Drinfeld’s shtukas and Langlands’ correspondence

Laurent Lafforgue (IHES)

Résumé en français

X = courbe projective lisse (géométriquement connexe) / F_{q} F = F (X) = corps des fonctions de X A = anneau des adèles de F

Théorème (correspondance de Langlands): Pour tout entier r ≥ 1, il existe une (unique) bijection préservant les facteurs L locaux

π → σ_{π}
π_{σ} ← σ

\{ \begin{matrix}représentations π \\ automorphes cuspidales \\ de GL_{r}(A) \\ avec χ_{π} d’ordre fini \end{matrix} \} ↔ \{ \begin{matrix}représentations l-adiques \\ σ de G_{F}, non ramifiées \\ presque partout, irréductibles \\ de dimension r, avec det σ \\ d’ordre fini \end{matrix} \}

Le cas r = 1 est la théorie du corps de classes. Le cas r = 2 a été démontré par Drinfeld.

Pour r ≥ 2, on suppose le théorème déjà connu en les rangs < r. D’après le “principe de récurrence de Deligne” (qui combine cette hypothèse de récurrence, le “théorème réciproque” de Piatetski-Shapiro, l’équation fonctionnelle de Grothendieck et la formule du produit de Laumon), σ ↦ π_{σ} est alors connu en rang r.

On cherche à construire π ↦ σ_{π} dans la cohomologie l-adique au-dessus du point générique de X × X des:

• Cht^{r} = champ des chtoucas de Drinfeld de rang r,

• Cht_{N}^{r} = champ des chtoucas de Drinfeld de rang r avec structure de niveau N ↪ X.

On choisit un idèle a ∈ A^{×} de degré ≠ 0.

On note H^{r} = C_{c}^{∞}(GL_{r}(A)) l’algèbre de Hecke et H_{N}^{r} sa sous-algèbre des fonctions bi-invariantes par

K_{N} = Ker[K = GL_{r}(O_{A}) → GL_{r}(O_{N})].

Voici les principales propriétés des objets géométriques qu’on construit à partir des Cht_{N}^{r}/a^{Z}:

champs de chtoucas  ouverts tronqués  compactifications

totales ou partielles

Cht_{N}^{r}/a^{Z} ↩ Cht_{N}^{r,p̄≤p}/a^{Z} ↪ \overline{Cht^{r,p̄≤p}}/a^{Z}

\overline{Cht_{N}^{r,p̄≤p}}′/a^{Z}

• lisse sur (X − N) × (X − N) • de type fini  • lisse sur (X − N) × (X − N)
• action de H_{N}^{r} • formule de comptage • bord = DCN relatif
des points fixes  • chaque h ∈ H_{N}^{r}

induit une correspondance

mais mais mais
• pas de type fini  • pas de correspondances • cela ne définit pas
de Hecke  une action de H_{N}^{r}

• pas de comptage des points fixes

Afin de rapporter toutes les propriétés positives à un unique objet au lieu de 3, on pose:

Définition. Une représentation l-adique irréductible de G_{F^{2}} (où F^{2} = F (X × X)) est dite r-négligeable si elle est facteur direct d’une

q^{′∗}σ′ ⊗ q^{′′∗}σ′′

(où q′, q′′ : G_{F^{2}} \overrightarrow{→}G_{F} sont déduites de X×X\overrightarrow{→}X) pour σ′, σ′′ deux représentations de G_{F} irréductibles de dimensions < r.

On montre alors:

Théorème. Cht_{N}^{r}/a^{Z}, Cht_{N}^{r,p̄≤p}/a^{Z}, \overline{Cht_{N}^{r,p̄≤p}}′/a^{Z} ont même cohomologie essentielle. Comme représentation de H_{N}^{r} × G_{F^{2}}, elle a la forme

⨁_{χ_{π}(a)=1^{π}} π^{K_{N}} ⊗ (q^{′∗}σ_{π} ⊗ q^{′′∗}σ_{π}^{∨})(1 − r).

Référence. “Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands”, article à paraître dans la revue Inventiones (la version définitive est disponible sur le serveur des prépublications de l’IHES et sur celui d’Orsay).