômes quasihomogènes par rapport à un poids et dimX_{0} = n ≥ 0. On suppose en plus que f possède une singularité isolée à l’origine i. e. df(x) = 0 pour x ∈ X_{0} si et seulement si x = 0.

Dans ce travail, notre but est de décrire les solutions explicites du système de Gauss-Manin associé à SIIC quasihomogènes pour certains cas de courbe espace i.e. n = 1, k = 2. Ici nous nous servons de la transformée de Mellin des intégrales-fibres à fin de sa déscription à cause d’une possibilité remarquable de “visualiser” des propriétés importantes de singularités SIIC qui les caractérisent d’une façon distinguée. Cette situation incitait certains auteurs comme C.Sabbah [21], [22], D.Barlet[6], F.Loeser [16] à poursuivre ses recherches sur la transformée de Mellin des intégrales fibres qui etaient, entre autres, motivés par l’idée de P.Deligne.

Aperçons la structure du travail. Dans §1, selon Greuel et Hamm [12], on introduit les modules sur lesquels le système de Gauss-Manin associé à SIIC quasihomogène de dimension arbitraire sera défini et représenté au moyen des matrices implicitement définies. Les résultats de §2 montrent le calcul concret du système de Gauss-Manin associé aux singularités isolées simples d’intersection complète (SISIC) S_{μ}, U_{μ}, T_{μ}, W_{μ}, Z_{μ} (μ ≥ 5) de la liste de M.Giusti [10]. Je tiens à noter que le calcul achevé par S.Guzev [13] sert à l’établissement de résultats de cette section.

AMS Subject Classification: 14M10, 32S25, 32S40.

Key words and phrases: Gauss-Manin connexion, complete intersection, Hodge structure.

1 Travail réalisé par le soutien financier d’un homme d’affaires M.Mikhail S.Gavounas (Moscou, Russie) et de Max Planck Institut für Mathematik.

Dans §3, les spectres du système de Gauss-Manin associé à SISIC sont définis et la symétrie entre eux est établie. On note que la symétrie des spectres de la structure de Hodge mixte pour SIIC a été démontrée par W.Ebeling et J.Steenbrink [9]. Dans §4, la transformée de Mellin de l’intégrale- fibre est décrite au moyen des spectres mentionnés. Pour ce but, on résout l’équation de différences finies. L’interprétation de l’intégrale- fibre comme fonction hypergeometrique généralisée au sens de Mellin-Barnes-Pincherle est donnée. Les pôles de la transformée de Mellin donnent des informations sur b− fonction en 2-variables introduite par Sabbah [21]. Dans §5, en vue du caractère assez universel des calculs pour SISIC, on généralise des résultats de §2 et §3 aux séries des singularités ”nonresonantes” et unimodales. Dans §6, on exprime le nombre de Hodge du fibre de Milnor h^{pq}(X_{s}) au moyen des spectres de Gauss-Manin obtenus dans §3, §5.

Je tiens à remercier D.Barlet, E.Brieskorn, J.H.Steenbrink et C.Sabbah de ses critiques utiles et V. P. Palamodov d’avoir rendu à ma disposition une copie de manuscrit [13].

1 Les espaces vectoriels V et F de Greuel-Hamm

1.1 La situation et les notations de §0 restent valide. Dans cette section, on prépare quelques lemmes sur l’intersection complète X_{s} := {(x_{1}, ⋯, x_{m}); ∈ X; f_{1}(x) = s_{1}, …, f_{k}(x) = s_{k}}, de dimension n = m−k ≥ 0 qui est définie par une collection des polynômes quasihomogènes f_{1}(x), …, f_{k}(x).

D’abord on commence par munir nos objets des poids quasihomogènes. Dès que f_{1}, ⋯, f_{k} sont les polynômes quasihomogènes, on peut attribuer aux variables x_{1}, ⋯, x_{m} des poids quasihomogènes. Notons les poids de ces variables par

w(x_{1}) = w_{1}, ⋯, w(x_{m}) = w_{m},  (1.1.1)

où w(x_{1}) = w_{1}, ⋯, w(x_{m}) = w_{m} sont les entièrs positifs tels que ils aient un pgdc = 1. On utilisera la notation w(f_{1}) = p_{1}, ⋯, w(f_{k}) = p_{k}, en sorte que p_{1} ≥ p_{2} ≥ ⋯ ≥ p_{k}. Il est naturel de définir le champs d’Euler

E = w_{1}x_{1} \frac{∂}{∂x_{1}} + ⋯ + w_{m}x_{m} \frac{∂}{∂x_{m}} ,  (1.1.2)

de telle sorte que

E(f_{j}) = p_{j}f_{j} pour j = 1, ⋯, k.

1.2 Pour calculer le système de Gauss-Manin associé aux singlarités notées ci-dessus, nous introduisons les deux espaces vectoriels V et F,

F := \frac{Ω_{X}^{n+1}}{df_{1} ∧ Ω_{X}^{n} + ⋯ + df_{k} ∧ Ω_{X}^{n} + i_{E}(Ω_{X}^{n+2})},  (1.2.1)

où i_{E} signifie contraction avec le champs d’Euler E défini par (1.1.2).

V := \frac{Ω_{X}^{n}}{df_{1} ∧ Ω_{X}^{n−1} + ⋯ + df_{k} ∧ Ω_{X}^{n−1} + dΩ_{X}^{n−1} + f_{1}Ω_{X}^{n} + ⋯ + f_{k}Ω_{X}^{n}} .  (1.2.2)

L’espace V a été, par example, introduit par Greuel-Hamm [12]. Ils se servirent de V afin de calculer le nombre de Milnor μ et le polynôme caractéristique de la monodromie de Picard-Lefschetz pour f, une singularité isoleé d’intersection complète quasihomogène. Du lemme 3.6 de [12] on déduit que rank_{C}V est égal au nombre de Milnor μ de la singularité. Dans leur formule P_{V} (1) = μ pour le cas n > 0. Satz 3.1 de [12] donne la série de Poincaré P_{V} (t),

P_{V} (t) = Res_{τ=0} \frac{τ^{−m+k−1}}{τ + 1} [∏_{i=1}^{m} \frac{1 + τt^{w_{i}}}{1 − t^{w_{i}}} ∏_{j=1}^{k} \frac{1 − t^{p_{j}}}{1 + τt^{p_{j}}} + τ].  (1.2.3)

Quant à l’espace F, on doit sa définition essentiellement à S.Guzev [13].

1.3 Par les propositions suivantes, on voit l’utilité de l’espace F pour le calcul de Gauss-Manin. Introduisons un autre espace vectoriel Φ :

Φ := \frac{Ω_{X}^{m}}{df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ Ω_{X}^{n} + f_{1}Ω_{X}^{m} + ⋯ + f_{k}Ω_{X}^{m}} .

Selon la construction de Brieskorn-Greuel [11], introduisons un module

”H = f_{∗}Ω_{X}^{m}/df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} · d(f_{∗}Ω_{X}^{n−1}) ≅ \frac{Ω_{X}^{m}}{df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ dΩ_{X}^{n−1}} ,

qui est identifié à un O_{S}− module du rang μ (Proposition 2.6 [11]). En fait, Lemme 1.1 Si f_{1}, ⋯, f_{k} sont les polynômes quasihomogènes, l’espace vectoriel Φ est isomorphe à un autre espace ”H/(f_{1}, ⋯, f_{k}).

Démonstration Prenons α qui peut être un élément non zero de ”H/(f_{1}, ⋯, f_{k}) en sorte qu’il admette la décomposition

α = ω + ∑_{i=1}^{k} f_{i} ∧ φ_{i} + df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ dψ,

avec ψ ∈ Ω_{X}^{n−1}, φ_{i} ∈ Ω_{X}^{m}, pour

ω = ∑_{i=1}^{k} f_{i} ∧ χ_{i} + df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ ϕ,

avec ϕ ∈ Ω_{X}^{n}, χ_{i} ∈ Ω_{X}^{m}. ’énoncé du lemme se reduit à la nullité de α dans ”H/(f_{1}, ⋯, f_{k}). Alors,

α = ∑_{i=1}^{k} f_{i}(φ_{i} + χ_{i}) + df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ (dψ + ϕ).

On peut supposer la décomposition de la forme ϕ ∈ Ω_{X}^{n} selon le poids quasihomogène

ϕ = ∑_{j=1}^{L} w(ϕ_{j})^{−1}(di_{E} + i_{E}d)(ϕ_{j}) = ∑_{j=1}^{L} ϕ_{j}

où w(ϕ_{j}) = \frac{c_{1}j+c_{0}}{c} avec c, c_{0}, c_{1}, les entiers strictement positifs. Avec cette notation, la forme α s’écrit

α = ∑_{i=1}^{k} f_{i} ∧ (φ_{i} + χ_{i}) + df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ [(dψ + ∑_{j=1}^{L} w(ϕ_{j})^{−1}(di_{E} + i_{E}d)ϕ_{j}]

≡ df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ [d(ψ + ∑_{j=1}^{L} w(ϕ_{j})^{−1}i_{E}(ϕ_{j})) + i_{E}(∑_{j=1}^{L} w(ϕ_{j})^{−1}dϕ_{j})]mod(f_{1}, ⋯, f_{k})

≡ ∑_{j=1}^{L} w(ϕ_{j})^{−1}df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ i_{E}(dϕ_{j}) dans ”H/(f_{1}, ⋯, f_{k}),

≡ (−1)^{k+1}i_{E}[∑_{j=1}^{L} w(ϕ_{j})^{−1}df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ dϕ_{j}] dans ”H/(f_{1}, ⋯, f_{k}) ≡ 0,

car df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ dϕ_{j} ∈ Ω_{X}^{m+1} ≅ 0. Q.E.D.

De ce lemme il suit que rank_{C}Φ = μ. Nous notons les éléments de la base de Φ par ϕ_{j}(x)dx, 1 ≤ j ≤ μ. Ici et par la suite on utilise la notation x = (x_{1}, ⋯, x_{m}), dx = dx_{1} ∧ ⋯ ∧ dx_{m}. Notons aussi la base du module F par ω̃_{i}, 1 ≤ i ≤ μ.

Il vaut souligner ici le caractère d’invariance topologique des modules F et Φ.

1.4

Proposition 1.2 Pour chaque ω̃_{i} ∈ F, on a décomposition suivante

ω̃_{i} ∧ df_{1} ∧ ⋯^{∨ℓ} ∧ df_{k} = ∑_{j=1}^{μ} P_{ij}^{(ℓ)}ϕ_{j}dx  (1.4.1)

avec P_{ij}^{(ℓ)} ∈ C[f_{1}, ⋯, f_{k}] et ϕ_{j}(x)dx ∈ Φ, pour 1 ≤ i, j ≤ μ, 1 ≤ ℓ ≤ k et df_{1} ∧ ⋯^{∨ℓ} ∧ df_{k} = ⋀_{i≠ℓ}^{k} df_{i}.

Démonstration

Il existe une application injective naturelle entre les espaces vectoriels :

df_{1} ∧ ⋯^{∨ℓ} ∧ df_{k} ∧ F :↪ \frac{Ω_{X}^{m}}{df_{1} ∧ ⋯ df_{k} ∧ Ω_{X}^{n}} ≅ Φ ⊗ O_{S},

pour f_{1}, ⋯, f_{k} définissant l’ intersection complète. En vue de l’somorphisme entre ′′H/(f_{1}, ⋯, f_{k}) et Φ établi dans Lemme 1.1, la conclusion se déduit immédiatement. Q.E.D.

1.5.

Proposition 1.3 Si on définit le champs d’Euler comme (1.1.2), l’application i_{E} donée par la contraction avec E,

i_{E} : F → V

induit un isomorphisme entre les deux modules F et V.

Démonstration

1) Surjectivité. Si on prend une forme quasihomogène ω ∈ V, en vertu de la quasihomogeneiété de ω ,

w(ω)ω = i_{E}(dω) + d(i_{E}ω).

Cela veut dire, pour \frac{dω}{w(ω)} ∈ F,

i_{E}(\frac{dω}{w(ω)}) ≡ ω dans V.

Ici on dénote le poids de la forme ω par w(ω).

2) Injectivité. Supposons pour ω ∈ F,

i_{E}(ω) = df_{1} ∧ ϕ_{1} + ⋯ + df_{k} ∧ ϕ_{k} + dψ + f_{1}ω_{1} + ⋯ + f_{k}ω_{k},

avec ϕ_{1}, ⋯, ϕ_{k}, ψ ∈ Ω_{X}^{n−1}, ω_{1}, ⋯, ω_{k} ∈ Ω_{X}^{n}. Ça veut dire,

di_{E}(ω) = df_{1} ∧ (dϕ_{1} + ω_{1}) + ⋯ + df_{k} ∧ (dϕ_{k} + ω_{k}) + f_{1}dω_{1} + ⋯ + f_{k}dω_{k}
= w(ω)ω − i_{E}(dω).

Ou bien

ω ≡ \frac{1}{w(ω)}(f_{1}dω_{1} + ⋯ + f_{k}dω_{k}) dans F.  (1.5.1)

D’autre part, puisque

p_{1}f_{1}dω_{1} = i_{E}(df_{1} ∧ dω_{1}) + df_{1} ∧ i_{E}(dω_{1}),

on a

f_{1}dω_{1} ≡ 0 dans F.

d’une façon analogue,

f_{i}dω_{i} ≡ 0 dans F, 2 ≤ i ≤ k.

En tenant compte du (1.5.1), ces dernières relations entrainent que ω ≡ 0 dans F.

Q.E.D. Prop.

En vue de Proposition 1.3, nous notons la base de V par ω_{i} t.q. ω_{i} = i_{E}(ω̃_{i}), 1 ≤ i ≤ μ.

1.6 Nous abordons calcul du système de Gauss-Manin à la manière de Greuel [11] pour ω_{i} ∈ V. Nous notons d’ailleurs par ψ_{i} n− forme meromorphe t.q.

df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ ψ_{i} = ϕ_{i}(x)dx, 1 ≤ i ≤ μ.

Alors on peut déduire de la Proposition 1.2 la relation suivante,

dω_{j} = (di_{E} + i_{E}d)(ω̃_{j}) ≡ ℓ_{j}ω̃_{j}

≡ ℓ_{j}(∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(1)}df_{1}∧ψ_{q} −∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(2)}df_{2}∧ψ_{q} +⋯+(−1)^{k−1} ∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(k)}df_{k} ∧ψ_{q}) mod((df_{1}, ⋯, df_{k})Ω_{X}^{n}, dΩ_{X}^{n}).

(1.6.1)

Pour obtenir (1.6.1), on utilise la relation,

dω̃_{j} ≡ 0 mod((df_{1}, ⋯, df_{k})dΩ_{X}^{n}, dΩ_{X}^{n+1}),

et L_{E}(ω̃_{i}) = ℓ_{i}ω̃_{i} pour L_{E}, la dérivée de Lie de E avec ℓ_{i} := w(ω̃_{i}), le poids de la forme. La relation (1.6.1) signifie la dérivée de la forme ω_{i},

dω_{j} = df_{1} ∧ β_{j}^{(1)} + df_{2} ∧ β_{j}^{(2)} + ⋯ + df_{k} ∧ β_{j}^{(k)},  (1.6.2)

avec les formes meromorphes β_{j}^{(i)} qui possèdent le pôle le long du lieu critique Cr(f) = {x ∈ C^{m}; df_{1}(x) ∧ ⋯ ∧ df_{k}(x) = 0}.

La relation (1.6.2) est une expression du système de Gauss-Manin à la Greuel p.249 [11] adoptée à notre situation. Pour voir cela, on remarque,

β_{j}^{(i)} ≡ (−1)^{j−1}ℓ_{j}[∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(i)}ψ_{q}] mod((df_{1}, ⋯, df_{k})dΩ_{X}^{n}, dΩ_{X}^{n+1}).

L’énoncé sur le pôle des formes β_{j}^{(i)} est visible du fait que df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ ψ_{q} ∈ Ω_{C^{m}}^{m}. Voir le lemme 1.12 et la discussion au p.249 de [11].

1.7 Dès que l’expression (1.6.1) ne donne que la relation entre dω_{j} et ψ_{j}, elle est peu convenable pour le calcul concret du système de Gauss-Manin. Il est, donc, souhaitable d’établir la relation entre dψ_{j} et ψ_{j}, ou bien dω_{j} et ω_{j}. Pour ce but, on va chercher des relations entre ω_{j} et ψ_{j}. Puisque

ω̃_{j} = ∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(1)}df_{1} ∧ ψ_{q} − ∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(2)}df_{2} ∧ ψ_{q} + ⋯ + (−1)^{k−1} ∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(k)}df_{k} ∧ ψ_{q} dans F,

on a

ω_{j} = i_{E}(ω̃_{j}) = ∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}[p_{i} ∑_{q=1}^{μ} P_{jq}^{(i)}f_{i}ψ_{q} − ∑_{j=1}^{μ} P_{jq}^{(i)}df_{i} ∧ i_{E}(ψ_{q})].  (1.7.1)

Par consequence,

dω_{j} = ∑_{q=1}^{μ}[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}(d(p_{i}P_{jq}^{(i)}f_{i}) − w(ψ_{q})P_{jq}^{(i)}df_{i})] ∧ ψ_{q} + ∑_{q=1}^{μ}[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}P_{jq}^{(i)}f_{i}] ∧ dψ_{q}, (1.7.2)

où w(ψ_{q}), poids quasihomogène de forme ψ_{q}.

Si on compare l’expression (1.7.2) à (1.6.1), on obtient,

∑_{q=1}^{μ}[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}P_{jq}^{(i)}f_{i}]dψ_{q} = ∑_{i=1}^{k}[∑_{q=1}^{μ} A_{jq}^{(i)}df_{i}] ∧ ψ_{q},  (1.7.3)

avec A_{jq}^{(1)}, ⋯, A_{jq}^{(k)} ∈ C[f_{1}, ⋯, f_{k}] qui sont des polynômes calculables en partant des relations cidessus.

1.8 L’expression (1.7.2)se simplifie si l’on fait transition à la relation entre des intégrales ∫_{γ(s)} ψ_{q}, au lieu de celle entre des formes. On définit l’intégrale- fibre I_{ϕ_{q},γ} prise le long d’un cycle évanescent γ dont l’ambiguité dans la homologie H_{n}(X_{s}, C) ne sera precisée que ultérieurement (voir §4 Théorème 4.3),

I_{ϕ_{q},γ}(s) := ∫_{γ(s)} ψ_{q} = (\frac{1}{2πi})^{k} ∫_{∂γ(s)} \frac{df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k} ∧ ψ_{q}}{(f_{1} − s_{1}) ⋯ (f_{k} − s_{k})}

= (\frac{1}{2πi})^{k} ∫_{∂γ(s)} \frac{ϕ_{q}dx}{(f_{1} − s_{1}) ⋯ (f_{k} − s_{k})},  (1.8.1)

où ∂γ(s) est un cycle obtenu à l’aide de ∂, l’opérateur du cobord de Leray. Quant à l’opération de Leray, on renvoie au livre de F.Pham [19], ou bien à celui de V.A.Vasiliev [25].

1.9 De (1.7.1) on déduit

∫_{γ(s)} ω_{j} = ∑_{q=1}^{μ}[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P_{jq}^{(i)}(s)]I_{ϕ_{q}}(s).  (1.9.1)

Celui-ci est visible de la définition de l’intégrale- fibre (1.8.1),

∫_{γ(s)} df_{1} ∧ i_{E}(ψ_{j}) = (\frac{1}{2πi})^{k} ∫_{∂γ(s)} \frac{df_{1} ∧ ⋯ ∧ df_{k}}{(f_{1} − s_{1}) ⋯ (f_{k} − s_{k})} ∧ df_{1} ∧ i_{E}(ψ_{j}) = 0.

D’une façon analogue,

∫_{γ(s)} df_{i} ∧ i_{E}(ψ_{j}) = 0, 2 ≤ i ≤ k.

On fait comparaison entre la relation

d ∫_{γ(s)} ω_{j} = ℓ_{j} ∑_{q=1}^{μ}[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}P_{jq}^{(i)}(s)ds_{i}]I_{ϕ_{q},γ}(s),  (1.9.2)

obtenue de (1.6.1) et de la relation (1.9.1). En résultat nous obtenons les équations suivantes entre I_{ϕ_{q}}(s) et \frac{∂}{∂s_{ℓ}} I_{ϕ_{q}}, 1 ≤ ℓ ≤ k

∑_{q=1}^{μ}[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P_{jq}^{(i)}]\frac{∂}{∂s_{ℓ}} I_{ϕ_{q}} = ∑_{q=1}^{μ}((ℓ_{j} −p_{ℓ})P_{jq}^{(ℓ)} −p_{ℓ}s_{ℓ} \frac{∂}{∂s_{ℓ}} P_{jq}^{(ℓ)} +∑_{i≠ℓ} p_{i}s_{i} \frac{∂}{∂s_{ℓ}} P_{jq}^{(i)})I_{ϕ_{q}}, 1 ≤ j ≤ μ.

(1.9.3)

C’est un système des équations qui donnent la connexion (système) de Gauss-Manin.

1.10 Pour énoncer la proposition dans une forme plus simple, nous introduisons les notations suivantes: I_{F} = (∫_{γ(s)} ω_{1}, ⋯, ∫_{γ(s)} ω_{μ}), I_{Φ} = (I_{ϕ_{1}}(s), ⋯, I_{ϕ_{μ}}(s)). On introduit les μ × μ matrices définies comme suivantes,

L_{F} = diag(ℓ_{1}, ⋯, ℓ_{μ})

avec ℓ_{i} = w(ω_{i}), P^{(1)}(s) = (P_{jq}^{(1)}(s)), ⋯, P^{(k)}(s) = (P_{jq}^{(k)}(s)), 1 ≤ j, q ≤ μ.

Théorème 1.4 1. Pour l’application quasihomogène

f : X → S

aux singularités isolées d’intersection complète de dimension n, le système de Gauss-Manin pour I_{Φ} est décrit par les systèmes suivants:

d[∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P^{(i)}(s)I_{Φ}] = L_{F} [∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}P^{(i)}(s)ds_{i}]I_{Φ},  (1.10.1)

ou bien,

(∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P^{(i)}(s))\frac{∂}{∂s_{ℓ}} I_{Φ} = [L_{F} P^{(ℓ)}(s) − \frac{∂}{∂s_{ℓ}} (∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P^{(i)}(s))]I_{Φ},  (1.10.2)

1 ≤ ℓ ≤ k.

2. Le discriminant Δ(s) de déformation X_{s} est donné par

Δ(s) = det(∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P^{(i)}(s)).  (1.10.3)

Démonstration

1. Dans l’expression introduite, la démarche notée ci-dessus peut être interprétée comme suit. La relation (1.9.2) signifie

dI_{F} = L_{F} (∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}P^{(i)}(s)ds_{i})I_{Φ}.  (1.10.4)

Par contre la relation (1.7.1) veut dire

I_{F} = (∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P^{(i)}(s))I_{Φ}.  (1.10.5)

En prenant la dérivée de (1.10.5) et comparant celle-ci avec (1.10.3), on obtient la relation entre I_{Φ} et dI_{Φ} dont on peut déduire (1.10.1) et (1.10.2).

2. Il est établi par Greuel que le système de Gauss-Manin possède le pôle le long du discriminant de singularité. Par contre, il est claire que (1.10.1) et (1.10.2) s’écrivent comme les systèmes de Pfaff avec le pôle {s ∈ C^{k}; det(∑_{i=1}^{k}(−1)^{i−1}p_{i}s_{i}P^{(i)}(s)) = 0}. Q.E.D.

Il vaut remarquer ici que le système de Gauss-Manin est complètement déterminé par les matrices P^{(i)}(s), 1 ≤ i ≤ k introduites dans Proposition 1.2.

2 Liste des systèmes de Gauss-Manin pour les singularités isolées simples d’intersection complète de courbe espace

Dans cette section, on calcule comme les cas importants des singularités isolées simples d’intersection complète, le système de Gauss-Manin associé au courbe espace i.e. n = 1, k = 2, m = 3. La forme normale des singularités isolées simples d’intersection complète (SISIC) a été obtenue par M.Giusti [10]. Par la suite, on établit une liste des notions nécéssaires pour décrire le système de Gauss-Manin associé aux SISIC comme (1.10.1) et (1.10.2).

0. Polynômes f_{1} et f_{2},

1. Poids de variables, w_{1} := w(x_{1}), w_{2} := w(x_{2}), w_{3} := w(x_{3}), p_{1} := w(f_{1}), p_{2} := w(f_{2}),

2. Le module F,

3. Le module Φ,

4. Les matrices P^{(1)} et P^{(2)},

5. Discriminant Δ(s) pour la déformation X_{s}.

Pour la déscription de la matrice P^{(2)}(s) du 4. ci-dessus, on se sert d’une expression comme suit

P^{(2)}(s) = Q(s) × V × Σ,

où les matrices composantes sont de GL(μ, C[s]). Notamment, Q(s) : une matrice diagonale avec les éléments monomiaux en variables s_{1}, s_{2}, V = une matrice diagonale d’éléments rationels, Σ =

[ \begin{matrix}σ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & σ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 0 & σ_{m} \end{matrix} ] .

Ici on a noté par σ_{k} ∈ SL(ν_{k}, Z), 1 ≤ k ≤ m la matrice de permutation d’ordre ν_{k},

σ_{k} = [ \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 \end{matrix} ] ,

telle que σ_{k}^{ν_{k}} = id_{ν_{k}}. On verra, donc, les données Q(s), V et ν_{1}, ν_{2}, ⋯, ν_{m} t.q. ∑_{i=1}^{m} ν_{k} = μ en tant que celles de P^{(2)}(s). Dans les cas ci-dessous, les matrices P^{(1)} et P^{(2)} sont toutes les deux diagonalisables. On a choisi la numérotation de la base de Φ en sorte que P^{(1)} soit une matrice diagonale. Par la suite, nous notons tout simplement dx_{1}dx_{2}, dx_{2}dx_{3} etc. au lieu de dx_{1} ∧ dx_{2}, dx_{2} ∧ dx_{3} afin d’économiser les colonnes.

Le cas S_{2m+3}, m ≥ 1. 0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2m} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}x_{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = m, w(x_{2}) = m, w(x_{3}) = 1, p_{1} := w(f_{1}) = 2m, p_{2} := w(f_{2}) = m + 1.

2.

F = ω̃_{j} = \{x_{3}dx_{1}dx_{2}, \overbrace{x_{3}dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{3}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{3}^{2m−1}dx_{3}dx_{1}}^{m}, dx_{1}dx_{2},

\overbrace{dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{3}^{2m−2}dx_{3}dx_{1}}^{m}, dx_{2}dx_{3}\}.

3.

Φ = ϕ_{j} = \{\overbrace{1, x_{3}^{2}, ⋯, x_{3}^{2m}}^{m+1}, x_{2}, \overbrace{x_{3}, x_{3}^{3}, ⋯, x_{3}^{2m−1}}^{m}, x_{1}\}.

w(ϕ_{j}) = \{\overbrace{0, 2, ⋯, 2m}^{m+1}, m, \overbrace{1, 3, ⋯, 2m − 1}^{m}, m\}.

4. P^{(1)} = diag(s_{2}, \overbrace{1, 1, ⋯, 1}^{2m+1}, 0)

Q = diag(1, \overbrace{s_{2}, ⋯, s_{2}}^{m}, 1, 1 \overbrace{s_{2}, ⋯, s_{2}}^{m−1}, 1), ν_{1} = ν_{2} = m + 1, ν_{3} = 1.

V = diag(2m, \overbrace{2, ⋯, 2}^{m}, 2m, \overbrace{2, ⋯, 2}^{m+1})

5.

Δ(s) = s_{2}^{2}((\frac{−s_{1}}{m + 1})^{m+1} − (\frac{s_{2}^{2}}{m})^{m})^{2}.

Le cas S_{2m+4}, m ≥ 1 0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2m+1} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}x_{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 2m + 1, w(x_{2}) = 2m + 1, w(x_{3}) = 2, p_{1} := w(f_{1}) = 2(2m + 1), p_{2} := w(f_{2}) = 2m + 3. 2.

F = ω̃_{j} = \{x_{3}dx_{1}dx_{2}, \overbrace{x_{3}dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{3}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{3}^{2m−1}dx_{3}dx_{1}}^{m},

dx_{1}dx_{2}, \overbrace{dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{3}^{2m}dx_{3}dx_{1}}^{m+1}, dx_{2}dx_{3}\}.

3.

Φ = ϕ_{j} = \{\overbrace{1, x_{3}^{2}, ⋯, x_{3}^{2m}}^{m+1}, x_{2}, \overbrace{x_{3}, x_{3}^{3}, ⋯, x_{3}^{2m+1}}^{m+1}, x_{1}\}.

w(ϕ_{j}) = \{\overbrace{0, 4, ⋯, 4m}^{m+1}, 2m + 1, \overbrace{2, 6, ⋯, 2(2m + 1)}^{m+1}, 2m + 1\}.

4. P^{(1)} = diag(s_{2}, \overbrace{1, 1, ⋯, 1}^{2m+2}, 0)

Q = diag(1, \overbrace{s_{2}, ⋯, s_{2}}^{m}, 1, 1, \overbrace{s_{2}, ⋯, s_{2}}^{m}, 1), ν_{1} = 2m + 3, ν_{2} = 1.

V = diag(2m + 1, \overbrace{2, ⋯, 2}^{m}, 2m + 1, \overbrace{2, ⋯, 2}^{m+2}).

5.

Δ(s) = s_{2}^{2}((\frac{s_{1}}{2m + 3})^{2m+3} + (\frac{s_{2}^{2}}{2m + 1})^{2m+1}).

Le cas T_{7}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}^{3} + x_{3}^{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}x_{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 3, w(x_{2}) = 2, w(x_{3}) = 2, p_{1} := w(f_{1}) = 6, p_{2} := w(f_{2}) = 4.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, x_{2}dx_{1}dx_{2}, dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}}.

3.

Φ = ϕ_{j} = {1, x_{3}^{3}, x_{2}, x_{3}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}, x_{1}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 6, 2, 4, 4, 2, 3}.

4. P^{(1)} = diag(s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1, 0) Q = diag(s_{2}^{2}, 1, 1, s_{2}, 1, s_{2}, 1, s_{2}, 1), ν_{1} = ν_{2} = ν_{3} = 2, ν_{4} = 1. V = diag(3, 3, 3, 3, 3, 3, 2) 5.

Δ(s) = s_{2}^{2}(s_{1}^{2} − 4s_{2}^{3})^{3}.

Le cas T_{8}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}^{3} + x_{3}^{4} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}x_{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 6, w(x_{2}) = 4, w(x_{3}) = 3, p_{1} := w(f_{1}) = 12, p_{2} := w(f_{2}) = 7.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, x_{2}dx_{1}dx_{2}, dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}}.

3.

Φ = {1, x_{3}^{3}, x_{2}, x_{3}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}, x_{3}^{4}, x_{1}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 9, 4, 6, 8, 3, 12, 6}.

4.

P^{(1)} = diag(s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

Q = diag(1, s_{2}^{2}, 1, s_{2}, s_{2}, 1, s_{2}^{2}, 1), ν_{1} = 7, ν_{2} = 1. V = diag(4, 3, 4, 3, 4, 3, 3, 1) 5.

Δ(s) = s_{2}^{2}(3^{3}4^{4}s_{1}^{7} − 7^{7}s_{2}^{12}).

Le cas T_{9}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}^{3} + x_{3}^{5} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}x_{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 15, w(x_{2}) = 10, w(x_{3}) = 6, p_{1} := w(f_{1}) = 30, p_{2} := w(f_{2}) = 16.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1}, x_{2}dx_{1}dx_{2}, dx_{3}dx_{1},
x_{3}^{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{4}dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}}.

3.

Φ = {1, x_{3}^{3}, x_{2}^{2}, x_{3}, x_{3}^{4}, x_{2}, x_{3}^{2}, x_{3}^{5}, x_{1}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 18, 20, 6, 24, 10, 12, 30, 15}.

4.

P^{(1)} = diag(s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)

Q = diag(1, s_{2}^{2}, s_{2}, 1, s_{2}, 1, s_{2}, s_{2}^{2}, 1), ν_{1} = 8, ν_{2} = 1. V = diag(5, 3, 5, 3, 3, 5, 3, 3, 2) 5.

Δ(s) = s_{2}(5^{5}3^{3}s_{1}^{8} − 2^{24}s_{2}^{15}).

Le cas U_{7}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} + x_{3}^{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 4, w(x_{2}) = 5, w(x_{3}) = 3, p_{1} := w(f_{1}) = 8, p_{2} := w(f_{2}) = 9, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 12.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1} + x_{1}dx_{1}dx_{2},
x_{3}^{2}dx_{2}dx_{3} + x_{1}x_{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{3}dx_{1}}.

3.

Φ = {1, x_{1}x_{3}^{2}, x_{3}, x_{1}, x_{2}, x_{3}^{2}, x_{1}x_{3}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 10, 3, 4, 5, 6, 7}.

4.

P^{(1)} = diag(s_{1}, 1, s_{1}, 1, 1, 1, 1)

Q = diag(1, s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1), ν_{1} = 7. V = diag(3, \frac{1}{4}, 3, 1, 2, \frac{1}{3}, 1) 5.

Δ(s) = 2^{22}s_{1}^{9} − 3^{15}s_{2}^{8}.

Le cas U_{8}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3} + x_{3}^{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 3, w(x_{2}) = 4, w(x_{3}) = 2, p_{1} := w(f_{1}) = 6, p_{2} := w(f_{2}) = 7, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 9

2.

F = ω̃_{j} = \{x_{1}dx_{2}dx_{3}, x_{1}x_{3}dx_{3}dx_{1} − \frac{x_{1}}{3} dx_{1}dx_{2},

x_{1}x_{3}dx_{2}dx_{3}, dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}, x_{3}dx_{3}dx_{1} − \frac{1}{3}dx_{1}dx_{2}, x_{1}dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}\}.

3.

Φ = {1, x_{1}^{2}x_{3}, x_{3}, x_{1}, x_{2}, x_{1}x_{3}, x_{1}^{2}, x_{3}^{2}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 8, 2, 3, 4, 5, 6, 4}.

4.

P^{(1)} = diag(s_{2}, 1, s_{2}, 1, 1, 1, 1, 0)

Q = diag(1, s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1, 1), ν_{1} = 7, ν_{2} = 1. V = diag(2, \frac{−1}{3}, 2, 1, 2, \frac{−1}{3}, 1, 3) 5.

Δ(s) = s_{2}^{3}(2^{4}3^{9}s_{1}^{7} − 7^{7}s_{2}^{6}).

Le cas U_{9}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} + x_{3}^{4} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 5, w(x_{2}) = 7, w(x_{3}) = 3, p_{1} := w(f_{1}) = 10, p_{2} := w(f_{2}) = 12, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 12.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{3}dx_{3}dx_{1} + x_{1}dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1},
x_{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1}, x_{3}^{2}dx_{2}dx_{3} + x_{1}x_{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{3}dx_{1}, }.

3.

Φ = {1, x_{1}x_{3}^{3}, x_{3}^{2}, x_{1}x_{3}, x_{2}, x_{3}^{3}, x_{1}x_{3}^{2}, x_{3}, x_{1}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 14, 6, 8, 7, 9, 11, 3, 5}.

4.

P^{(1)} = diag(s_{1}, 1, s_{1}, 1, 1, 1, s_{1}, 1)

Q = diag(1, s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), ν_{1} = 4, ν_{2} = 5. V = diag(3, \frac{1}{5}, 3, 1, 8, \frac{1}{4}, 1, 3, 1) 5.

Δ(s) = (5^{5}s_{1}^{6} − 2^{4}3^{6}s_{2}^{5})^{2}.

Le cas W_{8}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{3}^{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 6, w(x_{2}) = 5, w(x_{3}) = 4, p_{1} := w(f_{1}) = 10, p_{2} := w(f_{2}) = 12, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 15.

2.

F = ω̃_{j} = {3x_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{2}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{1}dx_{2},
3x_{1}x_{3}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}^{2}dx_{1}dx_{2}, dx_{2}dx_{3}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{2}dx_{3}, dx_{3}dx_{1}, x_{3}dx_{3}dx_{1}}.

3.

Φ = {1, x_{1}x_{3}^{2}, x_{3}, x_{1}, x_{3}^{2}, x_{1}x_{3}, x_{2}, x_{2}x_{3}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 14, 4, 6, 8, 10, 5, 9}.

4.

P^{(1)} = diag(6s_{2}, 5, 6s_{2}, 1, 1, 2, 0, 0)

Q = diag(1, s_{2}, 1, 1, 1, 1, 1, 1), ν_{1} = 6, ν_{2} = ν_{3} = 1. V = diag(5, 1, 5, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1, 1, 2) 5.

Δ(s) = s_{2}^{4}(5^{5}s_{1}^{6} − 2^{2}3^{3}s_{2}^{5}).

Le cas W_{9}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}^{2} + x_{1}x_{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3}^{2} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 5, w(x_{2}) = 4, w(x_{3}) = 3, p_{1} := w(f_{1}) = 8, p_{2} := w(f_{2}) = 10, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 12.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{1}dx_{2}dx_{3} + x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{2}x_{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{1}dx_{2}, x_{1}x_{2}dx_{2}dx_{3} + x_{2}x_{3}dx_{1}dx_{2},
dx_{3}dx_{1}, x_{3}dx_{2}dx_{3}, 2x_{1}dx_{3}dx_{1} + x_{2}dx_{1}dx_{2}, dx_{2}dx_{3}, dx_{1}dx_{2}, x_{2}dx_{2}dx_{3}}.

3.

Φ = {1, x_{1}x_{2}x_{3}, x_{2}, x_{3}^{2}, x_{1}x_{3}, x_{3}, x_{1}, x_{2}x_{3}, x_{1}x_{2}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 12, 4, 6, 8, 3, 5, 7, 9}.

4.

P^{(1)} = diag(2s_{2}, 4, 2s_{2}, 1, 2, s_{1}, 2, 2, 2)

Q = diag(1, s_{2}, 1, ⋯, 1), ν_{1} = 5, ν_{2} = 4. V = diag(2, 1, 2, 2, 1, 5, 1, 1, 1) 5.

Δ(s) = s_{2}^{3}(2^{12}s_{1}^{5} − 5^{5}s_{2}^{4})^{2}.

Le cas Z_{9}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{3} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 3, w(x_{2}) = 3, w(x_{3}) = 2, p_{1} := w(f_{1}) = 6, p_{2} := w(f_{2}) = 6, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 8.

2.

F = ω̃_{j} = {x_{1}dx_{2}dx_{3}, x_{1}dx_{3}dx_{1}, dx_{2}dx_{3}, dx_{3}dx_{1}, x_{1}x_{3}dx_{2}dx_{3},
x_{1}x_{3}dx_{3}dx_{1}, x_{3}dx_{2}dx_{3}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}}.

3.

Φ = {1, x_{1}^{2}, x_{2}, x_{1}, x_{3}, x_{1}^{2}x_{3}, x_{2}x_{3}, x_{1}x_{3}, x_{3}^{2}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 6, 3, 3, 2, 8, 5, 5, 4}.

4.

P^{(1)} = diag(s_{2}, 1, 1, 1, s_{2}, 1, 1, 1, 0)

Q = diag(1, s_{2}, 1, 1, 1, s_{2}, 1, 1, 1), ν_{1} = ν_{2} = ν_{3} = ν_{4} = 2, ν_{5} = 1. V = diag(2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1) 5.

Δ(s) = s_{2}^{3}(s_{1}^{2} − 4s_{2}^{2})^{4}.

Le cas Z_{10}.

0.

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3}^{2} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}^{2} + x_{3}^{3} & = & 0 \end{matrix}

1.

w(x_{1}) = 7, w(x_{2}) = 6, w(x_{3}) = 4, p_{1} := w(f_{1}) = 14, p_{2} := w(f_{2}) = 12, w(dx_{1}dx_{2}dx_{3}) = 17.

2.

F = ω̃_{j} = {3x_{2}dx_{3}dx_{1} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{1}dx_{2}dx_{3} + x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}, dx_{3}dx_{1},

x_{1}x_{2}dx_{2}dx_{3} + x_{2}x_{3}dx_{1}dx_{2}, 3x_{2}x_{3}dx_{3}dx_{1} + 2x_{3}^{2}dx_{1}dx_{2}, 2x_{3}^{2}dx_{3}dx_{1} + x_{2}dx_{1}dx_{2}, dx_{2}dx_{3}, x_{3}dx_{2}dx_{3}}.

3.

Φ = {1, x_{3}^{3}, x_{2}x_{3}, x_{3}^{2}, x_{2}, x_{2}x_{3}^{3}, x_{3}, x_{2}x_{3}^{2}, x_{1}, x_{1}x_{3}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 12, 10, 8, 6, 18, 4, 14, 7, 11}.

4.

P^{(1)} = diag(6s_{2}, 3, 2, 3, 2, 3, 6s_{2}, 7, 0, 0)

Q = diag(1, s_{1}, 1, 1, 1, s_{1}, 1, s_{2}, 1, 1), ν_{1} = 8, ν_{2} = ν_{3} = 1. V = diag(7, 2, 1, 2, 1, 2, 7, 2, 1, 1) 5.

Δ(s) = s_{1}^{2}s_{2}^{4}(7^{7}s_{1}^{6} − 2^{8}3^{3}s_{2}^{7}).

3 Les spectres du système de Gauss-Manin

Pour les singularités simples SISIC, on peut discerner les informations topologiques sur la singularité à partir des systèmes (1.10.1) et (1.10.2). Nous formulons ce fait comme suivant. 3.1 Théorème 3.1 1. Le système de Gauss-Manin pour I_{Φ} associées aux singularités isolées simples d’intersection complète de courbe espace s’écrit comme suivant,

P^{′(1)}(s_{1})(s_{1}id_{μ} \frac{∂}{∂s_{1}} − \frac{1}{p_{1}} L_{Φ})I_{Φ} = \frac{p_{2}}{p_{1}} s_{2}P^{′(2)}(s_{2})\frac{∂}{∂s_{1}} I_{Φ},  (3.1.1)

où P^{′(1)}(s_{1}), une matrice diagonale, et P^{′(2)}(s_{2}), une matrice diagonalisable.

\frac{1}{p_{1}} L_{Φ} = diag\{λ_{1}, ⋯, λ_{μ}\}, λ_{j} = \frac{w(ψ_{j})}{p_{1}}.

D’une façon analogue:

P^{′(2)}(s_{2})(s_{2}id_{μ} \frac{∂}{∂s_{2}} − \frac{1}{p_{2}} L_{Φ})I_{Φ} = \frac{p_{1}}{p_{2}} s_{1}P^{′(1)}(s_{1})\frac{∂}{∂s_{2}} I_{Φ}.  (3.1.2)

2.(la symétrie des spectres). Si on range l’ensemble des rationnels {λ_{1}, ⋯, λ_{μ}} par l’ordre croissante c.à.d. {λ̃_{1}, ⋯, λ̃_{μ}} il existe certain σ ∈ S_{μ}, t.q. λ̃_{i} = λ_{σ(i)} en sorte que λ̃_{1} ≤ λ̃_{2} ≤ ⋯ ≤ λ̃_{μ}, alors il existe un nombre rationel λ̃_{0} tel que

λ̃_{0} − λ̃_{i} = λ̃_{μ−i} − λ̃_{0}, 1 ≤ i ≤ μ.

Définition Nous appelons les rationnels \{λ̃_{1}, ⋯, λ̃_{μ}\} ∈ \frac{1}{p_{1}} Z_{≥0} les spectres du système de Gauss-Manin (3.1.1). D’une façon analogue, \{\frac{p_{1}}{p_{2}} λ̃_{1}, ⋯, \frac{p_{1}}{p_{2}} λ̃_{μ}\} ∈ \frac{1}{p_{2}} Z_{≥0} les spectres du système (3.1.2).

Remarque 1 La propriété de symétrie des spectres de la structure de Hodge mixte a été démontrée par W.Ebeling et J.Steenbrink [9]. Les calculs concrèts ont été achevés par ce dernier pour les singularités isolées unimodales d’intersection complète [23].

3.2 Démonstration

1. D’abord on observe la possibilité d’étendre la connexion de Gauss-Manin sur un module plus grand que F. On se permet de regarder un module F′ = F [\frac{1}{f_{1}} , \frac{1}{f_{2}} ] au lieu de F, et choisir sa base ω̃_{i}′, (1 ≤ i ≤ μ) de telle sorte que la relation suivante analogue à (1.10.5) ait lieu pour I_{F′} = (∫_{γ(s)} i_{E}(ω̃′_{1}), ⋯, ∫_{γ(s)} i_{E}(ω̃′_{μ})),

I_{F′} = (p_{1}s_{1}P^{′(1)}(s_{1}) − p_{2}s_{2}P^{′(2)}(s_{2}))I_{Φ}.  (3.2.1)

Pour voir cela, on définit les formes ω̃_{i}′, comme suivant:

ω̃_{i}′ = _{\frac{ω̃_{i}}{f_{1}^{η_{i}} f_{2}^{δ_{i}}}} si \frac{P_{i,i}^{(1)}(s)}{s_{1}^{η_{i}} s_{2}^{δ_{i}}} ∈ C[s_{1}, s_{1}^{−1}], et \frac{P_{i,j}^{′(2)}(s)}{s_{1}^{η_{i}} s_{2}^{δ_{i}}} ∈ C[s_{2}, s_{2}^{−1}], η_{i}, δ_{i} = 0, 1, 2, · · · .

Nous nous serverons de notations

P^{′(1)}(s_{1}) = diag(s_{1}^{−η_{1}}s_{2}^{−δ_{1}}, ⋯, s_{1}^{−η_{μ}}s_{2}^{−δ_{μ}}) × P^{(1)}(s_{1}, s_{2}),
P^{′(2)}(s_{2}) = diag(s_{1}^{−η_{1}}s_{2}^{−δ_{1}}, ⋯, s_{1}^{−η_{μ}}s_{2}^{−δ_{μ}}) × P^{(2)}(s_{1}, s_{2}).

Cette opération est faisable pour toutes les P^{(1)}, P^{(2)} calculées dans §2. En bref, on arrive à l’expression (3.2.1), si on multiplie la matrice diag(s_{1}^{−η_{1}}s_{2}^{−δ_{1}}, ⋯, s_{1}^{−η_{μ}}s_{2}^{−δ_{μ}}) du côté gauche à (1.10.5). On obtient par une manière analogue à (1.6.1),

\frac{∂}{∂s_{1}} I_{F′} = L_{F′}P^{′(1)}(s_{1})I_{Φ},  (3.2.2)

où L_{F′} = diag(ℓ′_{1}, ⋯, ℓ′_{μ}). D’autre part, ayant différentié l’expression (3.2.1), on obtient,

\frac{∂}{∂s_{1}} ∫_{γ(s)} i_{E}(ω̃_{i}′) = ∑_{j=1}^{μ}(p_{1}P_{ij}^{′(1)} + p_{1}s_{1} \frac{∂}{∂s_{1}} P_{ij}^{′(1)})I_{ϕ_{j}} + ∑_{j=1}^{μ}(p_{1}s_{1}P_{ij}^{′(1)}(s_{1}) − p_{2}s_{2}P_{ij}^{′(2)}(s_{2}))\frac{∂}{∂s_{1}} I_{ϕ_{j}},

c’est à dire,

\frac{∂}{∂s_{1}} I_{F′} = (p_{1}P^{′(1)}(s_{1}) + p_{1}s_{1} \frac{∂}{∂s_{1}} P^{′(1)})I_{Φ} + (p_{1}s_{1}P^{′(1)}(s_{1}) − p_{2}s_{2}P^{′(2)}(s_{2}))\frac{∂}{∂s_{1}} I_{Φ},  (3.2.3)

En suite, on remarque que la relation suivante

ω̃′_{i} = ∑_{1≤i,j≤μ} P_{ij}^{′(1)} ∧ df_{1}(\frac{ϕ_{j}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}}{df_{1} ∧ df_{2}} ) − ∑_{1≤i,j≤μ} P_{ij}^{′(2)} ∧ df_{2}(\frac{ϕ_{j}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}}{df_{1} ∧ df_{2}} )

signifie la relation entre les éléments de matrices L_{Φ}, L_{F′} et P^{′(1)}

L_{F′,i} = \frac{E_{∗}(P_{ij}^{′(1)})}{P_{ij}^{′(1)}} + p_{1} + L_{Φ,j} = \frac{E_{∗}(P_{ij}^{′(2)})}{P_{ij}^{′(2)}} + p_{2} + L_{Φ,j},

ici E_{∗} = p_{1}s_{1} \frac{∂}{∂s_{1}} + p_{2}s_{2} \frac{∂}{∂s_{2}} , le champs d’Euler sur S. Ce dernièr entraîne

∑_{j=1}^{μ}(−L_{F′,i} + p_{1} + L_{Φ,j})P_{ij}^{′(ℓ)} + E_{∗}(P_{ij}^{′(ℓ)}) = 0, ℓ = 1, 2.

Autrement dit,

P^{′(1)}(L_{Φ} − L_{F′} + p_{1} • id_{μ}) + E_{∗}(P^{′(1)}) = 0  (3.2.4)
P^{′(2)}(L_{Φ} − L_{F′} + p_{2} • id_{μ}) + E_{∗}(P^{′(2)}) = 0  (3.2.5)

En somme, (3.2.2), (3.2.3), et (3.2.4) nous mènent à conclure (3.1.1). La démonstration de (3.1.2) est parallèlle à celle de (3.1.1), en tenant compte de (3.2.5).

2. Nous introduisons ici la notation |w| := w_{1} + w_{2} + w_{3} et |p| = p_{1} + p_{2}. Puisque λ_{j} = \frac{1}{p_{1}} (w(ϕ_{j}) + |p| − |w|), il suffit de démontrer la symétrie entre les poids des éléments du module Φ. On peut déduire de [3], [2], 3.4 que la série de Poincaré P_{Φ}(t) du module Φ s’écrit comme suivant:

P_{Φ}(t) = t^{|p|−|w|} + (1 − t^{|p|−|w|})\frac{(1 − t^{p_{1}})(1 − t^{p_{2}})}{(1 − t^{w_{1}})(1 − t^{w_{2}})(1 − t^{w_{3}})}.  (3.2.6)

Il est facile à voir que le polynôme P_{Φ}(t) a coefficients symétriquement posé avec le centre t^{|p|−|w|}. Q.E.D. Theor.

4 L’expression explicite de la transformée de Mellin de l’intégrale -fibre

Dans cette section, nous essayons d’établir une expression explicite de la transformée de Mellin de l’intégrale - fibre au moyen des invariants topologiques de singularités. 4.1. L’EDF et ses solutions explicites D’abord on établit les équations de différences finies (EDF) pour la transformée de Mellin M_{ϕ_{j}}(z_{1}, z_{2}) de I_{ϕ_{j}}(s_{1}, s_{2}) :

M_{j}(z_{1}, z_{2}) = ∫_{γ} I_{j}(s_{1}, s_{2})(−s_{1})^{−z_{1}}(−s_{2})^{−z_{2}}ds_{1}ds_{2}

pour certain γ qui évite les pôles de I_{j}(s_{1}, s_{2}) (on va utiliser la notation M_{j}(z) et I_{j}(s) au lieu de M_{ϕ_{j}}(z_{1}, z_{2}), I_{ϕ_{j}}(s_{1}, s_{2}) pour alléger l’écriture). Il est évident que l’intégrale M_{j}(z_{1}, z_{2}) est bien définie pour ℜz_{1}, ℜz_{2} >> 0, |ℑz_{1}|, |ℑz_{2}| >> 0 en vue des singularités régulières à tous ses points singulières y compris l’infini de l’équation différentielle satisfaite par les intégrales I_{j}(s_{1}, s_{2}) (voir Théorème 3.1 ). Cette démarche est bien formulée dans [16] §1, sous le terme de “transformation de Mellin algébrique”. On applique la transformation de Mellin à la relation (3.1.1). Alors l’EDF entre M_{j}(z_{1}, z_{2}) s’en émergent . En terme des η_{k}, δ_{k} définis dans §3, 3.2 et ν_{k} introduit dans §2, elles s’expriment comme suivant:

(z_{1} + η_{k} + λ_{k} + 1)M_{k}(z_{1} + η_{k}, z_{2}) = v_{k}z_{1}M_{[k−1]}(z_{1} − 1, z_{2} + 1 + δ_{k}),  (4.1.1)

où ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m} ≤ k ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1}, et [k − 1] = k − 1 si ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m} < k ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1}, et [k − 1] = ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m+1} si k = ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m}.

L’équation (4.1.1) se déduit du fait que l’intégrale I_{k}(s_{1}, s_{2}), s’attache à l’autre intégrale I_{k′}(s_{1}, s_{2}), par une relation non-triviale si et seulement si ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m} ≤ k, k′ ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1}, i.e. ssi elles sont toutes les deux d’un bloc de taille ν_{m}. On va représenter par le signe ∗ l’une des singularités simples d’intersection complète de courbe espace i.e. ∗ = S_{μ}, U_{μ}, T_{μ}, W_{μ}, Z_{μ} (μ ≥ 5). Pour chaque singularité ∗, on désigne par d_{j} la coordonnée du point d’intersection du diagramme de Newton du facteur irréductible du discriminant Δ(s) avec l’axe z_{j}, j = 1, 2. Par récurrence, on obtient de (4.1.1), une EDF pour M_{k}(z_{1}, z_{2}). Quant aux cas S_{μ}, nous renvoyons à [4]. Lemme 4.1 Soit ∗ une des singularités de la liste de Giusti (i.e. SISIC courbe espace). Alors pour chaque singularité ∗, la transformée de Mellin M_{k}(z_{1}, z_{2}) de l’intégrale -fibre I_{k}(s_{1}, s_{2}) avec ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m} ≤ k ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1}, satisfait à l’EDF suivante:

M_{k}(z_{1} + d_{1}, z_{2} − d_{2}) = V_{m} ∏_{j=k}^{ν_{1}+···+ν_{m+1}} \frac{1}{L(∗, k, j; z_{1})}×

× ∏_{j=ν_{1}+···+ν_{m}}^{k−1} \frac{1}{L̃(∗, k, j; z_{1})} × ∏_{j=1}^{ν_{m+1}}(z_{1} + j)M_{k}(z_{1}, z_{2}),  (4.1.2)

où V_{m} = ∏_{j=ν_{1}+ν_{2}+···+ν_{m}}^{ν_{1}+ν_{2}+···+ν_{m}+ν_{m+1}} v_{j}, produit des éléments de la matrice diagonale V = diag(v_{1}, ⋯, v_{μ}) de la liste de §2.

L(∗, k, j; z_{1}) = z_{1} + λ_{j} + (j − k) + δ_{k,j}d_{1}, k ≤ j ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1},
L̃(∗, k, j; z_{1}) = z_{1} + λ_{j} + (j − k) + ν + 1, ν_{1} + ⋯ + ν_{m} ≤ j ≤ k − 1,

avec δ_{k,j}, delta de Kronecker. Les données λ_{j}, d_{1}, d_{2} sont classées pour chaque singularité ∗ dans la liste de §2.

Pour résoudre l’équation (4.1.2), on prépare un lemme.

Lemme 4.2 L’équation de différences finies

M(z + α) = c • ∏_{j=1}^{ν} \frac{(z + β_{j})}{(z + γ_{j})}M(z)

admet une solution comme suit:

M(z) = c^{\frac{z}{α}} • ∏_{j=1}^{ν} \frac{Γ(−\frac{z}{α} − \frac{γ_{j}}{α})Γ(−\frac{β_{j}}{α})}{Γ(−\frac{z}{α} − \frac{β_{j}}{α})Γ(−\frac{γ_{j}}{α})}g(z),

avec une fonction périodique g(z) = g(z + α).

A l’aide du lemme 4.2, on obtient une expression explicite de M_{k}(z). Avant de formuler le théorème, introduisons la notation M_{ϕ_{k},γ_{q}}(z), 1 ≤ k, q ≤ μ qui correspond à la transformée de Mellin de l’intégrale I_{ϕ_{k},γ_{q}}(s_{1}, s_{2}) prise le long d’un cycle évanescent γ_{q} que l’on n’a pas precisé dans (1.8.1):

I_{ϕ_{k},γ_{q}}(s_{1}, s_{2}) = (\frac{1}{2πi})^{2} ∫_{∂γ_{q}(s)} \frac{ϕ_{k}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}}{(f_{1} − s_{1})(f_{2} − s_{2})} .

Et

M_{ϕ_{k},γ_{q}}(z_{1}, z_{2}) = ∫_{γ} I_{ϕ_{k},γ_{q}}(s_{1}, s_{2})(−s_{1})^{−z_{1}}(−s_{2})^{−z_{2}}ds_{1}ds_{2}

pour certain γ qui évite les pôles de I_{ϕ_{k},γ_{q}}(s).

Théorème 4.3 Dans la situation décrite ci-dessus, pour ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m} ≤ k ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1}, on a expression suivante:

M_{ϕ_{k},γ_{q}}(z) = Vm^{\frac{z_{1}}{d_{1}}} × ∏_{j=k}^{ν_{1}+···+ν_{μ+1}} Γ(−\frac{1}{d_{1}} L(∗, k, j,; z_{1}))

× ∏_{j=ν_{1}+···+ν_{μ}}^{k−1} Γ(−\frac{1}{d_{1}} L̃(∗, k, j,; z_{1})) × ∏_{j=1}^{ν_{m+1}} Γ(−\frac{1}{d_{1}} (z_{1} + j))^{−1} × (\frac{z_{2} − ζ_{q}}{d_{2}} + \frac{z_{1}}{d_{1}} )^{−1}g(z_{1}), (4.1.3)

avec ζ_{q} ≥ 0, 1 ≤ q ≤ μ, et ζ_{1} = 0. Ici g(z_{1}) est une fonction périodique telle que g(z_{1}) = g(z_{1} + d_{1}).

Démonstration Il suffit d’appliquer lemme 4.2 à (4.1.2). Quant à ζ_{q}, ils sont déterminés par l’équation determinante pour les exposants caracteristiques à s = 0 du système (1.10.1), (1.10.2) (la méthode de Frobenius) [5]. Il est facile à voir que la série des exposants cractéristiques ζ_{q} contient une série des entiers ζ_{q} = 0, 1, 2, · · · . Q.E.D. Nous notons par supp(M_{ϕ_{k},γ_{q}})(z_{1}, z_{2}) les points de \frac{1}{d_{2}} Q_{z_{1}} × \frac{1}{d_{1}} Q_{z_{2}} qui se representent les points de croisements des droites polaires

\frac{1}{d_{1}} L(∗, k, j,; z_{1}), \frac{1}{d_{1}} L̃(∗, k, j,; z_{1}), d_{1}z_{2} + d_{2}z_{1} ∈ Z_{≥0}.

En liaison avec Thórème 3.1, nous remarquons que

\frac{d_{2}}{d_{1}} = \frac{p_{1}}{p_{2}} .

C’est les points de suppM_{ϕ_{k},γ_{q}}(z_{1}, z_{2}) qui vont éssentiellement contribuer à la transformation inverse de Mellin de M_{ϕ_{k},γ_{q}}(z_{1}, z_{2}) qui nous permet de récupérer I_{ϕ_{k},γ_{q}}(s_{1}, s_{2}). On discerne la propriété suivante de cet ensemble, si on fait attention à l’inégalité ν_{j} ≤ d_{1}, j = 1, 2, ...

Corollaire 4.4 Pour un cycle évanescent quelconque γ, l’ensemble supp(M_{ϕ_{k},γ})(z_{1}, z_{2}) consiste des points de la forme

(λ_{i} + a, \frac{d_{2}}{d_{1}} (λ_{i} + b)), 1 ≤ i ≤ μ, (a, b) ∈ Z_{≥0}^{2}

qui sont contenus dans un cône Γ_{k}

Γ_{k} = \{(z_{1}, z_{2}) ∈ C^{2}; z_{1} ≥ −λ_{k} − d_{1}, \frac{z_{1}}{d_{1}} + \frac{z_{2}}{d_{2}} ≥ 0\}

avec le sommet (−λ_{k} − d_{1}, \frac{d_{2}}{d_{1}} (λ_{k} + d_{1})).

Si on regarde plus précisement la projection proj_{z_{1}}(M_{ϕ_{1},γ}(z_{1}, z_{2})) sur z_{1}−axe de supp(M_{ϕ_{k},γ})(z_{1}, z_{2}), les suites suivantes s’obtiennent:

proj_{z_{1}}(M_{ϕ_{1},γ}(z_{1}, z_{2})) = {−λ_{1} − d_{1}, −λ_{2} − 1, −λ_{3} − 2, ⋯, 1 − ν_{1} − λ_{ν_{1}}} + d_{1}Z_{≥0},
proj_{z_{1}}(M_{ϕ_{2},γ}(z_{1}, z_{2})) = {−λ_{2} − d_{1}, −λ_{3} − 1, −λ_{4} − 2, ⋯, 1 − ν_{1} − λ_{1}} + d_{1}Z_{≥0}.

⋮

proj_{z_{1}}(M_{ϕ_{k},γ}(z_{1}, z_{2})) = {−λ_{k} − d_{1}, −λ_{k+1} − 1, −λ_{k+2} − 2, ⋯, 1 − ν_{m} − λ_{[k−1]}} + d_{1}Z_{≥0},

pour k t.q. ν_{1} + ν_{2} + ⋯ + ν_{m} ≤ k ≤ ν_{1} + ⋯ + ν_{m+1}. La notation [k − 1] est la reprise de celle au début de la section.

Remarque 2 Il est propice d’évoquer ici le travail [24] de A.N.Varchenko qui a défini, dans le cas des singularités isolées d’hypersurface associées au germe f : (C_{x}^{n}, 0) → (C, 0), le poids d’une forme holomorphe ω de la façon suivante:

α(ω) = inf\{α ∈ Q; \frac{1}{t^{α}} (∫_{γ(t)} \frac{ω}{df}) → 0 lorsque t → 0\}

= min{α ∈ Q; il existe tel 0 ≤ k ≤ n − 1 que A_{k,α} ≠ 0

du développement asymptotique ∫_{γ(t)} \frac{ω}{df} ∼ ∑_{λ∈Λ} ∑_{α∈L(λ)} ∑_{0≤k≤n−1} A_{k,α}t^{α}(log t)^{k}\},

où γ(t), un cycle evanescent lorsque t → 0, L(λ) = {β > −1; exp(−2πiβ) = λ}, Λ = { les valeurs propres λ de la monodromie de Picard-Lefschetz de la singularité f(x) = 0 }. Il est facile à voir que dans notre situation le bord du cône Γ_{k} introduit dans Corollaire 4.4 correspond à α(ω) de Varchenko. A juste titre, on pourrait donner une autre définition des spectres du système de Gauss-Manin au lieu de celle de §3. Définition Les spectres du sytème (3.1.1) consistent des données suivantes: la partie de l’ensemble des droites \{z_{1} = −λ_{k} − d_{1}, z_{2} = \frac{d_{2}}{d_{1}} (λ_{k} + d_{1}), d_{1}z_{2} + d_{2}z_{1} = 0\} contenue dans le bord de Γ_{k}.

Remarque 3 Il vaut remarquer que les reseaux de l’ensemble supp(M_{ϕ_{k},γ})(z_{1}, z_{2}) donnent naissance, à quelques details près, à la bonne κ-filtration (κ =2) introduite par C.Sabbah [20], [21]. Donc il suffit d’appliquer sa Proposition 1.2. de [21] à cette bonne filtration, pour voir l’existence de l’ensemble L_{1} de formes linéaires et d’un polynôme à une variable b_{L,1} tels que

[ ∏_{L∈L_{1}} b_{L,1}(L(s))]f_{1}^{s_{1}}f_{2}^{s_{2}} = P_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}; \frac{∂}{∂x_{1}} , \frac{∂}{∂x_{2}} , \frac{∂}{∂x_{3}} , s_{1}, s_{2})f_{1}^{s_{1}+1}f_{2}^{s_{2}},

pour les polynômes f_{1}, f_{2} traités dans cet article. Ici nous avons comme l’ensemble L_{1}, L_{1} = {s_{1} + λ_{k} + d_{1} − α, d_{1}s_{2} + d_{2}s_{1} − γ}, avec certains α, γ ∈ Z_{≥0}, et λ_{1}, ⋯, λ_{μ} les spectres du système de Gauss-Manin. Il est naturel de considérer le polynôme ∏_{L∈L_{1}} b_{L,1}(L(s)) ci-dessus comme une b−fonction en 2-variables. Quant à l’EDF correspondant aux décalages en s_{2}, elle s’obtient d’une façon analogue en partant du système (3.1.2).

[ ∏_{L∈L_{2}} b_{L,2}(L(s))]f_{1}^{s_{1}}f_{2}^{s_{2}} = P_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}; \frac{∂}{∂x_{1}} , \frac{∂}{∂x_{2}} , \frac{∂}{∂x_{3}} , s_{1}, s_{2})f_{1}^{s_{1}}f_{2}^{s_{2}+1},

où L_{2} = \{s_{2} − \frac{d_{2}}{d_{1}} λ_{k} − β, d_{1}s_{2} + d_{2}s_{1} − γ\}, avec certainsβ, γ ∈ Z_{≥0}. Les notations reprises celles de L_{1}.

4.2. L’intégrale- fibre en tant qu’une fonction hypergeometrique généralisée D’ailleurs il serait utile de voir le résultat du Théorème 4.3 en liaison avec la notion des fonctions hypergeometriques généralisées au sens de Mellin-Barnes-Pincherle [5], [18]. Par cette formulation FHG de Gauss s’exprime par l’intégrale,

\frac{1}{2πi} ∫_{z_{0}−i∞}^{z_{0}+i∞}(−s)^{z} \frac{Γ(z + α)Γ(z + β)Γ(−z)}{Γ(z + γ)}dz, −ℜα, −ℜβ < z_{0}.

Pour assurer la convergence de la transformée de Mellin inverse de M_{ϕ_{k},γ}(z) de (4.1.3):

∫_{Π}(−s_{1})^{z_{1}}(−s_{2})^{z_{2}}M_{ϕ_{k},γ}(z)dz_{1}dz_{2},  (4.2.1)

on vérifie que l’EDF (4.1.2) admet la solution M_{ϕ_{k}}(z) telle que pour certain ϵ > 0,

| M_{ϕ_{k}}(z) |< C_{k}exp(−ϵ | Im z |) lorsque Im z → ∞, dans un secteur d’ouverture < 2π.

Pour voir l’existence d’une solution d’EDF avec la décroissance exponentielle, on parcourt à une astuce selon Nörlund [18]. Son technique consiste en choix du facteur g(z_{1}) de (4.1.3) qui doit être une fonction rationelle avec le périod d_{1}. Si on note z = −\frac{z_{1}}{d_{1}} , notre analyse de (4.2.1) est reduite à l’étude de l’intégrale

∫_{z_{0}−i∞}^{z_{0}+i∞}(−s)^{z}g(z) ∏_{j=1}^{ν} \frac{Γ(z + α_{j})}{Γ(z + ρ_{j})}dz.  (4.2.2)

Lemme 4.5 Si on choit une des fonctions suivantes g^{+}(z) (resp. g^{−}(z)) en tant que g(z), alors l’intégrand de (4.2.2) est de décroissance exponentielle lorsque Im z tend vers ∞ dans le secteur 0 ≤ arg z < 2π, (resp. −π ≤ arg z < π.)

g^{±}(z) = 1 + e^{±2πiβ_{ν}} ∏_{j=1}^{ν} \frac{sin2π(z + α_{j})}{sin2π(z + ρ_{j})},

avec β_{ν} = −1 + ∑_{j=1}^{ν}(ρ_{j} − α_{j})

Démonstration Il suffit de se rappeler

∏_{j=1}^{ν} \frac{Γ(x + iy + α_{j})}{Γ(x + iy + ρ_{j})} → const. | y |^{−(β_{ν}+1)}

lorsque y → ±∞. Ici, on se sert de la formule de Binet:

logΓ(z + a) = log Γ(z) + a log z − \frac{a − a^{2}}{2z} + O(| z |^{−2})

si | z |>> 1, (Whittaker-Watson, Chapter XII, Example 44). Le facteur | s^{−(x+iy)} |= r^{−x}e^{θy}, pour s = re^{iθ} donne la contribution exponentiellement décroissante dans chaque occasion. Q.E.D. Ainsi on a démontré la convergence de l’expression (4.2.1) pour certain Π qui est obtenu comme un produit du chemin d’intégration dans C_{z_{1}} et celui dans C_{z_{2}}.

Proposition 4.6 L’intǵrale- fibre I_{ϕ_{k},γ_{q}}(z) des SISIC prise le long d’un cycle évanescent γ_{q} est une fonction hypergeometrique generalisée au sens de Mellin-Barnes-Pincherle définie par l’expression suivante

∫_{Π}(−s_{1})^{z_{1}}(−s_{2})^{z_{2}}M_{ϕ_{k},γ_{q}}(z)dz_{1}dz_{2},

pour M_{ϕ_{k},γ_{q}}(z) de (4.1.3) avec g(z_{1}) = g^{+}(−\frac{z_{1}}{d_{1}} ) introduit dans Lemme 4.5

5 Des cas unimodaux et des autres cas accessibles

Malgré le caractère restrictif de calculs faits dans les sections précedentes, nos démarches s’appliquent aux autres cas qui contiennent des séries infinies. 5.1. Le cas non-résonant. On regarde l’application quasihomogène suivante,

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{q_{1}} + x_{2}^{q_{2}} + x_{3}^{q_{3}} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} & = & 0 \end{matrix}
(5.1.1)

où on impose la condition que les poids w_{i} et w_{j} ( 1 ≤ i, j ≤ 3) soient premiers entre eux. Nous l’appelons le cas non-résonant. Selon la notation de §2, p_{1} = q_{1}w_{1} = q_{2}w_{2} = q_{3}w_{3}, p_{2} = w_{1} + w_{2}. Pour voir l’analogie de cas (5.1.1) avec les cas de singularités isolées simples de courbe espace, on établit l’enoncé suivant: Lemme 5.1 Pour (f_{1}, f_{2}) de (5.1.1) sous l’hypothèse sur les poids w_{1}, w_{2}, w_{3} comme ci-dessus, les matrices P^{(1)}, P^{(2)} définies dans Proposition 1.2 sont diagonalisables. Plus précisement, pour chaque 1 ≤ j ≤ μ, il existe au plus unique j_{1} et j_{2} t.q.

ω̃_{j} ∧ df_{2} = P_{jj_{2}}^{(1)}ϕ_{j_{2}}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}  (5.1.2)
ω̃_{j} ∧ df_{1} = P_{jj_{1}}^{(2)}ϕ_{j_{1}}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}  (5.1.3)

avec P_{jj_{2}}^{(1)} ≠ 0, P_{jj_{1}}^{(2)} ≠ 0.

Démonstration Nous faisons comparaison entre les poids des termes. On démontre le cas (5.1.2), puisque le cas (5.1.3) est démontré d’une pareille manière. S’il existe un autre terme à part de ϕ_{j_{2}} (disons ϕ_{j′_{2}} ),qui participe à la décomposition (5.1.2), leurs poids satisfont aux relations suivantes.

ℓ_{j} + p_{2} = w(P_{jj_{2}}^{(1)}) + w(ϕ_{j_{2}}) + w_{1} + w_{2} + w_{3}
= w(P_{jj′_{2}}^{(1)}) + w(ϕ_{j′_{2}}) + w_{1} + w_{2} + w_{3}.  (5.1.4)

A remarquer que w(P_{jj_{2}}^{(1)}), w(P_{jj′_{2}}^{(1)}) ∈ p_{1}Z_{≥0} + p_{2}Z_{≥0}. Donc la différence des poids de deux formes w(ϕ_{j_{2}}) et w(ϕ_{j′_{2}}) doit appartenir au reseau des entiers p_{1}Z + p_{2}Z. Maintenant on se souvient de la formule de la série de Poincaré du module Φ, (3.2.6). Pour le cas (5.1.1), elle devient,

P_{Φ}(t) =

= t^{(q_{3}−1)w_{3}} + (1 + t^{w_{3}} + ⋯ + t^{(q_{3}−2)w_{3}})(1 + t^{w_{2}} + ⋯ + t^{q_{2}w_{2}} + 1 + t^{w_{1}} + ⋯ + t^{(q_{1}−1)w_{1}}). (5.1.5)

De la formule (5.1.5), il est facile à voir que

w(ϕ_{j_{2}}) − w(ϕ_{j′_{2}}) ∉ p_{1}Z_{≥0} + p_{2}Z_{>0} = q_{i}w_{i}Z_{≥0} + (w_{1} + w_{2})Z_{>0}. Cela veut dire que \frac{P_{jj_{2}}^{(1)}}{P_{jj′_{2}}^{(1)}} ∉ s_{2}C[s] si

non P_{jj′_{2}}^{(1)} = 0. Autrement dit, si on trouve deux indices j_{2}, j′_{2} pour lesquelles (5.1.4) tiennent, alors elles sont forcément de la forme

w(ϕ_{j_{2}}) = kw_{3} + p_{1}, w(ϕ_{j′_{2}}) = kw_{3}, 0 ≤ k ≤ q_{3} − 1,

en vue de (5.1.5). Cette relation entraine que P_{jj_{2}}^{(1)} = cf_{1}P_{jj′_{2}}^{(1)} pour certain constant c.

ω̃_{j} ∧ df_{2} = (P_{jj′_{2}}^{(1)}ϕ_{j′_{2}} + P_{jj_{2}}^{(1)}ϕ_{j_{2}})dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}
= P_{jj′_{2}}^{(1)}(ϕ_{j′_{2}} + cf_{1}ϕ_{j_{2}})dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}.  (5.1.6)

Il vaut remarquer ici que le terme gauche est un monôme pour les singularités définies par (5.1.1), par contre le terme droit doit être essentiellement polynomial si non c = 0. Donc il faut qu’un seul terme P_{jj′_{2}}^{(1)}ϕ_{j′_{2}} prenne part à la décomposition (5.1.6). Cela achève la démonstration de la validité de (5.1.2).Q.E.D. Lemm. A remarquer ici que la condition de non-résonance a été essentiellement utilisée pour que le terme gauche de (5.1.6) soit monomial.

5. 2. La liste de Wall et d’Aleksandrov Pour les singularités d’intersection complète pas nécessairement simples, les résultats analogues aux Théorèmes 3.1, 4.3 et 4.4 tiennent. Notamment la série des singularités unimodales de la liste de Wall [26]: P_{k,ℓ}, k ≥ ℓ ≥ 2, μ = k + ℓ + 1,

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{k} + x_{2}^{ℓ} + x_{3}^{2} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} & = & 0 \end{matrix}

G_{2m+6}, m ≥ 3

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3}^{m} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}^{2} + x_{3}^{3} & = & 0 \end{matrix}

G_{2m+3}, m ≥ 3

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{3}^{m} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{2}^{2} + x_{3}^{3} & = & 0 \end{matrix}

On discerne la structure du module Φ analogue à celle de cas S_{μ}, T_{μ} ( pour P_{k,ℓ}) et de cas Z_{10} (G_{2m+3} et G_{2m+6}). C’est à dire:

P_{k,ℓ}

F = ω̃_{j} = {dx_{1}dx_{2}, 2ℓx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2kx_{2}dx_{3}dx_{1} + kℓx_{3}dx_{1}dx_{2},

\overbrace{dx_{2}dx_{3}, x_{2}dx_{2}dx_{3}, ⋯, x_{3}^{ℓ−2}dx_{2}dx_{3}}^{ℓ−1}, \overbrace{dx_{3}dx_{1}, x_{1}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{1}^{k−1}dx_{3}dx_{1}}^{k}\}.

w_{1} = 2ℓ, w_{2} = 2k, w_{3} = kℓ, p_{1} = 2kℓ, p_{2} = 2(k + ℓ)w.
Φ = {1, x_{1}, ⋯, x_{1}^{k−1}, x_{2}, ⋯, x_{2}^{ℓ}, x_{3}}.
w(ϕ_{j}) = {0, 2ℓ, ⋯, 2(k − 1)ℓ, 2k, ⋯, 2kℓ, kℓ}.

G_{2m+6}

F = ω̃_{j} = {dx_{2}dx_{3}, x_{3}dx_{2}dx_{3}, dx_{3}dx_{1}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{3}dx_{1},

\overbrace{3x_{2}dx_{3}dx_{1} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}(3x_{2}dx_{3}dx_{1} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}), ⋯, x_{3}^{m−2}(3x_{2}dx_{3}dx_{1} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2})}^{m−1},

\overbrace{x_{2}(mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}), x_{2}x_{3}(mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}), ⋯, x_{2}x_{3}^{m−2}(mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2})}^{m−1},

mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}(mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}), mx_{3}^{2}dx_{3}dx_{1} + x_{2}dx_{1}dx_{2}}.
w_{1} = 2m + 3, w_{2} = 6, w_{3} = 4, p_{1} = 2(2m + 3), p_{2} = 12.
Φ = {1, x_{3}, x_{3}^{2}, ⋯, x_{3}^{m+1}, x_{2}, x_{2}x_{3} ⋯, x_{2}x_{3}^{m+1}, x_{1}, x_{1}x_{3}}.
w(ϕ_{j}) = {4i, 6 + 4i (0 ≤ i ≤ m + 1), 2m + 3, 2m + 7}.

G_{2m+3}

F = ω̃_{j} = \{dx_{2}dx_{3}, x_{3}dx_{2}dx_{3}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{2}dx_{1}dx_{2}, \overbrace{dx_{3}dx_{1}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{3}^{m−2}dx_{3}dx_{1}}^{m−1},

\overbrace{mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}, x_{3}(mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2}), ⋯, x_{3}^{m−2}(mx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2x_{3}dx_{1}dx_{2})}^{m−1}\}.

w_{1} = m, w_{2} = 3, w_{3} = 2, p_{1} = 2m, p_{2} = 6.
Φ = {1, x_{3}, x_{3}^{2}, ⋯, x_{3}^{m+1}, x_{2}, x_{2}x_{3} ⋯, x_{2}x_{3}^{m−2}, x_{1}, x_{1}x_{3}}.
w(ϕ_{j}) = {2i (0 ≤ i ≤ m + 1), 3 + 2j (0 ≤ j ≤ m − 2), m, m + 2}.

On trouve chez A.G.Aleksandrov[1] une série des singularités U_{2m+1} dont le système de Gauss-Manin peut être calculé d’une façon analogue au cas U_{7}, U_{9} :

U_{2m+1}, m ≥ 5

\{ \begin{matrix}f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}x_{2} + x_{3}^{m} & = & 0 \\ f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) & = & x_{1}^{2} + x_{2}x_{3} & = & 0 \end{matrix}

F = ω̃_{j} = \{dx_{2}dx_{3}, dx_{1}dx_{2}, x_{3}^{m−1}dx_{3}dx_{1} + x_{1}dx_{1}dx_{2}, \overbrace{dx_{3}dx_{1}, x_{3}dx_{3}dx_{1}, ⋯, x_{3}^{m−2}dx_{3}dx_{1}}^{m−1},

\overbrace{x_{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{3}dx_{1}, x_{3}(x_{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{3}dx_{1}), ⋯, x_{3}^{m−2}(x_{3}dx_{2}dx_{3} + x_{1}dx_{3}dx_{1})}^{m−1}\}.

w_{1} = m + 1, w_{2} = 2m − 1, w_{3} = 3, p_{1} = 3m, p_{2} = 2m + 2.
Φ = {1, x_{3}, x_{3}^{2}, ⋯, x_{3}^{m−1}, x_{1}, x_{1}x_{3} ⋯, x_{1}x_{3}^{m−1}, x_{2}}.
w(ϕ_{j}) = {3i, m + 1 + 3i (0 ≤ i ≤ m − 1), 2m − 1}.

Par un calcul pareil à celui des §2, §3, on obtient une analogie aux théorèmes 3.1 et 4.4. On reprend la notation

I_{ϕ_{k},γ}(s) = (\frac{1}{2πi})^{2} ∫_{∂γ(s)} \frac{ϕ_{k}dx_{1} ∧ dx_{2} ∧ dx_{3}}{(f_{1} − s_{1})(f_{2} − s_{2})} .

M_{ϕ_{k},γ}(z_{1}, z_{2}) = ∫_{Π} I_{ϕ_{k},γ}(s_{1}, s_{2})(−s_{1})^{−z_{1}}(−s_{2})^{−z_{2}}ds_{1}ds_{2}

pour certain Π qui évite les pôles de I_{ϕ_{k},γ}(s), et I_{Φ} = (I_{ϕ_{1},γ}(s_{1}, s_{2}), ⋯, I_{ϕ_{μ},γ}(s_{1}, s_{2})). En somme, le calcul des cas traités dans 5.1 et 5.2 donne le suivant.

Théorème 5.2 1. Le système de Gauss-Manin pour I_{Φ} associées aux singularités isolées d’intersection complète de courbe espace des cas non-résonants (5.1.1), P_{k,ℓ}, G_{2m+6}, G_{2m+3} de la liste de Wall et U_{2m+1} de la liste d’Aleksandrov s’écrit comme suivant:

P^{′(1)}(s_{1})(s_{1}id_{μ} \frac{∂}{∂s_{1}} − \frac{1}{p_{1}} L_{Φ})I_{Φ} = \frac{p_{2}}{p_{1}} s_{2}P^{′(2)}(s_{2})\frac{∂}{∂s_{1}} I_{Φ},  (5.2.1)

où P^{′(1)}(s_{1}) : une matrice diagonale, et P^{′(2)}(s_{2}) : une matrice diagonalisable.

\frac{1}{p_{1}} L_{Φ} = diag\{λ_{1}, ⋯, λ_{μ}\}, λ_{j} = \frac{w(ϕ_{j}) + w_{1} + w_{2} + w_{3} − p_{1} − p_{2}}{p_{1}} .

D’une façon analogue:

P^{′(2)}(s_{2})(s_{2}id_{μ} \frac{∂}{∂s_{2}} − \frac{1}{p_{2}} L_{Φ})I_{Φ} = \frac{p_{1}}{p_{2}} s_{1}P^{′(1)}(s_{1})\frac{∂}{∂s_{2}} I_{Φ},  (5.2.2)

avec les spectres {λ_{1}, ⋯, λ_{μ}} possédant la propriété de symétrie.

2. Pour un cycle évanescent quelconque γ des singularités ci-dessus l’ensemble supp(M_{ϕ_{k},γ})(z_{1}, z_{2}) consiste des points de la forme

(λ_{i} + a, \frac{d_{2}}{d_{1}} (λ_{i} + b)), 1 ≤ i ≤ μ, (a, b) ∈ Z_{≥0}^{2}

qui sont contenus dans un cône Γ_{k}

Γ_{k} = \{(z_{1}, z_{2}) ∈ C^{2}; z_{1} ≥ −λ_{k} − d_{1}, \frac{z_{1}}{d_{1}} + \frac{z_{2}}{d_{2}} ≥ 0\}

avec le sommet (−λ_{k} − d_{1}, \frac{d_{2}}{d_{1}} (λ_{k} + d_{1})).

Démonstration On se rappelle que l’argument de la démonstration du Théorème 3.1 s’appuyait sur (a) les éléments des matrices P^{(1)}, P^{(2)} sont monomiaux,(b) la possibilité de diagonaliser les matrices P^{(1)}, P^{(2)} qui ont été définies par (1.4.1). Donc pour obtenir l’énoncé 1, il suffit de prouver (a) et (b). L’énoncé 2 se déduit de l’énoncé 1 en retraçant l’argument de §4.

(a) D’abord on se souvient de la série de Poincaré P_{F} (t), (1.2.3) au cas n = 1, k = 2, m = 3,

P_{F} (t) = (1 − t^{p_{1}})(1 − t^{p_{2}})\frac{(t^{w_{1}} + t^{w_{2}} + t^{w_{3}} − t^{p_{1}} − t^{p_{2}} − 1)}{(1 − t^{w_{1}})(1 − t^{w_{2}})(1 − t^{w_{3}})} + 1.  (5.2.3)

Cela et la relation (1.4.1) veulent dire

w(P_{ij}^{(1)}(s)) = p_{2} + w(ω̃_{i}) − w(ϕ_{j}) − |w| ≤ 2(|p| − |w|) − w(ϕ_{j}).  (5.2.4)

D’autre part, pour que P_{ij}^{(1)}(s) consiste de plusiers monômes, il faut qu’il existe telles paires des vecteurs entiers (α, β) ≠ (α′, β′) ∈ Z_{≥0}^{2} que

w(P_{ij}^{(1)}(s)) = αp_{1} + βp_{2} = α′p_{1} + β′p_{2}.

Pour les singularités de 5.1, 5.2 ci-dessus, il est impossible de trouver telles paires des vecteurs entiers positifs en vue de (5.2.4). Quant à la matrice P^{(2)} l’argument pareil marche. (b). Le lemme 5.1 a déjà démontré la possibilité de diagonaliser les matrices P^{(1)}, P^{(2)} aux cas non-resonants. Afin de la prouver aux cas unimodaux de 5.2, on retrace l’argument du lemme 5.1.

Plus précisement, il suffit de démontrer la validité de la décomposition comme (5.1.1) à laquelle en fait un seul terme prend part. Si

ω̃_{j} ∧ df_{2} = (P_{jj_{2}}^{(1)}ϕ_{j_{2}} + P_{jj′_{2}}^{(1)}ϕ_{j′_{2}})dx,  (5.2.5)

alors il est evident qu’il n’y aurait que au plus deux termes à droite de (5.2.5), car ω̃_{j} consiste de deux termes exceptés la forme 2ℓx_{1}dx_{2}dx_{3} + 2kx_{2}dx_{3}dx_{1} + kℓx_{3}dx_{1}dx_{2} dont la multiplication avec df_{2} est égal à f_{2}dx. On peut classifier les formes ω̃_{j} de F en 3 catégories. , (1) monômes, (2) binômes en séries, i.e. il existe une forme ω̃ ∈ F t.q. x_{3}ω̃, ⋯, x_{3}^{N−2}ω̃ ∈ F où N = m des singularités G_{2m+3}, G_{2m+6}, U_{2m+1}, N = k soit = ℓ des singularités P_{k,ℓ}, (3) binômes hors séries. Il est evident que la droite de (5.2.5) ne contient qu’un terme au cas (1). Quant au cas (2), si ω̃ ∈ F et (5.2.5) se décompose en binômes, alors w(ϕ_{j_{2}}) = w(ϕ_{j′_{2}}) et P_{jj_{2}}^{(1)}, P_{jj_{2}}^{(1)} ∈ C, car sinon P_{jj′_{2}}^{(1)} dependrait soit de f_{1} soit de f_{2} qui conduirait à l’existence de plus que trois monômes à droite de (5.2.5). Puisque ω̃ est la base d’une série, (5.2.5) donne naissance aux relations,

x_{3}^{i}ω̃_{j} ∧ df_{2} = (P_{jj_{2}}^{(1)}x_{3}^{i}ϕ_{j_{2}} + P_{jj′_{2}}^{(1)}x_{3}^{i}ϕ_{j′_{2}})dx, 1 ≤ i ≤ N − 2

qui signifie que x_{3}^{i}ϕ_{j_{2}} ainsi que x_{3}^{i}ϕ_{j′_{2}} est un élément de l’espace Φ. Un regard fugace sur les poids de Φ nous convaincs qu’il n’existe pas de telles paires chez Φ. Quant au cas (3) assez rare (G_{2m+6}, U_{2m+1} possédent tel élément unique), il est possible de la verifier comme cas individu. Q.E.D.

6 Nombre de Hodge des fibres de Milnor

On revient à la situation de §0 et §1. Soit X_{s} un fibre de Milnor de SIIC courbe espace pour (s_{1}, s_{2}) ∈ S hors son discriminant. On regarde une variété projective X̄_{s} ⊂ P(w_{1}, w_{2}, w_{3}, 1) associée à X_{s} :

X̄_{s} := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ P(w_{1}, w_{2}, w_{3}, 1); f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = s_{1}u^{p_{1}}, f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = s_{2}u^{p_{2}}}.

C’est un clôture de X̄_{s} dans l’espace projectif P(w_{1}, w_{2}, w_{3}, 1) avec des poids comme (1.1.1). On prend le poids de variable u égal à 1. A consulter [8], [7] pour la projectivisation d’une SIIC. On note avec p_{g}(X̄_{s}) le genre geométrique de courbe X̄_{s} qui doit égaler au rang du groupe de cohomologie H^{1}(X̄_{s}, OX̄_{s}). Le genre geométrique du fibre de Milnor est un des invariants importants de la singularités X_{0}. On a une expression assez simple de cet invariant au moyen des spectres du système de Gauss-Manin. Nous nous rappelons ici que les nombres de Hodge h^{pq}(X_{s}) = Gr_{F}^{p} Gr_{p+q}^{W}H^{n}(X_{s}) (et sa série de Poincaré) eux même ont été calculés par F.Hirzebruch pour le cas de SIIC homogène [15], §22 et par H.Hamm pour le cas de SIIC quasihomogène de dimension positive quelconque [14]. Théorème 6.1 Pour les singularités traitées dans §3 et §5, on a les formules suivantes

h^{01}(X_{s}) = h^{10}(X_{s}) = p_{g}(X̄_{s}) = ♯{i; λ_{i} < 0}  (6.1)
h^{11}(X_{s}) = p_{g}(X_{0}) = ♯{i; λ_{i} = 0}  (6.2)

où λ_{i}, 1 ≤ i ≤ μ sont les spectres du système de Gauss-Manin (3.1.1), (5.2.1).

Démonstration i) Démonstration de (6.1). Tout d’abord, définissons deux C−modules A_{X_{0}}, AX̄_{s} des polynômes sur X_{0} et X̄_{s} comme suivants,

A_{X_{0}} := C[x_{1}, x_{2}, x_{3}]/(f_{1}, f_{2}), AX̄_{s} = C[x_{1}, x_{2}, x_{3}, u]/(f_{1} − s_{1}u^{p_{1}}, f_{2} − s_{2}u^{p_{2}}).

Ces deux modules A_{X_{0}}, AX̄_{s} sont fournis de graduation naturelle mis en accord avec le poids w(g) de g ∈ A_{X_{0}}, AX̄_{s}. Ici

(E + u\frac{∂}{∂u})g(x_{1}, x_{2}, x_{3}, u) = w(g)g(x_{1}, x_{2}, x_{3}, u)

avec le champs de Euler introduit par (1.1.2). On peut regarder les séries de Poincaré P_{A_{X_{0}}} (t), P_{AX̄s} (t) définies par une graduation de poids :

P_{A_{X_{0}}} (t) = ∑_{a_{d}=♯{g(x_{1},x_{2},x_{3})∈A_{X_{0}} ;w(g)=d}} a_{d}t^{d},

P_{AX̄s} (t) = ∑_{a_{d}=♯{h(x_{1},x_{2},x_{3},u)∈AX̄s;w(h)=d}} a_{d}t^{d}.

Selon Dolgachev [8] 3.4.4, elles satisfont à la relation suivante,

P_{A_{X_{0}}} (t) = (1 − t)P_{AX̄s} (t)

où P_{A_{X_{0}}} (t) = \frac{(1−t^{p_{1}} )(1−t^{p_{2}} )}{(1−t^{w_{1}} )(1−t^{w_{2}} )(1−t^{w_{3}} )}. Par contre on a

P_{Φ}(t) = t^{|p|−|w|} + (1 − t^{|p|−|w|})P_{A_{X_{0}}} (t)  (6.3)

d’après la formule d’Aleksandrov (3.4.6). Ici |w| = w_{1} + w_{2} + w_{3} et |p| = p_{1} + p_{2}. En somme

P_{AX̄s} (t) = \frac{P_{Φ}(t) − t^{|p|−|w|}}{(1 − t)(1 − t^{|p|−|w|})} = (P_{Φ}(t) − t^{|p|−|w|})(∑_{j≥0} t^{j})(∑_{k≥0} t^{k(|p|−|w|)}).  (6.4)

Le théorème de Dolgachev cité en haut implique que le coefficient devant t^{|p|−|w|−1} de P_{AX̄s} (t) donne le genre geométrique p_{g}(X̄_{s}). Si on écrit le developpement de P_{Φ}(t) par

P_{Φ}(t) = ∑_{j≥0} ϕ_{j}t^{j},

on déduit de la relation (6.4),

p_{g}(X̄_{s}) = 2ϕ_{0} + ϕ_{1} + ⋯ ϕ_{|p|−|w|−1} − 1,
= ♯{polynomes de Φ avec poids ≤ |p| − |w| − 1}
= ♯{polynomes de Φ avec poids < |p| − |w|}.

Unicité d’élement avec le poids 0 dans Φ entraine la première égalite. La dernière egalité signifie (6.1) en vue des Théorèmes 3.1 et 5.2. ii) Démonstration de (6.2). Quant à la seconde égalité, on retrace l’argument bien utilisé depuis Steenbrink. Voir [7], [2], (5.4). Soit Y = X̄_{s} \ X_{s}. A partir de la suite exacte

⋯ → H^{n−2}(Y)(−1) → H^{n}(X̄_{s}) → H^{n}(X_{s}) → H^{n−1}(Y)(−1) → H^{n+1}(X̄_{s}) → ⋯,

on obtient une suite exacte courte

0 → P^{n}(X̄_{s}) → H^{n}(X_{s}) → P^{n−1}(Y) → 0,  (6.5).

où

P^{n}(X̄_{s}) = coker(H^{n−2}(Y) → H^{n}(X̄_{s}))

P^{n−1}(Y) = ker(H^{n−1}(Y) → H^{n+1}(X̄_{s}))

qui s’appellent la partie primitive de la cohomologie correspondente. De (6.5), on obtient

h^{p,n+1−p}(X_{s}) = Gr_{F}^{p} Gr_{n+1}^{W}H^{n}(X_{s}) = Gr_{F}^{p} P^{n−1}(Y) = h_{0}^{p−1,n−p}(Y).

Le dernier est calculé par Théorème 4.4, 3) de [2] qui dit que

h_{0}^{0,0}(Y) = coefficient devant t^{|p|−|w|} de P_{A_{X_{0}}} (t),

qui est égal à son tour à coefficient devant t^{|p|−|w|} de P_{Φ}(t), en vue de (6.3). La démonstration s’achève si on se souvient de la définition des spectres λ_{i} des Théorèmes 3.1 et 5.2. Q.E.D.

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