Zur Anwendung des Logarithmus in der analytischen Zahlentheorie

T. Ebel und B.Z. Moroz

Zusammenfassung In dieser Arbeit geht es um Details beim Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes, wie er sich etwa bei [2, Kap. 4] findet, nämlich um Definition und Verwendung des Logarithmus von L-Funktionen.

Diese kurze Arbeit verfolgt rein didaktische Ziele. Wir zeigen, wie sich die üblichen Lehrbuch-Beweise aus der analytischen Zahlentheorie unter der richtigen Verwendung des Logarithmus-Operators auf einem passenden Raum von holomorphen Funktionen formalisieren lassen. Bezeichnungen 1. Es seien ℤ, ℝ und ℂ die Ringe der ganzen, reellen bzw. komplexen Zahlen, und es sei ℕ = { n | n ∈ ℤ, n ≥ 1 } die Menge der natürlichen Zahlen. Ferner bezeichne ℝ_{+} := { x | x ∈ ℝ, x > 0 } die Menge der positiven Zahlen, ℝ_{−} := ℝ \ ℝ_{+} diejenige der nichtpositiven Zahlen, und für r ∈ ℝ sei ℂ_{r} := { z | z ∈ ℂ, Re s > r } die entsprechende offene komplexe Halbebene; wie üblich sind Re z und Im z der Realteil bzw. der Imaginärteil einer komplexen Zahl z. Mit O(U) bezeichnen wir den Ring der holomorphen Funktionen auf einer offenen Untermenge U von ℂ. Die multiplikative Gruppe eines kommutativen Rings (mit Eins) A sei mit A^{∗} bezeichnet, die additive Gruppe mit A^{+}. Wie üblich bezeichne f_{1} ∘ f_{2} : A → C die Komposition zweier Abbildungen f_{2} : A → B und f_{1} : B → C, insbesondere gilt (f_{1} ∘ f_{2}) (z) = f_{1} (f_{2}(z)), z ∈ ℂ, für zwei komplexwertige Funktionen f_{1} und f_{2} auf ℂ. Schließlich bezeichne ι(A): a ↦ a, a ∈ A, die identische Abbildung ι(A): A → A auf einer Menge A.

Nun beginnen wir, indem wir an die Isomorphismen log: ℝ_{+}^{∗} → ℝ^{+} und exp: ℝ^{+} → ℝ_{+}^{∗}, exp: x ↦ e^{x}, x ∈ ℝ, erinnern (hier ist ℝ_{+}^{∗} ≅ ℝ^{∗}/{±1} die Gruppe der positiven reellen Zahlen); bekanntlich log ∘ exp = ι(ℝ) und exp ∘ log = ι(ℝ_{+}).

Diese Abbildungen setzt man folgendermaßen fort:

exp: ℂ → ℂ \ {0}, exp: z ↦ e^{z}, z ∈ ℂ,

und

log: ℂ \ {0} → 𝔖_{π}, log: z ↦ log |z| + iα(z), z ∈ ℂ \ {0},

wobei α(z) für z ∈ ℂ \ {0} durch z = |z| e^{iα(z)} und −π < α(z) ≤ π definiert ist und 𝔖_{r} für r ∈ ℝ_{+} den horizontalen Streifen

𝔖_{r} := { z | z ∈ ℂ, − r < Im z ≤ r }

bezeichnet, so daß exp ∘ log = ι(ℂ \ {0}), exp ∈ O(ℂ) und log ∈ O(ℂ \ ℝ_{−}). Der Logarithmus log ist aber nicht stetig auf der Menge ℝ_{−} \ {0}; also ist die Funktion

log ∘ exp: ℂ → 𝔖_{π}

in den Punkten { z | z ∈ ℂ, Im z = (2k + 1)π, k ∈ ℤ } unstetig.

Es sei U eine offene Untermenge von ℂ. Wir definieren einen injektiven Homomorphismus j: ℤ ↪ O(U) durch

j: n ↦ f_{n} für n ∈ ℤ,

wobei f_{n} die konstante Funktion auf U bezeichnet, die der Gleichung f_{n}(z) = 2πin für z ∈ U genügt. Die Abbildung

𝔈𝔵𝔭: O(U)^{+} → O(U)^{∗} , 𝔈𝔵𝔭: f ↦ exp ∘f für f ∈ O(U) ,

ist ein Homomorphismus und es gilt

j(ℤ)^{+} ⊆ Ker(𝔈𝔵𝔭).

Lemma 1. Ist G eine offene, zusammenhängende und einfach zusammenhängende Untermenge von ℂ, so ist die Folge Abelscher Gruppen

0 ⟶ ℤ^{+} ⟶^{j} O(G)^{+} ⟶^{𝔈𝔵𝔭} O(G)^{∗} ⟶ 1

exakt, also gilt

O(G)^{+} /j(ℤ)^{+} ≅ O(G)^{∗} .  (1)

Beweis. Es folgt sofort, daß

j(ℤ)^{+} = Ker(𝔈𝔵𝔭),

denn G zusammenhängend ist. Es sei f ∈ O(G)^{∗}, d.h. f sei eine holomorphe, nirgends verschwindende Funktion auf G. Nach dem Cauchyschen Integralsatz ist die Funktion

𝔩𝔬𝔤(s_{0}, f): s ↦ log f(s_{0}) + ∫_{s_{0}}^{s} \frac{f′(t)}{f(t)} dt, s ∈ G,  (2)

für s_{0} ∈ G wohldefiniert und

𝔩𝔬𝔤(s_{0}, f) ∈ O(G) ,

weil G eine einfach zusammenhängende Menge ist. Wir behaupten, daß

𝔈𝔵𝔭(𝔩𝔬𝔤(s_{0}, f)) = f.  (3)

Zur Abkürzung setzen wir h := 𝔩𝔬𝔤(s_{0}, f); es sei

k(s) = f(s)e^{−h(s)}, s ∈ G.

Dann gilt

k ∈ O(G)^{∗} und f′(s) = k′(s)e^{h(s)} + h′(s)f(s);

daher

\frac{f′(s)}{f(s)} = h′(s) + \frac{k′(s)}{k(s)}.

Aus der Definition (2) folgt aber, daß

\frac{f′(s)}{f(s)} = h′(s) und k(s_{0}) = 1;

deshalb k(s) = 1 für s ∈ G. Damit ist die Behauptung (3) und mithin das Lemma bewiesen.

Es bezeichne

𝔏𝔬𝔤: O(G)^{∗} → O(G)^{+} /j(ℤ)^{+}

den Isomorphismus (1) aus Lemma 1. Für f ∈ O(G)^{∗} ist 𝔏𝔬𝔤 f eine Nebenklasse in O(G)^{+} modulo j(ℤ)^{+}, und es ist klar, daß 𝔩𝔬𝔤(s_{0}, f) ∈ 𝔏𝔬𝔤 f für s_{0} ∈ G.

Beispiel 1. Identifizieren wir ℂ mit dem Ring

K = { f_{z} | z ∈ ℂ, f_{z}(s) = z für s ∈ G }

der konstanten Funktionen in O(G) und bezeichnen mit Log die Einschränkung von 𝔏𝔬𝔤 auf K^{∗}, so ist Log der ”mehrwertige“ Logarithmus auf ℂ^{∗}(≅ K^{∗}) und es gilt log ∈ Log.

Beispiel 2. Für G = ℂ \ ℝ_{−} gilt ι(G) ∈ O(G)^{∗} und 𝔩𝔬𝔤(1, ι(G)) = log_{|G}, wobei die rechte Seite die Einschränkung von log auf G bezeichne.

Beispiel 3. Es sei G = ℂ. Offenbar ist dann exp ∈ O(G)^{∗} und 𝔩𝔬𝔤(0, exp) = ι(G), obgleich log ∘ exp ∉ O(ℂ).

An dieser Stelle verweisen wir für weitere Informationen auf das Lehrbuch [4], siehe insbesondere das ”Äquivalenztheorem“ in [4, Bd. 2, Kap. 8, §2.6].

Bezeichnungen 2. Für {a, b} ⊆ ℤ sei (a, b) der größte gemeinsame Teiler von a und b; es sei φ die Eulersche φ-Funktion, also ist φ(n) die Kardinalität von (ℤ/nℤ)^{∗} für n ∈ ℕ. Für n ∈ ℕ bezeichne X(n) die Gruppe der Dirichlet-Charaktere modulo n, d.h. der vollständig multiplikativen periodischen Funktionen

χ: ℤ → S^{1} ∪ {0}

mit Periode n, welche die Bedingung

χ^{−1}(S^{1}) = { a | a ∈ ℤ, (a, n) = 1 }

erfüllen; hierbei ist S^{1} := { z | z ∈ ℂ, |z| = 1 } der Einheitskreis in ℂ. Es sei χ_{0}^{(n)} das Einselement der Gruppe X(n), so daß

χ_{0}^{(n)}(a) = \begin{cases}1, & wenn (a, n) = 1; \\ 0, & sonst \end{cases}

für a ∈ ℤ; wir setzen X_{1}(n) := X(n) \ {χ_{0}^{(n)}}. Zuletzt sei X := ⋃_{n=1}^{∞} X(n). Ist χ ∈ X und χ(ℤ) ⊆ {−1, 0, 1}, so heißt χ ein reeller Dirichlet-Charakter. Es bezeichne P die Menge der Primzahlen in ℤ, und es sei

P_{a}^{(n)} := { p | p ∈ P, p ≡ a (mod n) }

für a ∈ ℤ, n ∈ ℕ.

Es sei χ ∈ X. Wir betrachten die Dirichletsche L-Funktion

L(χ, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}} = ∏_{p∈P} (1 − \frac{χ(p)}{p^{s}})^{−1} für s ∈ ℂ_{1},  (4)

und setzen

L_{χ}(s) = L(χ, s) für s ∈ ℂ_{1}.

Es ist klar, daß

L_{χ} ∈ O(ℂ_{1})^{∗} für χ ∈ X.

Insbesondere, im Fall χ = χ_{0}^{(1)}, ist

ζ(s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{s}} = ∏_{p∈P} (1 − \frac{1}{p^{s}} )^{−1} für s ∈ ℂ_{1}

die Riemannsche ζ-Funktion.

Es sei

(𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s) = ∑_{\begin{matrix}ℓ=1 \\ p∈P \end{matrix}}^{∞} \frac{χ(p^{ℓ})}{ℓp^{ℓs}} für s ∈ ℂ_{1}.  (5)

Lemma 2. Es gilt

𝔩𝔬𝔤 L_{χ} ∈ 𝔏𝔬𝔤 L_{χ} für χ ∈ X.  (6)

Beweis. Es sei χ ∈ X. Ist s ∈ ℂ_{2}, so ist Re L(χ, s) > 0; denn

|L(χ, s) − 1| = |∑_{n=2}^{∞} \frac{χ(n)}{n^{s}} | ≤ ∑_{n=2}^{∞} \frac{1}{n^{2}} < \frac{2}{3} für s ∈ ℂ_{2};

also ist { L(χ, s) | s ∈ ℂ_{2} } ⊆ ℂ \ ℝ_{−}. Aus (4) folgt daher, daß

log(L(χ, s)) = − ∑_{p∈P} log (1 − \frac{χ(p)}{p^{s}}) = ∑_{\begin{matrix}ℓ=1 \\ p∈P \end{matrix}}^{∞} \frac{χ(p^{ℓ})}{ℓp^{ℓs}} für s ∈ ℂ_{2}.  (7)

Nach (5) und (7) gilt also

exp((𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s)) = L(χ, s) für s ∈ ℂ_{2}.

Dann ist auch

exp((𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s)) = L(χ, s) für s ∈ ℂ_{1},  (8)

denn {L_{χ}, 𝔩𝔬𝔤 L_{χ}} ⊆ O(ℂ_{1}). Die Bedingungen (6) und (8) sind aber äquivalent.

Bemerkung 1. Es gilt (vgl. [5, Thm. 11.6]):

{ ζ(s) | s ∈ ℂ_{1} } = ℂ \ {0},

daher ist log ∘ ζ unstetig auf ℂ_{1}; woraus folgt log ∘ ζ ∉ 𝔏𝔬𝔤 ζ und mithin log ∘ ζ ≠ 𝔩𝔬𝔤 ζ.

Im folgenden sei die Zahl m ∈ ℕ fest; es sei a ∈ ℤ und (a, m) = 1.

Lemma 3. Es gilt

\frac{1}{φ(m)} ∑_{χ∈X(m)} \overline{χ(a)}(𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s) = ∑_{ℓ=1}^{∞} ∑_{\begin{matrix}p∈P \\ p^{ℓ}≡a (m) \end{matrix}} \frac{1}{ℓp^{ℓs}} für s ∈ ℂ_{1}. (9)

Beweis. Die Gleichung (9) folgt aus der Definition (5) wegen der Orthogonalitätsrelationen für Dirichlet-Charaktere (siehe, z.B., [1, Kap. 1, (1.56)]).

Folgerung 1. Es gilt

∏_{χ∈X(m)} L(χ, s) ≥ 1 für s ∈ ℂ_{1} ∩ ℝ.  (10)

Beweis. Die Gleichung (9) mit a = 1 ergibt:

∑_{χ∈X(m)}(𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s) = φ(m) ∑_{ℓ=1}^{∞} ∑_{\begin{matrix}p∈P \\ p^{ℓ}≡1 (m) \end{matrix}} \frac{1}{ℓp^{ℓs}} ≥ 0

für s ∈ ℂ_{1} ∩ ℝ; daraus folgern wir, Lemma 2 verwendend, daß

∏_{χ∈X(m)} L(χ, s) = exp( ∑_{χ∈X(m)}(𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s)) ≥ 1

für solche s.

Nun betrachten wir die Funktion

h_{a}(s) = ∑_{p∈P_{a}^{(m)}} \frac{1}{p^{s}} für s ∈ ℂ_{1}.  (11)

Folgerung 2. Für eine geeignete Funktion g_{a} gilt

h_{a} = \frac{1}{φ(m)} ∑_{χ∈X(m)} \overline{χ(a)} 𝔩𝔬𝔤 L_{χ} + g_{a} und g_{a} ∈ O(ℂ_{\frac{1}{2}} ) .

Beweis. Diese Aussage folgt aus den Gleichungen (11) und (9), wenn man

g_{a}(s) = − ∑_{ℓ=2}^{∞} ∑_{\begin{matrix}p∈P \\ p^{ℓ}≡a (m) \end{matrix}} \frac{1}{ℓp^{ℓs}}

setzt, denn die Reihe in der rechten Seite konvergiert absolut und gleichmäßig auf jeder kompakten Untermenge von ℂ_{\frac{1}{2}} .

Für s ∈ ℂ_{1} sei es

L_{0}(s) = (s − 1)L(s, χ_{0}^{(m)})

und

(𝔩𝔬𝔤 L_{0})(s) = (𝔩𝔬𝔤 L_{χ_{0}^{(m)}})(s) + log(s − 1).

Aus der Definition (4) folgt, daß die Funktionen { L_{0}, L_{χ} | χ ∈ X_{1}(m) } auf die Halbebene ℂ_{0} analytisch fortsetzbar und dort holomorph sind; also

{ L_{0}, L_{χ} | χ ∈ X_{1}(m) } ⊆ O(ℂ_{0}) .  (12)

Es gilt auch

L_{0}(1) = ∏_{\begin{matrix}p∈P \\ p|m \end{matrix}}(1 − \frac{1}{p}) > 0,  (13)

weil

L(χ_{0}^{(m)}, s) = ζ(s) ∏_{\begin{matrix}p∈P \\ p|m \end{matrix}}(1 − \frac{1}{p^{s}} ) für s ∈ ℂ_{0}.

Lemma 4. Es gilt

L(χ, 1) ≠ 0 für χ ∈ X_{1}(m).  (14)

Beweis. Es sei zuerst χ ≠ \overline{χ}. Aus der Gleichung L(χ, 1) = 0 folgt, daß auch L(\overline{χ}, 1) = 0 und daher

L(χ, s) = (s − 1)L_{1}(s), L(\overline{χ}, s) = (s − 1)L_{2}(s), \{L_{1}, L_{2}\} ⊆ O(ℂ_{0})

für geeignete Funktionen L_{1} und L_{2}. Dann wäre aber

∏_{χ∈X(m)} L(χ, s) = (s − 1) ∏_{i=0}^{3} L_{i}(s), L_{i} ∈ O(ℂ_{0}) für 0 ≤ i ≤ 3,

im Widerspruch zu (10), wobei wir zur Abkürzung

L_{3}(s) := ∏_{χ∈X_{1}(m)\\{χ, \overline{χ}\}} L(χ, s)

gesetzt haben. Für den Fall, daß χ ein reeller Charakter ist, verweisen wir auf [2, Kap. 4] für einen einfachen Beweis der Ungleichung (14).

In [3, Kap. 3, §2] findet man einen elementaren, d.h. nichtfunktionentheoretischen, Beweis dieses Lemmas.

Satz. Ist a ∈ ℤ, m ∈ ℕ und (a, m) = 1, so ist

h_{a}(s) = \frac{1}{φ(m)} log \frac{1}{s − 1} + O(1) für s ∈ ℝ, 1 < s < 2.  (15)

Beweis. Es sei

I(α, β) := { x | x ∈ ℝ, α < x < β } für {α, β} ⊆ ℝ

und

D_{γ} := ℂ_{1} ∪ { s | s ∈ ℂ, |s − 1| < γ } für γ ∈ ℝ_{+}.

Nach Folgerung 2 gilt

h_{a}(s) = \frac{1}{φ(m)} ∑_{χ∈X(m)} \overline{χ(a)}(𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s) + O(1) für s ∈ I(1, 2).  (16)

Aus den Ungleichungen (13) und (14) folgt, daß

{ L_{0}, L_{χ} | χ ∈ X_{1}(m) } ⊆ O(D_{δ})^{∗}

für geeignete δ > 0. Also sind die Funktionen { 𝔩𝔬𝔤 L_{0}, 𝔩𝔬𝔤 L_{χ} | χ ∈ X_{1}(m) } holomorph fortsetzbar auf D_{δ} und mithin beschränkt auf jeder kompakten Untermenge von D_{δ}, deshalb

∑_{χ∈X_{1}(m)} \overline{χ(a)}(𝔩𝔬𝔤 L_{χ})(s) = O(1), (𝔩𝔬𝔤 L_{0})(s) = O(1) für s ∈ I(1, 2). (17)

Es ist klar, daß

L(χ_{0}^{(m)}, s) > 0 für s ∈ ℂ_{1} ∩ ℝ;

daher

(𝔩𝔬𝔤 L_{χ_{0}^{(m)}})(s) = log L(χ_{0}^{(m)}, s) und (𝔩𝔬𝔤 L_{0})(s) = log L_{0}(s) für s ∈ ℂ_{1} ∩ ℝ.

Damit gilt

(𝔩𝔬𝔤 L_{χ_{0}^{(m)}})(s) = log \frac{1}{s − 1} + (𝔩𝔬𝔤 L_{0})(s) für s ∈ ℂ_{1} ∩ ℝ.  (18)

Die asymptotische Formel (15) folgt unmittelbar aus (16), (17) und (18).

Der Dirichletsche Primzahlsatz [1, S. 36] folgt aus dem Satz.

Bemerkung 2. In [3, Kap. 3, §2] wird mit elementaren, d.h. nichtfunktionentheoretischen aber keineswegs einfachen, Methoden das (im Vergleich zu (15)) stärkere Resultat

∑_{\begin{matrix}p∈P_{a}^{(m)} \\ p≤x \end{matrix}} \frac{log p}{p} = \frac{1}{φ(m)} log x + O(1) für x ∈ ℝ ∩ ℂ_{1}

bewiesen.

Zum Schluß bedanken wir uns bei Herrn Y. Petridis für einen wichtigen Hinweis.

Literatur

[1] J. Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Berlin Heidelberg New York: Springer 1995

[2] H. Davenport: Multiplicative Number Theory, zweite Auflage. Berlin Heidelberg New York: Springer 1980

[3] A. O. Gel’fond und Yu. V. Linnik: Elementary Methods in the Analytic Theory of Numbers. Oxford: Pergamon Press 1966

[4] R. Remmert: Funktionentheorie, Bd.1,2. Berlin Heidelberg New York: Springer 1989, 1991

[5] E. C. Titchmarsh: The theory of the Riemann Zeta-function, zweite Auflage. Oxford: Clarendon Press 1986