Connexion de Gauß- Manin associée à la déformation verselle d’une singularité isolée d’hypersurface et son application au XVIe problème de Hilbert.

Susumu TANABÉ ^{1}

Résumé - On étudie le système d’équations differéntielles satisfaites par l’intégrale d’Abel associée à un cycle évanescent γ_{s} ⊂ {(x, y) ∈ R^{2} : H(x, y; s) = 0} défini pour la déformation verselle d’une singularité isolée d’hypersurface. Comme application, on obtient une estimation de la multiplicité des zéros de l’intégrale I_{ω}(s) = ∫_{γ_{s}} ω en fonction des poids quasihomogènes associés à H(x, y; 0) et du deg(ω).

1. Introduction

Dans cette note on poursuit directement les recherches sur les problèmes traités dans la première partie du travail précedent [2], i.e. la description raisonnable de la connexion de Gauss-Manin associée à la déformation verselle d’une singularité isolée d’hypersurface. Dans la première partie de la note, notre objet principal est “l’intégrale hyperelliptique généralisée” que l’on définit comme suit. Regardons un polynôme dépendant de μ − 1 paramètres s′ = (s_{1}, s_{2}, ⋯, s_{μ−1}),

H(x, y) = F (x, s′) − y^{ν}
(1.1.1)  F (x, s′) = x^{μ+1} + s_{μ−1}x^{μ−1} + … + s_{1}x, μ, ν ≥ 2.

On prend un cycle évanescent

(1.1.2)  γ_{s} ⊂ {(x, y) ∈ R^{2} : H(x, y) + s_{0} = 0}, s = (s_{0}, s′)

du polynôme H(x, y) et une 1-forme polynomiale ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy, alors on appelle l’expression

I_{ω}(s) = ∫_{γ_{s}} ω,

intégrale hyperelliptique généralisée. Le cas ν = 2 correspond à l’intégrale hyperelliptique.

Dans [2], on s’occupait, entre autres, du problèmes d’adjacence entre diverses intégrales hyperelliptiques généralisées associées aux differentes singularités A_{μ−1} et A_{μ}. Par contre, ici on recherche la structure du système de Gauss-Manin le long d’une strate de son ensemble critique (du discriminant). L’invariance des exposants de monodromie le long de la strate μ = const. est connue depuis Varchenko [15]. Ici nous allons établir un énoncé un peu plus fin sur les exposants caractéristiques du système de Fuchs (voir la définition 3.1) qui dépendent explicitement du degré de l’intégrand ω de I_{ω}(s) (voir le théorème d’isomonodromie renforcé 3.4). Pour autant qu’il s’agisse de l’intégrale hyperelliptique généralisée, notre théorème est une version forte de celui de Varchenko, car nous constatons l’invariance de μ (ou bien μ + 1 ) exposants pour chaque intégrale I_{ω}(s), pourtant Varchenko a démontré l’invariance du minimum de ces μ exposants.

Dans [1], [2] (17), nous avons proposé une nouvelle définition du système du type de Fuchs avec lieu singulier D, un diviseur d’une variété complexe lisse S en tant que système de Pfaff avec les coefficients de Ω_{S}^{1}(log D), formes différentielles logarithmiques. Il est naturel de se poser la question de savoir comment le système du type de Fuchs ainsi défini se lie à l’équation de Fuchs au sens classique? Le théorème 3.4 répond, entre autres, à cette question aussi.Je tiens à noter qu’une formule hypothétique proposée par V.P.Palamodov servait de problème moteur de notre recherche. Il se demande quel opérateur différentiel doit annuler I_{dx}(t). Notre proposition 2.4 fournit une reponse.

AMS Subject Classification: primary 14K20, 58F21, 14D05, secondary 32S30, 33C20.

Key words and phrases: Gauss-Manin connexion, limit cycles, Fuchsian equation, isomonodromic deformation.

1 Travail réalisé par le soutien financier de l’ homme d’affaires M.Mikhail S.Gavounas (Moscou, Russie) et du Max Planck Institut für Mathematik, Bonn

A partir du chapitre 4, notre préoccupation sera l’établissement d’une estimation par haut de la multiplicité des zéros de l’intégrale hyperelliptique généralisée. C’est une demarche vers la réponse raisonnable au XVIe problème de Hilbert sur le nombre des cycles limites. On prend un hamiltonien polynomial comme (1.1.1), et impose la condition que pour chaque valeur critique s_{0}^{(i)}(s_{0}^{(i)} ≠ s_{0}^{(j)}, si i ≠ j) F (x, s′) + s_{0}^{(i)} = 0 ait singularité du type de Morse i.e. le hessien soit non-dégénéré à chaque point critique.

Regardons un polynôme

(1.1.3)  P_{K,m}(x, y) = ∏_{i=1}^{L}(x − x^{(i)})^{k_{i}}y^{m},

k_{i} ∈ N, m ∈ Z tel que x^{(2)}, ⋯, x^{(L)} ne sont pas de points critiques de F (x, s′). Par contre, x^{(1)} peut être un point critique de F (x, s′). On note K = ∑_{i=1}^{L} k_{i}.

Puisque nous visons à établir l’estimation de la multiplicité des zéros de I_{ω}(s), précisons la définition de cette notion.

Définition 1.1. Si une série convergente près de t = t_{0} définit une fonction multivaluée dans un secteur Δ_{θ} = {t : |t − t_{0}| < θ} ⊂ C,

f(t) = ∑_{ρ∈Q,k∈N} f_{ρ,k}(t − t_{0})^{ρ}(log(t − t_{0}))^{k}

cette série s’appelle la fonction de Dulac.

Nous disons que une fonction de Dulac a t_{0} comme zéro de multiplicité (k_{1} + 1)([ρ_{1}] + 1) si

ρ_{1} = {min ρ; f_{ρ,k} ≠ 0},
k_{1} = {max k; f_{ρ_{1},k} ≠ 0}.

Tout au long de cet article, on comprendra la multiplicité des zéros de I_{ω}(s) comme celle des zéros d’une fonction de Dulac en variable s_{0}.

Théorème 1.2. Dans la situation ci-dessus, on considère l’intégrale hyperelliptique généralisée I_{P_{K,m}}(s) prise le long d’un cycle γ_{s} = {(x, y) ∈ R^{2} : H(x, y) + s_{0} = 0},

(1.1.4)  I_{P_{K,m}}(s) = ∫_{γ_{s}} P_{K,m}(x, y)dx,

avec K ∈ N, m ∈ Z. Supposons I_{P_{K,m}}(s) ≢ 0. Alors on a résultats suivants.

i) Si μ pair, la multiplicité N des zéros de l’intégrale I_{P_{K,m}}(s) à l’un des points de ramification t̃ ∈ {s_{0}^{(1)}, ⋯, s_{0}^{(μ)}} vérifie:

(1.1.5)  N ≤ 2[\frac{m}{ν} + \frac{K + μ}{2}].

ii) Supposons que k_{1} = 0 dans l’expression (1.1.3). Alors la multiplicité N des zéros de l’intégrale I_{P_{K,m}}(s) avec μ impair, à l’un des points de ramification s̃_{0} ∈ {s_{0}^{(1)}, ⋯, s_{0}^{(μ)}} vérifie:

(1.1.6)  N ≤ max\{μ − 1, 2[\frac{m}{ν} + \frac{3}{2}]\}.

iii) La multiplicité N des zéros de l’intégrale I_{P_{K,m}}(t) au point s̃_{0} ∉ {s_{0}^{(1)}, ⋯, s_{0}^{(μ)}} ne dépasse pas μ + K.

A l’aide des intégrales I_{x^{k}y^{ℓ}}(s) on peut étudier l’intégrale d’une forme plus générale:

(1.1.3)′.  I_{P,Q}(s) := ∫_{γ_{s}} P dx + Qdy,

avec P (x, y), Q(x, y) des polynômes de degré au plus K i.e.P (x, y) = ∑_{0≤i+j≤K} P_{i,j}x^{i}y^{j}, Q(x, y) =∑_{0≤i+j≤K} Q_{i,j} x^{i}y^{j}.

Dans le §6, on établit le résultat suivant:

Théorème 6.2 Soit γ_{s} ⊂ {(x, y) ∈ R^{2} : H(x, y; s) = 0} un cycle évanescent de la déformation verselle d’une singularité isolée simple d’hypersurface de la liste (6.1) i.e. A_{μ}, D_{μ}, E_{6}, E_{7}, E_{8}. Alors il existe un ensemble ouvert dense U ⊂ R^{μ} \ D tel que la multiplicité des zéros N de l’intégrale d’Abel (1.1.3)’ non-nulle

I_{P,Q,γ_{s}}(s) := ∫_{γ_{s}} P (x, y)dx + Q(x, y)dy

doit satisfaire à chaque point s ∈ U l’inégalité suivante:

(1.1.7)  N ≤ μ(1 + [(ρ_{1} + ρ_{2})(K − 1)]) − 1,

où ρ_{1}, ρ_{2} sont les poids quasihomogènes des variables x, y définis pour chaque singularité.

Il est facile de déduire de (1.1.4), (1.1.5) que si μ, ν, K, m ≤ n, alors la multiplicité des zéros N est dominé par une fonction linéaire de n. En revanche, (1.1.7) donne une estimation quadratique en n. Nos résultats, donc, paraissent une amélioration des estimations obtenues dans [8] ( la multiplicité de chaque zéro ≤ \frac{n^{4}+n^{2}−2}{2} ) pour autant qu’il s’agisse de l’intégrale du type (1.1.3), (1.1.3)′.

L’auteur tient à remercier L. Gavrilov qui m’a donné des cours d’initiation à ce sujet, S. Yakovenko, J. P. Françoise et D. Novikov de leurs conseils.

2. Les énoncés sur le système de Gauss-Manin associé aux singularités A_{μ}

On se souvient ici des résultats principaux de [2] concernant les intégrales hyperelliptiques généralisées

(2.1)  K_{i}^{λ}(s) = ∫ z^{i}(z^{μ+1} + s_{μ−1}z^{μ−1} + … + s_{1}z + s_{0})^{λ}dz,  i = 0, …, μ + 1,

pour la singularité A_{μ}. L’intégrale (2.1) est un prototype de notre recherche, pour un hamiltonien du type (1.1.1). Notre démarche consiste en l’analyse de l’intégrale (2.1) à l’aide de l’opérateur différentiel qui l’annule.

Regardons les intégrales de périodes pour une variété algébrique de dimension complexe un X_{s}^{(μ,ν)} = {(z, y) ∈ P^{2}C; y^{ν} − F (z, s′) = s_{0}} paramétrée par μ paramètres (s_{0}, …, s_{μ−1}) avec

F (z, s′) = z^{μ+1} + s_{μ−1}z^{μ−1} + … + s_{1}z.

Le polynôme F (z, s′)+s_{0} donne une déformation verselle de la singularité A_{μ}, F (z, 0) = z^{μ+1}. Remarquons que rangH^{1}(X_{s}^{(μ,ν)}) = μ(ν−1), et comme base de H^{1}(X_{s}^{(μ,ν)}), on peut choisir x^{k}y^{ℓ}dx, (0 ≤ k ≤ μ−1, 1 ≤ ℓ ≤ ν−1). Il est facile de voir que l’action de quasihomogénéité agit sur F (z, s′) + s_{0} :

τ : (s_{0}, ⋯, s_{μ−1}, z) → (t^{μ+1}s_{0}, t^{μ}s_{1}, ⋯, t^{2}s_{μ−1}, tz), t ∈ R_{+}.

Etant fixé un cycle évanescent γ_{s} ∈ H_{1}(X_{s}^{(μ,ν)}), on considère l’intégrale de périodes comme celle définie le long d’un cycle Reg(γ_{s}) sur C̃_{x} un revêtement de C avec ν feuilles. Si on note λ = \frac{ℓ}{ν} :

(2.2)  I_{x^{i}y^{ℓ}dx,γ_{s}}(s) = K_{i,γ_{s}}^{λ}(s) = ∫_{Reg(γ_{s})} z^{i}(F (z, s′) + s_{0})^{λ}dz,  i = 0, …, μ + 1.

Ici Reg(γ_{s}) dénote un cycle appelé régularisé, de sorte que l’intégration le long de celui-ci soit bien définie. Sur tout il doit être choisi de façon que Ki,γ_{s}^{\frac{ℓ}{ν}}(s) soit aux valeurs réelles pour s ∈ R et γ_{s} un cycle évanescent réel. Il est obtenu en ”gonflant” γ_{s} à l’aide de l’opérateur de Leray (voir 4.2. [16]). Dans notre situation Reg(γ_{s}) n’est qu’une somme des lacets doubles de Pochhammer [3]. Grâce au théorème des résidus de Leray [4], on n’a pas besoin de se soucier de concrétiser le cycle Reg(γ_{s}), lors de l’établissement d’équations différentielles satisfaites par l’intégrale (2.2). Toutes les intégrales définies par (2.2) satisfont la même équation différentielle indépendante du cycle γ_{s}. Donc on écrira souvent K_{i}^{λ}(s) au lieu de K_{i,γ_{s}}^{λ}(s) sinon on a besoin de préciser le cycle d’intégration. En quête d’une expression concrète des intégrales de périodes autour de ses points de ramification, nous partons de la proposition suivante.

Proposition 2.1 ([7], [10]). Les intégrales hyperelliptiques généralisées K_{0}^{λ}(s), …, K_{μ+1}^{λ}(s) de (2.2) satisfont le système holonôme suivant d’équations différentielles:

(2.3)_{i}  ∑_{ℓ=0}^{μ−1} s_{ℓ} \frac{∂}{∂s_{0}} K_{ℓ+i}^{λ} + \frac{∂}{∂s_{0}} K_{μ+1+i}^{λ} = λK_{i}^{λ}, 0 ≤ i ≤ μ − 1,

(2.4)_{j}  ∑_{ℓ=1}^{μ−1} ℓs_{ℓ} \frac{∂}{∂s_{0}} K_{ℓ+j}^{λ} + (μ + 1)\frac{∂}{∂s_{0}} K_{μ+1+j}^{λ} = −(j + 1)K_{j}^{λ}, −1 ≤ j ≤ μ − 1.

Nous avons une représentation matricielle entre les intégrales:

Σ · b⃗ = a⃗,

où

Σ = [ \begin{matrix}s_{0} & s_{1} & ⋯ & s_{μ−2} & s_{μ−1} & 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{0} & ⋯ & s_{μ−3} & s_{μ−2} & s_{μ−1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & s_{μ−4} & s_{μ−3} & s_{μ−2} & s_{μ−1} & ^{^{.}^{.} .} & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ^{^{.}^{.} .} & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & s_{1} & s_{2} & s_{3} & s_{4} & ⋯ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & s_{0} & s_{1} & s_{2} & s_{3} & ⋯ & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & s_{0} & s_{1} & s_{2} & ⋯ & s_{μ} & 0 & 1 \\ s_{1} & 2s_{2} & ⋯ & (μ − 1)s_{μ−1} & 0 & μ + 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{1} & ⋯ & (μ − 2)s_{μ−2} & (μ − 1)s_{μ−1} & 0 & μ + 1 & ^{^{.}^{.} .} & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ^{^{.}^{.} .} & ⋯ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & s_{1} & 2s_{2} & 3s_{3} & ⋯ & ⋯ & μ + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & s_{1} & 2s_{2} & ⋯ & ⋯ & 0 & μ + 1 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & s_{1} & ⋯ & ⋯ & (μ − 1)s_{μ−1} & 0 & μ + 1 \end{matrix} ],

a⃗ =^{t} (λK_{0}^{λ}, λK_{1}^{λ}, ⋯, λK_{μ−1}^{λ}, 0, −K_{0}^{λ}, −2K_{1}^{λ}, ⋯, −μK_{μ−1}^{λ})

b⃗ =^{t} (\frac{∂}{∂s_{0}} K_{0}^{λ}, \frac{∂}{∂s_{0}} K_{1}^{λ}, ⋯, \frac{∂}{∂s_{0}} K_{2μ}^{λ}).

Remarque: \frac{∂}{∂s_{i}} K_{j}^{λ}(s) = \frac{∂}{∂s_{j}} K_{i}^{λ}(s).

Effectivement, 2μ intégrales de périodes prennent part aux équations (2.3), (2.4), au lieu de μ intégrales. En les supprimant, on obtient les relations syzygy non-triviales entre μ intégrales de périodes.

Proposition 2.2. ([2]) Les intégrales K(s) = ^{t}(K_{0}(s), ⋯, K_{μ−1}(s)), s = (s_{0}, ⋯, s_{μ−1}) satisfont le système holonôme suivant d’équations différentielles:

(2.5)  S \frac{∂}{∂s_{0}} K = (L + V (s_{2}, ⋯, s_{μ−1}))K,

ou V (s′) =

= \frac{1}{(μ + 1)^{2}} [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 2s_{μ−1} & 0 & 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 3s_{μ−2} & 2 · 2s_{μ−1} & 0 & 0 & ⋯ & ⋮ & ⋮ \\ 4s_{μ−3} & 3 · 2s_{μ−2} & 2 · 3s_{μ−1} & 0 & ⋯ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋯ & ⋮ & ⋮ \\ (μ − 1)s_{2} & 2(μ − 2)s_{3} & 3(μ − 3)s_{4} & ⋯ & (μ − 2)2s_{μ−1} & 0 & 0 \end{matrix} ] ,

et s′ = (s_{1}, ⋯, s_{μ−1}). Les élements v_{i,j} de la matrice V (s_{2}, ⋯, s_{μ−1}) sont déterminés par la règle ci-dessous,

(j + 1)v_{i,j} = jv_{i+1,j+1}, v_{1,j} = (j − 1)s_{μ−j+2}, 1 ≤ i ≤ μ − 2, 3 ≤ j ≤ μ.

La matrice S admet une écriture comme suit,

S = s_{0}id_{μ} + C(s′),

avec une matrice polynomiale C(s′) et une matrice diagonale L représentant les poids quasihomogènes de formes différentielles correspondants à K_{j}^{λ}(s),

L = diag(λ + \frac{1}{μ + 1}, …, λ + \frac{μ}{μ + 1}).

Nous nous servons de notation Δ_{μ}(s) désignant un polynôme monique en la variable s_{0}, qui peut être considéré comme le discriminant du polynôme z^{μ+1} + s_{μ−1}z^{μ−1} + … + s_{1}z + s_{0}. Il est calculé par la matrice S(s) de la Proposition 2.2,

Δ_{μ}(s_{0}, s′) = det S(s) = det Σ.

Définition 2.3. On dit que s′ ∈ R^{μ−1} appartient à l’ensemble de bifurcation B ⊂ R^{μ−1} si et seulement s’il existe s_{0} ∈ C tel que

Δ_{μ}(s_{0}, s′) = \frac{∂}{∂s_{0}} Δ_{μ}(s_{0}, s′) = 0.

Si s′ ∈ B l’équation F (z, s′) = t possède soit des racines mutiples soit des valeurs critiques multiples pour une certaine valeur de ′′t.′′ L’ensemble B est une variété algébrique dans R^{μ−1} de codimension 1 (voir (6.17)).

Nous nous rappelons ici une relation de la matrice S avec le champ de vecteurs logarithmiques formulé par K.Saito ([14]).

Lemme 2.4. Si on utilise la notation S(s) = (σ_{i,j}(s))_{0≤i,j≤μ−1}, alors les vecteurs ξ_{i}, i = 0, ⋯, μ − 1 définis comme suit

ξ_{i} = ∑_{j=0}^{μ−1} σ_{i,j} \frac{∂}{∂s_{j}}

constituent le champ de vecteurs logarithmiques tangent au discriminant D = {Δ_{μ}(s) = det S(s) = 0}. Autrement dit, ξ_{0}, ⋯, ξ_{μ−1} forment une base libre de Der_{C^{μ}}(log D) en tant que O_{C^{μ}}− module.

Démonstration

Appliquer le théorème de K.Saito (1.9) [14]. Les vecteurs ξ_{0}, ⋯, ξ_{μ−1} forment un système involutif sur O_{C^{μ}}, i.e. il existe c_{i,j}^{k}(s) ∈ O_{C^{μ}} tel que

[ξ_{i}, ξ_{j}] = ∑_{k=0}^{μ−1} c_{i,j}^{k}(s)ξ_{k}.

Cette propriété peut être déduit de la formule (2.5). En plus, on a D = {Δ_{μ}(s) = det S(s) = 0}. Donc ces vecteurs satisfont à la condition du théorème mentionné ci-dessus. C.Q.F.D.

En suite nous considérons l’intégrale

(2.2)′  K_{k,x^{0}}^{λ}(s) = ∫_{Reg(γ_{s})} x̄^{k}(F (x̄ + x^{0}, s′) + s_{0})^{λ}dx,

où x̄ = x − x^{0}.

Afin d’établir un système analogue à (2.3)_{i} etc. pour K_{k,x^{0}}^{λ}(s), nous reproduisons le raisonnement depuis la Proposition 2.1. Tout d’abord, nous avons les relations suivantes au lieu de (2.3)_{i},

f_{0}(x^{0}, s′, s_{0})\frac{∂}{∂s_{0}} K_{k+i,x^{0}}^{λ}(s)+

(2.3)′_{i}  + ∑_{ℓ=1}^{μ} f_{ℓ}(x^{0}, s′)\frac{∂}{∂s_{0}} K_{k+ℓ+i,x^{0}}^{λ}(s) + \frac{∂}{∂s_{0}} K_{μ+k+i+1,x^{0}}^{λ}(s) = λK_{k+i,x^{0}}^{λ}(s), 0 ≤ i ≤ μ,

avec les polynômes f_{ℓ}(x^{0}, s′) := \frac{1}{ℓ!}(\frac{∂}{∂x})^{ℓ}F (x, s′) |_{x=x^{0}}, ℓ ≥ 1, et f_{0}(x^{0}, s′, s_{0}) := F (x, s′) + s_{0}.

Au lieu de (2.4)_{j} on a,

(2.4)′_{j} ∑_{ℓ=1}^{μ} ℓf_{ℓ}(x^{0}, s′)\frac{∂}{∂s_{0}} K_{ℓ+k+j,x^{0}}^{λ}(s)+(μ+1)\frac{∂}{∂s_{0}} K_{μ+k+1+j,x^{0}}^{λ}(s) = −(k +j +1)K_{k+j,x^{0}}^{λ}(s), −1 ≤ j ≤ μ−1.

Par la suite une notation simple f_{ℓ} remplacera f_{ℓ}(x^{0}, s′).

Avant de formuler l’énoncé sur l’opérateur qui annule l’intégrale K_{k,x^{0}}^{λ}(s), on définit le déterminant d’une matrice

P(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) = [ \begin{matrix}p_{0,0} & p_{0,1} & ⋯ & p_{0,μ−1} \\ p_{1,0} & ⋮ & ⋯ & p_{1,μ−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ p_{μ−1,0} & p_{μ−1,1} & ⋯ & p_{μ−1,μ−1} \end{matrix} ] ,

avec les composantes non-commutatives comme suit,

detP(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) :=

(2.6)  = ∑_{i_{0},i_{1},··· ,i_{μ−1}} sign(i_{0}, i_{1}, ⋯, i_{μ−1})p_{i_{μ−1},μ−1} ⋯ p_{i_{1},1}p_{i_{0},0},

pour p_{i,j} = p_{i,j}^{1}(s)\frac{∂}{∂s_{0}} + p_{i,j}^{0}(s), avec p_{i,j}^{1}(s), p_{i,j}^{0}(s) ∈ R[s]. Dans (2.6), l’indice (i_{0}, i_{1}, ⋯, i_{μ−1}) parcourt toutes les permutations de (0, 1, ⋯, μ − 1). Par la suite on se servira de la notation \frac{∂}{∂s} = (\frac{∂}{∂s_{0}} , ⋯, \frac{∂}{∂s_{μ−1}} ).

Proposition 2.5. i)

L’opérateur différentiel P(s, \frac{∂}{∂s}) d’ordre μ défini ci-dessous annule l’intégrale K_{0}^{λ}(s),

P(s, \frac{∂}{∂s})K_{0}^{λ}(s) = 0,

où

P(s, \frac{∂}{∂s}) := det(S \frac{∂}{∂s_{0}} − L − V (s′))

les matrices S, L, V (s′) sont celles définies dans la Proposition 2.2.

ii) L’opérateur P_{x^{0}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s}) d’ordre μ + 1 qui annule l’intégrale K_{k,x^{0}}^{λ}(s) de (2.2) admet la représentation d’une manière analogue à P(s, \frac{∂}{∂s}),

P_{x^{0}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s})K_{k,x^{0}}^{λ}(s) = 0,

P_{x^{0}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s}) = det(S̃\frac{∂}{∂s_{0}} − L̃ − Ṽ (s′)) + ∑_{j=1}^{μ} T̃′_{j}(s, \frac{∂}{∂s}),

où les matrices S̃, Ṽ (s′) sont définies à partir de S, V (s′) :

S̃ =

[ \begin{matrix}s_{0} − s̃_{0} & f_{1}(x, s′) & ⋯ & f_{μ−1}(x, s′) & f_{μ}(x, s′) \\ 0 \\ ⋮ & & S′(s) \\ 0 \end{matrix} ] .

L̃ = diag(λ + \frac{k}{μ + 1}, …, λ + \frac{k + μ}{μ + 1}).

Ṽ (s′) = [ \begin{matrix}0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ⋮ \\ V′(s′) & 0 & 0 \end{matrix} ] ,

S′(s) = B_{f} · S(s) · C_{f}

avec B_{f}, C_{f} ∈ GL(μ, R), et V′(s′) ∈ End(R^{μ−2})⊗R[s′]. Ici, on note s̃_{0} = −F (x^{0}, s′). Les opérateurs T̃′_{j}(s, \frac{∂}{∂s}) d’ordre μ sont définis dans (2.9)′ ci-dessous.

Remarque 1. L’ordre de l’opérateur P_{x^{0}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s}), égal à μ + 1(> μ), s’explique par l’existence d’un cycle de plus γ^{0} qui définit K_{k,x^{0}}^{λ}(s). Notons {x^{(j)}}_{j=1,··· ,μ+1} = {x ∈ C : F (x, s′) + s_{0} = 0}. Alors K_{0}^{λ}(s) a ses cycles évanescents γ^{j} = {x^{(j)} − x^{(j−1)}}, j = 2, ⋯, μ + 1. Par contre K_{k,x^{0}}^{λ}(s) peut être défini le long d’un cycle x^{0} − x^{(1)} à part des cycles évanescents associés à K_{0}^{λ}(s).

Démonstration de la Proposition 2.5

Preuve de i) Nous notons la relation (2.5) par

P(s, \frac{∂}{∂s_{0}} )K^{λ}(s) = (S \frac{∂}{∂s_{0}} − L − V (s′))K^{λ}(s) = 0.

Notons

P(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) = (p_{i,j})_{0≤i,j≤μ−1}

avec les composantes p_{i,j} = σ_{i,j}(s)\frac{∂}{∂s_{0}} + p_{i,j}^{0}(s′). Ici les σ_{i,j}(s) sont introduits dans le lemme 2.4. Selon cette notation, (2.5) s’écrit

(2.7)_{j}  p_{j,0}K_{0}^{λ}(s) + p_{j,1}K_{1}^{λ}(s) + ⋯ + p_{j,μ−1}K_{μ−1}^{λ}(s) = 0, 0 ≤ j ≤ μ − 1.

On prend une combinaison des expressions (2.7)_{j},

(2.8)  ∑_{j=0}^{μ−1} sign(j, i_{1}, i_{2}, ⋯, i_{μ−1})p_{i_{μ−1},μ−1} ⋯ p_{i_{1},1}(2.7)_{j}.

Alors il est possible de voir que l’opérateur devant K_{0}^{λ}(s) doit être égal à detP(s).

D’autre part, l’opérateur devant K_{k}^{λ}(s) est

(2.9)  ∑ sign(i_{0}, i_{1}, i_{2}, ⋯, i_{μ−1})p_{i_{μ−1},μ−1} ⋯ p_{i_{k}k} ⋯ p_{i_{1},1}p_{i_{0}k} = 0.

Autrement dit, (2.8) coincide avec

det(S \frac{∂}{∂s_{0}} − L − V (s′))K_{0}^{λ}(s).

Ainsi on a démontré i).

Preuve de ii)

Afin de trouver un opérateur P_{x^{0}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s}) annulant K_{k,x^{0}}^{λ}(s), on part de la relation Σ̃ · b̃ = ã avec

Σ̃ = [ \begin{matrix}f_{0} & f_{1} & ⋯ & f_{μ−2} & f_{μ−1} & f_{μ} & 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & f_{0} & ⋯ & f_{μ−3} & f_{μ−2} & f_{μ−1} & f_{μ} & 1 & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & f_{μ−4} & f_{μ−3} & f_{μ−2} & f_{μ−1} & f_{μ} & ⋯ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & ^{^{.}^{.} .} & ⋮ & ⋮ & ^{^{.}^{.} .} & ^{^{.}^{.} .} & ⋯ & 1 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ^{^{.}^{.} .} & ⋮ & ⋮ & ^{^{.}^{.} .} & ^{^{.}^{.} .} & ⋯ & f_{μ} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & f_{0} & f_{1} & f_{2} & f_{3} & ⋯ & f_{μ−1} & f_{μ} & 1 \\ 0 & f_{1} & 2f_{2} & ⋯ & (μ − 1)f_{μ−1} & μf_{μ} & μ + 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & f_{1} & ⋯ & (μ − 2)f_{μ−2} & (μ − 1)f_{μ−1} & μf_{μ} & μ + 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & & & ⋮ & ⋮ & ^{^{.}^{.} .} & ^{^{.}^{.} .} & ^{^{.}^{.} .} & ^{^{.}^{.} .} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & f_{1} & 2f_{2} & ⋯ & (μ − 2)f_{μ−2} & (μ − 1)f_{μ−1} & μf_{μ} & μ + 1 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 0 & 0 & f_{1} & ⋯ & (μ − 3)f_{μ−3} & (μ − 2)f_{μ−2} & (μ − 1)f_{μ−1} & μf_{μ} & μ + 1 \end{matrix} ],

ã =^{t} (λK_{k,x^{0}}^{λ}, λK_{k+1,x^{0}}^{λ}, ⋯, λK_{k+μ,x^{0}}^{λ}, −(k + 1)K_{k,x^{0}}^{λ}, −(k + 2)K_{k+1,x^{0}}^{λ}, ⋯, −(k + μ + 1)K_{k+μ,x^{0}}^{λ})

b̃ =^{t} (\frac{∂}{∂s_{0}} K_{k,x^{0}}^{λ}, \frac{∂}{∂s_{0}} K_{k+1,x^{0}}^{λ}, ⋯, \frac{∂}{∂s_{0}} K_{k+μ,x^{0}}^{λ}).

Après des calculs analogues au cas K^{λ}, pour μ + 1 intégrales K_{k,x^{0}}^{λ} := ^{t}(K_{k,x^{0}}^{λ}, K_{k+1,x^{0}}^{λ}, ⋯, K_{k+μ,x^{0}}^{λ}), on voit

(2.10)  (S̃\frac{∂}{∂s_{0}} − L̃′ − Ṽ (s′))K_{k,x^{0}}^{λ} = 0

pour

S̃ =

[ \begin{matrix}s_{0} − s̃_{0} & f_{1}(x, s′) & ⋯ & f_{μ−1}(x, s′) & f_{μ}(x, s′) \\ 0 \\ ⋮ & & S′(s) \\ 0 \end{matrix} ] ,

avec S′(s) = B_{f} · S(s) · C_{f} où B_{f}, C_{f} ∈ GL(μ, R) dont les composantes sont déterminées par les coefficients de f_{k}(x^{0}, s′), k = 1, ⋯, μ. Les autres matrices sont données comme suit:

L̃ = diag(λ + \frac{k}{μ + 1}, …, λ + \frac{k + μ}{μ + 1}),

et

Ṽ (s′) = [ \begin{matrix}0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ⋮ \\ V′(s′) & 0 & 0 \end{matrix} ] ,

avec V′(s′) ∈ End(R^{μ−2}) ⊗ R[s′]. De (2.10), on déduit

det(S̃\frac{∂}{∂s_{0}} − L̃ − Ṽ (s′))K_{k,x^{0}}^{λ}(s) + ∑_{j=1}^{μ} T̃_{j}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} )K_{k+j,x^{0}}^{λ}(s) = 0.

Ici, si on note (S̃\frac{∂}{∂s_{0}} − L̃ − Ṽ (s′)) = (p̃_{i,j})_{0≤i,j≤μ}, l’opérateur devant K_{k+j,x^{0}}^{λ}(s) est défini comme suit:

(2.9)′  T̃_{j}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) := ∑ sign(i_{0}, i_{1}, i_{2}, ⋯, i_{μ})p̃_{i_{μ},μ} ⋯ p̃_{i_{1},1}p̃_{i_{0},j}.

L’existence de l’opérateur T̃′_{j}(s, \frac{∂}{∂s}) t.q.

T̃′_{j}(s, \frac{∂}{∂s})K_{k,x^{0}}^{λ}(s) = T̃_{j}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} )K_{k+j,x^{0}}^{λ}(s),

découle des relations

(\frac{∂}{∂s_{0}} )K_{k+j,x^{0}}^{λ}(s) = (∑_{i=0}^{j} B_{ji}^{(k)} \frac{∂}{∂s_{i}})K_{k,x^{0}}^{λ}(s), 1 ≤ j ≤ μ − 1,

où les B_{ji}^{(k)} sont déterminés par

∑_{i=0}^{j} B_{ji}^{(k)}(x̄ + x^{0})^{i}x̄^{k} = x̄^{k+j}.

Pour K_{k+μ,x^{0}}^{λ},

(\frac{∂}{∂s_{0}} )K_{k+μ,x^{0}}^{λ}(s) = [− ∑_{j=0}^{μ−1}(B_{j}(x^{0}) + s_{j})\frac{∂}{∂s_{j}} + λ]K_{k,x^{0}}^{λ}(s),

où les B_{j}(x^{0}) sont t.q.

(x̄ + x^{0})^{μ} − x̄^{μ} = ∑_{j=0}^{μ−1} B_{j}(x^{0})(x̄ + x^{0})^{j}.

C.Q.F.D.

3. Une version forte du théorème d’isomonodromie

Dans cette section, nous établirons une version forte du théorème d’isomonodromie. Il s’agit de l’invariance du comportement asymptotique de l’intégrale K_{k}^{λ}(s_{0}, s′) (i.e. celle des expopsants caractéristiques) près du point singulier (régulier) s_{0} = s_{0}(s′) lors de transition le long d’une composante stratifiée de l’ensemble critique D = {s ∈ C^{μ}; Δ_{μ}(s) = 0}. D’après le théorème de Picard-Lefschetz et celui de Brieskorn [4], la monodromie du système de Gauss-Manin (2.5) est identifiée à la monodromie locale de Picard-Lefschetz:

Λ_{∗,s^{•}} : H_{1}(X_{s}^{(μ,ν)}, C) → H_{1}(X_{s}^{(μ,ν)}, C), s ∉ D, s^{•} ∈ D,

qui se réalise dans GL(μ, C). Ici on dénote par Λ_{∗,s^{•}} l’action du lacet Λ ∈ π_{1}(C^{μ} \D) autour d’un point s^{•} ∈ D qui agit sur le groupe d’homologie.

Avant de formuler le théorème, nous précisons la notion des exposants caractéristiques. Définition 3.1. Soit (s′, t(s′)) ∈ D = {(s′, t) ∈ C^{μ}; P_{m}(t, s′) = 0}, un point du lieu singulier D d’une équation différentielle du type de Fuchs (cf.[3] ):

(3.1)  P (s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t}) = [P_{m}(s′, t)(\frac{d}{dt}) + P_{m−1}(s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t}) + ⋯ + P_{0}(s′, t)]u(s′, t) = 0,

où

P_{m−j}(s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t}) = ∑_{α∈N^{μ−1},0≤|α|≤m−j} P_{m−j,α}(s′, t)(\frac{∂}{∂s′})^{α}(\frac{∂}{∂t})^{m−j−|α|}

avec α = (α_{1}, ⋯, α_{μ−1}), | α |= α_{1} + ⋯ + α_{μ−1}, (\frac{∂}{∂s})^{α} = (\frac{∂}{∂s_{1}} )^{α_{1}} ⋯ (\frac{∂}{∂s_{μ−1}} )^{α_{μ−1}}. L’opérateur du type de Fuchs P (s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t}) est dit à multiplicité κ le long de D près du point (ṡ′, t(ṡ′)) ∈ D, si les conditions suivantes sont satisfaites pour ses coefficients P_{m−j,α}(s′, t). On comprend par t = t(s′) l’équation locale de D. D’abord on demande que la décomposition

P_{m}(s′, t) = (t − t(s′))^{κ}Q_{m}(s′, t),

ait lieu près de (ṡ′, t(ṡ′)) avec Q_{m}(ṡ′, t(ṡ′)) ≠ 0. Deuxièmement, on suppose que (t − t(s′))^{κ−j} | P_{m−j,α}(s′, t) pour tout 0 ≤ j ≤ κ et α ∈ N^{μ−1}. Alors il est possible de voir que l’expression suivante donne naisssance à un polynôme en ρ,

Π_{0}(ρ, s′) = (t − t(s′))^{−ρ}[P (s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t})](t − t(s′))^{ρ} |_{t=t(s′)}

= Q_{m}(s′)ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − m + 1) + Q_{m−1}(s′)ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − m + 2) + ⋯ +
(3.2)  +Q_{m−κ+1}(s′)ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − m + κ) + Q_{m−κ}(s′)ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − m + κ + 1),

pour une collection de fonctions semi-algébriques Q_{m}(s′), ⋯, Q_{m−κ}(s′).

L’équation algébrique en ρ, Π_{0}(ρ, s′) = 0 se nomme l’équation déterminante relative de l’opérateur P (s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t}) au point (s′, t(s′)).

Lemme 3.2. Au voisinage de son point singulier régulier t = t(s′), le comportement asymptotique des msolutions u_{1}(s′, t), ⋯, u_{m}(s′, t) de l’équation du type de Fuchs (3.1) est détérminé exactement (pas modulo Z) par les exposants caractéristiques de P (s′, t, \frac{∂}{∂s′} , \frac{∂}{∂t}) à t = t(s′). Cela veut dire que comme m solutions on peut prendre

u_{j,ℓ}(s′, t) ∼ (t − t(s′))^{ρ_{j}}(ln(t − t(s′)))^{ℓ} ∑_{k≥0} a_{k}^{(j,ℓ)}(s′)(t − t(s′))^{k}, 0 ≤ ℓ ≤ L_{j} − 1,

où L_{j} est la multiplicité de racine ρ_{j} dans l’équation déterminante (3.2), ∑_{j} L_{j} = m. En plus a_{0}^{(j,ℓ)} ≠ 0.

Quant à démonstration de cet énoncé, ce n’est qu’une modification à la version en plusieurs variables (une variable plus plusieurs paramètres) des résultats classiques sur l’équation du type de Fuchs. A ce propos, je renvoie les lecteurs au livre classique de Coddington-Levinson, ou d’Ince qui explique la méthode de Frobenius.

Avant de formuler le théorème d’isomonodromie, nous établirons ici un lemme et y introduisons la notion de stratification logarithmique. Notons par Der_{C^{μ}}(log D)(p), p ∈ D le sous-espace vectoriel de l’espace tangent T_{p}C^{μ} qui consiste des valeurs δ(p) de vecteurs logarithmiques δ ∈ Der_{C^{μ}}(log D), introduits par K.Saito [14]. Ici δ est un vecteur à coefficients polynomiaux tangent à D.

D’abord on définit l’ensemble D(i_{1}, ⋯, i_{k+1}) comme un sous-ensemble de D sur lequel les (k+1)− vecteurs logarithmiques ξ_{i_{1}}, ⋯, ξ_{i_{k+1}} ∈ Der_{C^{μ}}(log D) sont exprimés par ξ_{j_{1}}, ⋯, ξ_{j_{μ−k−1}} avec {j_{1}, ⋯, j_{μ−k−1}} = {0, ⋯, μ − 1} \{i_{1}, ⋯, i_{k+1}}. C’est à dire, si s ∈ D(i_{1}, ⋯, i_{k+1}), alors il existe des fonctions semi-algébriques non nulles A_{j_{ℓ}}^{p}(s′),A_{i_{p}}^{p}(s′) ∈ C[s_{0}(s′), s′], 1 ≤ p ≤ k + 1, 1 ≤ ℓ ≤ μ − k − 1 t.q.

A_{i_{p}}^{p}(s′)ξ_{i_{p}}(s) = ∑_{ℓ=1}^{μ−k−1} A_{j_{ℓ}}^{p}(s′)ξ_{j_{ℓ}}(s), 1 ≤ p ≤ k + 1.

sur π(D(i_{1}, ⋯, i_{k+1})). Ici π : C_{s}^{μ} → C_{s′}^{μ−1} dénote la projection sur C_{s′}^{μ−1}. En fait A_{•}^{p}(s′) sont données par des mineurs (μ − k − 1) × (μ − k − 1) de S(s_{0}(s′), s′).

On se place dorénavant dans le complément de l’ensemble de Maxwell du polynôme (2.1). L’ensemble de Maxwell M ⊂ D est l’ensemble des s pour lesquels l’équation F (z, s′)+s_{0} = 0 possède plusieurs points critiques indépendants qui donnent la même valeur critique (ex.μ = 3, s_{0} = \frac{s_{2}^{2}}{4} , s_{1} = 0 ). Notons l’ensemble de Maxwell par M et D_{M} := D \ M. L’ensemble de Maxwell lui même est stratifié.

Lemme 3.3. i) Le point p appartient à l’ensemble D_{M}(i_{1}, ⋯, i_{k+1}) si et seulement s’il existe μ − k − 1 vecteurs linéairement indépendants δ_{j_{1}}(p), ⋯, δ_{j_{μ−k−1}}(p) ∈ Der_{C^{μ}}(log D)(p). Cela veut dire que l’ensemble D_{M}(i_{1}, ⋯, i_{k+1}) est déterminé uniquement par le nombre μ − k − 1 des vecteurs logarithmiques indépendants sur lui. On note tel ensemble par D_{M}^{(k)}.

ii) On a la structure de stratification comme suit:

D_{M} = D̄_{M}^{(0)} ⊃ D̄_{M}^{(1)} ⊃ D̄_{M}^{(2)} ⊃ ⋯ ⊃ D^{(μ−1)} = {0}.

L’ensemble D_{M}^{(k)} est une strate de codimension un dans D̄_{M}^{(k−1)}. A chaque point p de la strate D_{M}^{(k)}, on a rangDer(logD)(p) = μ − k − 1. (La stratification logarithmique de K.Saito, [14].)

iii) La strate D_{M}^{(k)} peut être défini par les mineurs (μ − k) × (μ − k) de la matrice S(s).

iv) Si s ∈ D_{M}^{(k)}, alors F (z, s′) + s_{0} = 0 possède une racine d’ordre k + 2.

Remarque 2. Si on prend une strate M^{α} de l’ensemble de Maxwell et un point sur lui p ∈ M^{α}, alors rangDer(logD)(p) > μ − 1 − codim_{D}M^{α}.

Démonstration

Pour démontrer l’énoncé i), on procède par induction. Tout d’abord, par définition de D(i_{1}, ⋯, i_{k+1}) il est évident que D_{M}(μ − 1) = D_{M}(ℓ), ℓ = 0, ⋯, μ − 2. Ensuite supposons que s ∈ D_{M}(μ − 2, μ − 1) ⊂ D_{M} et montrons que s ∈ D_{M}(i_{0}, i_{1}), pour n’importe quelle paire {i_{0}, i_{1}} ⊂ {0, ⋯, μ − 1}. L’hypothèse s ∈ D_{M}(μ − 2, μ − 1) entraîne qu’il existe deux collections de fonctions semi-algébriques non nulles (c_{0}(s′), ⋯, c_{μ−1}(s′)) ∈ C[s_{0}(s′), s′] et (c′_{0}(s′), ⋯, c′_{μ−2}(s′), 0)∈ C[s_{0}(s′), s′] telles que

(3.3)  (c_{0}(s′), ⋯, c_{μ−1}(s′)) · S(s_{0}(s′), s′) = 0
(3.3)′  (c′_{0}(s′), ⋯, c′_{μ−2}(s′), 0) · S(s_{0}(s′), s′) = 0,

pour s′ ∈ π(D_{M}(μ − 2, μ − 1)). Et il est impossible de trouver de fonctions semi-algébriques non nulles (c′′_{0}(s′), ⋯, ˇ0^{j_{1}}, ⋯, ˇ0^{j_{2}}, ⋯, c′′_{μ−1}(s′)) telles que

(3.4)  (c′′_{0}(s′), ⋯, ˇ0^{j_{1}}, ⋯, ˇ0^{j_{2}}, ⋯, c′′_{μ−1}(s′)) · S(s_{0}(s′), s′) = 0,

pour s′ ∈ π(D_{M}(μ − 2, μ − 1)). Il faut remarquer que la dernière condition entraîne qu’aucun de mineurs (μ − 2) × (μ − 2) de S(s) ne s’annule. Car si pour les indices {k_{0}, ⋯, k_{μ−3}}, 0 ≤ k_{0} < ⋯ < k_{μ−3} ≤ μ − 1, les mineurs (μ − 2) × (μ − 2) s’annulent i.e.

S(_{j_{3},··· ,j_{μ}}^{k_{0},··· ,k_{μ−3}}) = 0,

avec {j_{3}, ⋯, j_{μ}} = {1, ⋯, μ} \{j_{1}, j_{2}}, alors on peut trouver une collection de fonctions comme (3.4).

Revenons à la condition de dégéneréscence de μ − 1 vecteurs logarithmiques. Pour obtenir une relation linéaire non-triviale entre ξ_{0}, ⋯, ξ_{i_{0}−1}, ξ_{i_{0}+1}, ξ_{μ−1}, il est suffisant de prendre la différence entre c′_{i_{0}}(3.3) et c_{i_{0}}(3.3)′. Il est facile de se convaincre que tous les coefficients c′_{i_{0}}c_{0} − c′_{0}c_{i_{0}}, ⋯, c′_{i_{0}}c_{μ−2} − c′_{μ−2}c_{i_{0}}, c_{μ−1}c′_{i_{0}} sont non nuls sauf celui correspondant à ξ_{i_{0}}. Car, sinon, il existe un mineur (μ − 2) × (μ − 2) dégénéré de S(s) et on est alors dans la situation de (3.4). On a ainsi obtenu l’expression suivante avec certaines fonctions A_{i_{1}}^{1}(s′), A_{j_{ℓ}}^{1}(s′) ≠ 0,

A_{i_{1}}^{1}(s′)ξ_{i_{1}}(s_{0}(s′), s′) = ∑_{j_{ℓ}≠i_{0},i_{1}} A_{j_{ℓ}}^{1}(s′)ξ_{j_{ℓ}}(s_{0}(s′), s′),

pour i_{1} ≠ i_{0}. Quant à l’expression semblable pour ξ_{i_{0}}, on prend la différence entre c′_{i_{1}}(3.3) et c_{i_{1}}(3.3)′. Ainsi l’énoncé i) est démontré pour k = 1.

Les démarches démandées pour accomplir la démonstration de i) pour la strate de codimension k > 1 sont analogues à l’argument ci-dessus.

Bien évidemment, cette démarche ne s’applique pas aux strates de Maxwell. Par example la strate générique M^{(0)} de M est de codimension un dans D, mais il existe μ − 1 vecteurs logarithmiques ξ_{1}, ⋯, ξ_{μ−1}, qui sont linéairement indépendants sur M^{(0)}.

L’énoncé ii) est un corollaire de iii).

La démonstration de l’énoncé iii) s’appuie sur l’argument suivant. Si un des mineurs k × k de la matrice S(s) s’annulent au point s ∈ D alors tous les autres mineurs s’annulent aussi à ce point là. Par exemple, même si la strate D(i_{0}, i_{1}) est définie par _{μ−1}C_{μ−2} mineurs dans D, la codimension de celui-ci dans D est égale à 1. Cela apparaît dans la démonstration de i). Ainsi la strate D(i_{0}, ⋯, i_{k}, i_{k+1}) est un ensemble de la codimension un de la strate D(i_{0}, ⋯, i_{k}).

Par conséquence de iii), l’équation Δ_{μ}(s_{0}, s′) = det S(s) = 0 possède une racine d’ordre (k + 1) s_{0} = s_{0}(s′) sur D_{M}^{(k)}, ce qui donne iv) par les résultats classiques sur le discriminant. C.Q.F.D.

Maintenant nous sommes susceptibles de formuler le théorème d’isomonodoromie renforcé pour les opérateurs introduits dans la Proposition 2.5,

P(s, \frac{∂}{∂s}) = Δ_{μ}(s)(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{μ} + P_{μ−1}(s, \frac{∂}{∂s}) + ⋯ + P_{1}(s, \frac{∂}{∂s}) + P_{0}(s)

= Δ_{μ}(s)(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{μ} + ∑_{1≤j≤μ} P_{μ−j}(s)(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{μ−j},

et

P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) = (s_{0} − s̃_{0})Δ_{μ}(s)(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{μ+1} + P_{μ,x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) + ⋯ + P_{1,x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) + P_{0,x^{0}}^{(ℓ)}(s),

= (s_{0} − s̃_{0})Δ_{μ}(s)(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{μ+1} + ∑_{1≤j≤μ+1} ∑_{α∈N^{μ−1},} P_{μ−j+1,α,x^{0}}^{(ℓ)}(s)(\frac{∂}{∂s′})^{α}(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{μ+1−j−|α|},

pour ℓ ≥ 1.

Introduisons une structure stratifiée du lieu de ramification associé à l’opérateur P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}). Notamment nous définissons les strates,

D̃_{M}^{(k)} := D_{M}^{(k)} ∩ {(s_{0}, s′); s_{0} = s̃_{0}}, k = −1, 0, 1, ...
D_{M,−}^{(k)} := D_{M}^{(k)} \ {s_{0} = s̃_{0}}.

Eventuellement,

D̃_{M}^{(−1)} := {s_{0} = s̃_{0}} \ D.

Ici et dans la suite on note s̃_{0} = −F (x^{0}, s′).

Théorème 3.4. (Théorème d’isomonodromie renforcé)

i) L’équation déterminante de l’opérateur P(s, \frac{∂}{∂s}) est de multiplicité constante le long de la strate D_{M}^{(k)}. C’est à dire au voisinage de chaque point singulier (s_{0}(s′), s′) ∈ D_{M}^{(k)}

P_{μ}(s) = Δ_{μ}(s) = (s_{0} − s_{0}(s′))^{k+1}Q_{μ,k}(s_{0}, s′)
P_{μ−j}(s) = (s_{0} − s_{0}(s′))^{k−j+1}Q_{μ−j,k}(s_{0}, s′), 1 ≤ j ≤ k + 1,

pour s′ ∈ π(D_{M}^{(k)}). Ici les polynômes Q_{μ−j,k}(s_{0}, s′) sont des polynômes de degré μ − k − 1 en variable s_{0} t.q. Q_{μ,k}(s_{0}, s′) ≠ 0 sur la strate D_{M}^{(k)}.

La même décomposition a lieu au point (τ^{μ+1}s_{0}, τ^{μ}s_{1}, ⋯, τ^{2}s_{μ−1}), τ > R_{+}.

ii) Pour l’opérateur P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}), sur la strate D̃_{M}^{(k)}, on a la factorisation suivante de ses coefficients:

P_{μ+1,x^{0}}^{(ℓ)}(s) = (s_{0} − s̃_{0})Δ_{μ}(s) = (s_{0} − s̃_{0})^{k+2}Q_{μ+1,k,x^{0}}^{ℓ}(s_{0}, s′)
P_{μ−j+1,α,x^{0}}^{(ℓ)}(s) = (s_{0} − s̃_{0})^{k−j+2}Q_{μ+1−j,k,α,x^{0}}^{ℓ}(s_{0}, s′), 1 ≤ j ≤ k + 2, | α |= 0, 1,

avec Q_{μ+1,k,x^{0}}^{ℓ}(s_{0}, s′) ≠ 0.

Sur la strate D_{M,−}^{(k)}, on a la factorisation suivante pour les coefficients:

P_{μ−j+1,α,x^{0}}^{(ℓ)}(s) = (s_{0} − s_{0}(s′))^{k−j+1}Q_{μ+1−j,k,α,x^{0}}^{ℓ}(s_{0}, s′), 1 ≤ j ≤ k + 1, | α |= 0, 1,

avec s_{0}(s′) ≠ s̃_{0} et Q_{μ+1,k,x^{0}}^{ℓ}(s_{0}, s′) ≠ 0.

iii) Les exposants caractéristiques de l’opérateur P(s, \frac{∂}{∂s}) au point singulier (s_{0}(s′), s′) ∈ D_{M}^{(k)} ⊂ D_{M} ne changent pas lors de la translation du point (s_{0}(s′), s′) vers un autre point (s_{0}(t′), t′) ∈ D_{M}^{(k)} ⊂ D_{M} le long de la strate D_{M}^{(k)} ⊂ D_{M}. D’une façon analogue, les exposants caractéristiques de P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) ne changent pas lors de la translation le long des strates D̃_{M}^{(k)}, D_{M,−}^{(k)} ⊂ D_{M}.

Remarque 3. C’est un énoncé renforcé d’une assertion du type suivant: “La représentation du groupe de monodromie autour du point x dans GL(μ, C) ne change pas lors de la translation le long d’une strate de l’ensemble critique sur laquelle se trouve le point de départ x.”

Cette assertion découle d’un théorème bien connu de E.Brieskorn (Satz 1, III , [4]) ”La monodromie de l’opérateur différentiel singulier ∇_{f,x} peut être identifié avec la monodromie locale de Picard-Lefschetz de f(z) = F (z, s′) ( chez nous F (z, s′) = z^{μ+1} + s_{μ−1}z^{μ−1} + … + s_{1}z) à x = −s_{0}. ” La version de Picard-Lefschetz par F.Pham pour l’intégrand ramifié ([11], [16]) permet d’identifier la monodromie de Picard-Lefschetz genéralisée avec la monodromie de l’opérateur différentiel qui annule les intégrales correspondantes (i.e. chez nous S \frac{∂}{∂s_{0}} − L − V (s′)). L’invariance des exposants de monodromie le long de la strate μ = const. est connue depuis Varchenko [15]. Pour autant qu’il s’agisse de l’intégrale hyperelliptique généralisée, notre théorème est une version forte de celui de Varchenko, car nous constatons l’invariance de μ (ou bien μ + 1 ) exposants pour chaque intégrale I_{ω}(t), pourtant Varchenko a démontré l’invariance du minimum de ces μ exposants.

Démonstration du Théorème 3.4

D’abord on montre l’énoncé i).

Nous commençons par l’énoncé sur la multiplicité de P_{μ−j}(s). L’enoncé sur la multitiplicité de P_{μ}(s) est une conséquence immediate de la Proposition 2.5 et du Lemme 3.3. Pour démontrer l’énoncé pour P_{μ−j}(s), j > 0, nous modifions la matrice P(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) = (S \frac{∂}{∂s_{0}} − L − V (s′)) en une autre matrice P^{I}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ), I = (i_{1}, ⋯, i_{j}) ⊂ {0, 1, ⋯, μ − 1} dont le i_{γ}−ème rayon est remplacé par (0, 0, ⋯, 0, ˇ1^{i_{γ}} , 0, ⋯, 0), γ = 1, ⋯, j. D’après la Proposition 2.5 i) on voit que P_{μ−j,0}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) est une somme de termes d’ordre μ−j des opérateurs detP^{I}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ), I ∈ \{ | I |= j; I ⊂ \{0, 1, ⋯, μ − 1\}\}. Cet argument entraîne que le coefficient de P_{μ−j}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) peut être exprimé par une somme de mineurs (μ − j) × (μ − j) de la matrice S(s).

Puisque S(s) = s_{0}id_{μ} +C(s′), et rankS(s) = μ−1−k pour s ∈ D_{M}^{(k)}, la matrice S(s) est diagonalisable pour s assez proche de D_{M}^{(k)}. L’absence de blocs de Jordan non-triviaux est garanti par le Lemme 2.4. Autrement dit, il existe une matrice B(s′) ∈ GL(μ, C[s′]) sur π(D_{M}^{(k)}) telle que,

B(s′)^{−1}S(s)B(s′) = diag(s_{0} − s_{0,1}(s′), ⋯, s_{0} − s_{0,1}(s′), s_{0} − s_{0,2}(s′), ⋯, s_{0} − s_{0,μ−k−1}(s′))

où s_{0,i}(s′) ≠ s_{0,j}(s′) si i ≠ j, le terme s_{0} − s_{0,1}(s′) apparaît k + 1 fois.

Evidemment, les mineurs (μ − j) × (μ − j) de la matrice B(s′)^{−1}S(s)B(s′) contiennent le facteur (s_{0} − s_{0,1}(s′))^{k−j+1}, 0 ≤ j ≤ k + 1. Ici on se souvient de la formule de Binet-Cauchy qui exprime les mineurs p × p d’une matrice AB au moyen des mineurs p × p des matrices A et B,

S(_{j_{1},··· ,j_{p}}^{i_{1},··· ,i_{p}}) = ∑_{1≤k_{1}<···<k_{p}≤μ,1≤ℓ_{1}<···<ℓ_{p}≤μ} B(_{k_{1},··· ,k_{p}}^{i_{1},··· ,i_{p}})(B^{−1}SB)(_{ℓ_{1},··· ,ℓ_{p}}^{k_{1},··· ,k_{p}})(B^{−1})(_{j_{1},··· ,j_{p}}^{ℓ_{1},··· ,ℓ_{p}}).

On en déduit que les mineurs (μ−j)×(μ−j) de la matrice S(s) aussi contiennent le facteur (s_{0}−s_{0,1}(s′))^{k−j+1}. Ainsi on a démontré

P_{μ−j}(s) = (s_{0} − s_{0,1}(s′))^{k−j+1}(polynôme de degré μ − k − 1 en s_{0}), 0 ≤ j ≤ k + 1.

Ceci achève la démonstration de i) pour ℓ = 0.

Démonstration de iii) pour ℓ = 0. Puisque la strate D_{M}^{(k)} constitue en plusiers composantes disjointes la démonstration sera divisée en deux étapes. Chaque composante est rétractible par l’action de quasihomogéneiété,

(3.5)  τ : (s_{0}, ⋯, s_{μ−1}) → (t^{μ+1}s_{0}, t^{μ}s_{1}, ⋯, t^{2}s_{μ−1}), t ∈ C^{×}.

Etape 1. Invariance sur une composante.

Supposons que les deux points (s_{0,1}(s′), s′), (s_{0,1}(t′), t′) ∈ D_{M}^{(k)} à petite distance ϵ l’un de l’autre.

Grâce à l’énoncé i), on a les équations déterminantes correspondant à ces points (voir (3.2) ):

(3.6)  Π_{0}(ρ, s′) = ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − μ + k + 2)Q(ρ, s′),
(3.7)  Π_{0}(ρ, t′) = ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − μ + k + 2)Q(ρ, t′),

où Q(ρ, s′) un polynôme de degré (k + 1) en ρ. Il est évident que les deux équations (3.6) et (3.7) possèdent les racines communes ρ = {0, 1, 2, ⋯, μ − k − 2}. Par contre, chacune a des racines {ρ_{μ−k−1}(s′) ≤ ⋯ ≤ ρ_{μ−1}(s′)} et {ρ_{μ−k−1}(t′) ≤ ⋯ ≤ ρ_{μ−1}(t′)} qui peuvent être différentes, mais pour certain petit δ(ϵ) > 0,

(3.8)  | ρ_{j}(t′) − ρ_{j}(s′) |< δ(ϵ).

D’après le théorème de E.Brieskorn - F.Pham cité ci-dessus (Remarque 3), on sait que

e^{iρ_{μ−k−1}(s′)} = e^{iρ_{μ−k−1}(t′)}, ⋯, e^{iρ_{μ−1}(s′)} = e^{iρ_{μ−1}(t′)}.

Ça veut dire que le racine ρ_{j}(s′) doit être à distance entière de ρ_{j}(t′). La continuité (3.8) entraîne l’invariance des racines eux-mêmes lors de la transition

(s_{0}(s′), s′) → (s_{0}(t′), t′) ∈ D_{M}^{(k)},

i.e.

ρ_{μ−k−1}(s′) = ρ_{μ−k−1}(t′), ⋯, ρ_{μ−1}(s′) = ρ_{μ−1}(t′).

Etape 2. Aux points en symétrie.

L’appartenance d’un point (s′, s_{0}(s′)) à D_{M}^{(k)} veut dire qu’il existe un polynôme q(z − ż) de degré μ − k − 1, tel que q(0) ≠ 0 et

F (z, s′) + s_{0}(s′) = (z − ż)^{k+2}q(z − ż),

pour certain ż ∈ C. Grâce à la rétraction (3.5) et l’étape 1, il suffit de vérifier la coincidence des exposants caractéristiques à des points avec s_{0} = 1 se trouvant sur les diverses composantes.

Notons ż_{u} = −ω^{u}, 0 ≤ u ≤ k + 1 pour ω = e^{i \frac{2πi}{k+2}} . On remarque qu’il existe deux écritures pour F (z, s′) + 1 à ces points i.e.

F (z, s′) + 1 = (z − ż_{u})^{k+2}(q_{μ−k−1,u}(z − ż_{u})^{μ−k−1} + ⋯ + q_{1,u}(z − ż_{u}) + q_{0,u}) = z^{μ+1} + s_{μ−1,u}z^{μ−1} + ⋯ + s_{1,u}z + 1

Si on regarde les dérivées (\frac{∂}{∂z})^{i}F (z, s′), 0 ≤ i ≤ μ + 1 et si on compare les résultats de deux expressions ci-dessus, on obtient des équations linéaires entre (q_{0,u}, ⋯, q_{μ−k−1,u}) et (s_{1,u}, ⋯, s_{μ−1,u}). En résolvant ces équations, on obtient s_{j,u} = ω^{u(μ−j+1)}s_{j,0} et q_{μ−k−j,u} = ω^{u(j−1)}q_{μ−k−j,0}. Cela veut dire que D^{(k)} possède k +2 composantes connexes qui sont représentées par

d_{u} = (1, s_{1,u}, ⋯, s_{μ−1,u}) = (1, ω^{uμ}s_{1,0}, ω^{u(μ−1)}s_{2,0}, ⋯, ω^{2u}s_{μ−1,0}), 0 ≤ u ≤ k + 1.

Parmi les exposants en question, uniquement les k + 1 exposants non-entiers importent car les autres sont forcément {0, 1, ⋯, μ − k − 2} pour tous les d_{u}. Donc, en vertu de la Proposition 2.5, afin de comparer les exposants aux points d_{u}, 0 ≤ u ≤ k + 1, il suffit de comparer ρ_{u}^{(i)} des intégrales ci-dessous

I_{u}^{(i)}(t) = ∫_{Reg(δ_{i,u}(t))}(F (z, s′) + 1 − t)^{λ}dz ∼ v_{0,u}^{(i)}t^{ρ_{u}^{(i)}}(1 + O(t^{\frac{1}{k+2}} )).

Ici δ_{i,u}(t) le cycle évanescent qui converge vers ż_{u} lorsque t → 0, 1 ≤ i ≤ k + 1. On peut supposer que δ_{i,u}(t) = ω^{u} · δ_{i,0}(t). Pour analyser les exposants ρ_{u}^{(i)}, faisons le changement de variable analytique z → Z_{u} près de z = ż_{u}

Z_{u} = w_{1,u}(z − ż_{u}) + ∑_{i≥2} w_{i,u}(z − ż_{u})^{i}

tel que F (z, s′) + 1 = Z_{u}^{k+2}. Ceci est possible vu que

\frac{1}{(k + 2)!}(\frac{∂}{∂z})^{k+2−j}F (ż_{u}, s′) = δ_{0,j}q_{0,u}.

Alors

I_{u}^{(i)}(t) = ∫_{Reg(δ̃_{i,u}(t))}(Z_{u}^{k+2} − t)^{λ}(\frac{∂Z_{u}}{∂z})^{−1}dZ_{u} ∼ ∑_{j≥0} v_{j,u}^{(i)}t^{λ+ \frac{1+j}{k+2}} ,

où δ̃_{i,u}(t) est l’image du cycle δ_{i,u}(t) par le changement du variable z → Z_{u}.

Il faut remarquer que les coefficients du changement du variable w_{i,u} sont des fonctions quasihomogènes de q_{0,u}, ⋯, q_{μ−k−j,u}. Notamment

w_{i,u}(τ^{μ−k−1}q_{0,u}, τ^{μ−k−2}q_{1,u}, ⋯, τq_{μ−k−2,u}) = τ^{−i}w_{i,u}(q_{0,u}, ⋯, q_{μ−k−2,u}).

On peut déduire de la quasihomogénéité,

w_{i,u}(q) = ω^{−ui}w_{i,0}(q).

Par conséquence, les coefficients du développement de I_{u}^{(i)}(t) aussi satisfont la relation analogue:

v_{j,u}^{(i)} = (ω^{u})^{βi}v_{j,0}^{(i)},

pour certain β ∈ Q. Ce dernier entraîne que

(ρ_{u}^{(1)}, ⋯, ρ_{u}^{(k+1)}) = (ρ_{0}^{(1)}, ⋯, ρ_{0}^{(k+1)})

pour tous les u, 1 ≤ u ≤ k + 1.

Ceci achève la démonstration de l’étape 2.

Le cas P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}), ℓ ≥ 1. Pour voir que le terme d’ordre maximal μ + 1 de l’opérateur P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) est égal à (s_{0} − s̃_{0})Δ_{μ}(s), il suffit de remarquer dans la Proposition 2.5, ii),

detΣ̃ = (F (x^{0}, s′) + s_{0})Δ_{μ}(s) = (s_{0} − s̃_{0})Δ_{μ}(s).

On peut voir d’après la construction de l’opérateur P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) que la longueur de l’indice | α | prend uniquement les deux valeurs 0 et 1. La partie det(S̃\frac{∂}{∂s_{0}} −L̃−Ṽ (s′)) produit les opérateurs avec α = 0, pourtant les T̃′_{r}(s, \frac{∂}{∂s}) produisent ceux avec α = e_{i} = (0, ⋯, 0, ˇ1^{i}, 0, ⋯, 0). Une égalité evidente se déduit de la même Proposition,

{ mineurs (j × j) de S′(s)} = { mineurs (j × j) deS(s)}, 1 ≤ j ≤ μ + 1.

Donc, le raisonnement sur la multiplicité du facteur (s_{0} − s_{0,1}(s′))^{k−j+1} dans les coefficients P̃_{μ−j,0,x^{0}}^{(ℓ)}(s), est parallèl à celui de P_{μ−j}.

Quant à la multiplicité de P̃_{μ−j,e_{i},x^{0}}^{(ℓ)}(s), elle est déterminée par les coefficients de T̃′_{r}(s, \frac{∂}{∂s}) i.e. ceux de l’opérateur T̃_{r}(s, \frac{∂}{∂s_{0}} ) introduit dans (2.9)’. De cette définition il est possible de voir que

P̃_{μ−j,e_{i},x^{0}}^{(ℓ)}(s) = (s_{0} − s_{0,1}(s′))^{k−j+1}(polynôme de degré μ − k − 1 en s_{0}), 1 ≤ j ≤ k + 1,

sur la strate D_{M}^{(k)}.

C’est à dire, un point de (s′, s_{0}(s′)) ∈ D_{M}^{(k)} appartient à la strate D̃_{M}^{(k)} = D_{M}^{(k)} ∩ {s_{0} = s̃_{0}} si et seulement si (s_{0} − s̃_{0})^{k−j+2} | P_{μ−j+1,α,x^{0}}^{(ℓ)}(s′, s_{0}) pour s′ t.q. s_{0}(s′) = s̃_{0}, et 1 ≤ j ≤ k + 1. Le résultat sur la strate D_{M,−}^{(k)} s’en déduit aussi immédiatement.

Quant à l’énoncé ii), il suffit d’écrire de nouveau l’équation déterminante comme (3.6), (3.7), et appliquer le même argument. C.Q.F.D.

Remarque 4. i) Soit s_{0} = s̃_{0} = −F (x^{0}, s′) un point singulier de l’opérateur P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) t.q. (s′, s̃_{0}) ∈ D_{M}^{(−1)}. En dépit de la présence de singularités, pour Δ_{j} = ξ^{(j)} − ξ^{(j−1)}, j = 2, ⋯ μ + 1, un cycle évanescent de F (x, s′) + s_{0} = 0, K_{k,x^{0},Δ_{j}}^{λ}(s) est holomorphe au point s_{0} = s̃_{0}. Autrement dit, K_{k,x^{0},γ^{j}}^{λ}(s) ne se ramifie qu’aux μ points de D_{M}. Cela découle du fait que l’indice d’intersection entre le cycle γ^{0} introduit dans Remarque 1 iii) et γ^{j} est égal à 0.

ii) Si on obtient ρ_{1}, ⋯, ρ_{μ+1} comme exposants caractéristiques de P_{x^{0}}^{(ℓ)}(s, \frac{∂}{∂s}) à s_{0} = s_{0}(s′), il existe un cycle γ_{i} ∈ H_{1}(X_{s}^{(μ,ν)}, C), tel que

∫_{Reg(γ_{i})}(x − x^{0})^{k}(F (x, s′) + s_{0})^{λ}dx ∼ ∑_{j≥0} a_{i,j}^{(k)}(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ_{i}+j}.

4. Calcul des exposants caractéristiques

Dès qu’on a établit le théorème d’isomonodromie (Théorème 3.4) le long des strates D_{M,−}^{(k)}, D̃_{M}^{(k)} il est possible

de calculer l’équation déterminante des exposants pour s′ ∈ D_{M,−}^{(k)} etc. à l’autre point s′^{•} ∈ D_{M,−}^{(k)} etc. pour lequel le calcul se facilite. Le lieu de ramification de l’intégrale K_{0}^{λ}(s) est simplement stratifié par les strates D_{M,−}^{(k)}. Quant à K_{k,x^{0},γ}^{λ}(s), son lieu de ramification a des strates D_{M,−}^{(k)}, D̃_{M}^{(k)}. Dès que on a posé la condition

que F (x, s′) de (1.1.1) n’ait que la singularité du type de Morse, on se restreint aux strates de types D_{M,−}^{(0)}, D̃_{M}^{(0)} qui peuvent être representées par les points suivants:

(s_{0}, s_{1}, 0, ⋯, 0) ∈ D_{M,−}^{(0)}, , s_{1} ≠ 0, Δ_{μ}(s_{0}, s_{1}, 0, ⋯, 0) = 0,
(s_{0}, 0, s_{2}, 0, ⋯, 0) ∈ D̃_{M}^{(0)}, , s_{2} ≠ 0, Δ_{μ}(s_{0}, 0, s_{2}, 0, ⋯, 0) = 0.

Ici on remarque que (s_{0}, 0, s_{2}, 0, ⋯, 0) appartient à l’ensemble de bifurcation si μ est impair. Ce cas sera donc exclu dans les calculs suivants.

La propostion ci-dessus sert de base à l’analyse asymptotique de l’intégrale K_{k,x^{0}}^{λ}(s) près de ses points de ramification. Par la suite on notera K_{k}^{λ}(s) = K_{k,0}^{λ}(s), avec x^{0} = 0.

Proposition 4.1. L’intégrale de périodes K_{0}^{λ}(s_{0}, s_{1}, 0, ⋯, 0) (noté desormais K_{0}^{λ}(s_{0}, s_{1})) satisfait l’équation du type de Fuchs de degré μ.

(4.1).  [∏_{j=0}^{μ−1}(ϑ_{s_{0}} − ℓ_{j} + j − λ) + \frac{s_{1}}{μ + 1}ψ^{μ}]K_{0}^{λ}(s_{0}, s_{1}) = 0

En revanche, les intégrales K_{k}^{λ}(s_{0}, s_{1}), définies parallèlement à K_{0}^{λ}(s_{0}, s_{1}), satisfont les équations suivantes:

(4.2)  [(ϑ_{s_{0}} − ℓ_{k−1} + μ − 1 − λ) ∏_{j=0}^{μ−1}(ϑ_{s_{0}} − ℓ_{k+j} + j − λ) + \frac{s_{1}}{μ + 1}ψ^{μ}(ϑ_{s_{0}} − k − 1 − λ)]K_{k}^{λ}(s_{0}, s_{1}) = 0.

Supposons μ = 2m + 2. Alors les opérateurs différentiels qui annulent K_{j}^{λ}(s_{0}, 0, s_{2}, 0), 0 ≤ j ≤ μ − 1, sont d’ordre (μ + 1) :

S_{0,j−1}(ϑ_{s_{0}} + μ − 1 − j, λ)T_{0,m−1}(ϑ_{s_{0}} + m − j + 1, λ) S_{j,m}(ϑ_{s_{0}} − j, λ)(ϑ_{s_{0}} − (λ + \frac{μ}{μ+1}) + μ − 1 − j)K_{2j}(s_{0}, 0, s_{2}, 0)

(4.3)_{2j,o}  = (\frac{2s_{2}}{ν + 2})^{2}ϕ^{2m+1}(ϑ_{s_{0}} − (λ + \frac{1}{2} + j))K_{2j}(s_{0}, 0, s_{2}, 0),

T_{0,j−1}(ϑ_{s_{0}} + ν − j, λ)S_{0,m−1}(ϑ_{s_{0}} + m − j + 1, λ)T_{j,m}(ϑ_{s_{0}} − m, λ)(ϑ_{s_{0}} − (λ + \frac{μ−1}{μ+1}) + μ − j − 2)K_{2j+1}(s_{0}, 0, s_{2}, 0)

(4.3)_{2j+1,o}  = (\frac{2s_{2}}{μ + 1})ϕ^{2m+1}(ϑ_{s_{0}} − (λ + j + m + \frac{3}{2}))K_{2j+1}(s_{0}, 0, s_{2}, 0).

Ici on a adopté la notation

ϑ_{s_{0}} = s_{0} \frac{∂}{∂s_{0}} , ψ = −\frac{μ}{μ + 1}s_{1} \frac{∂}{∂s_{0}} , ϕ = −\frac{μ − 1}{μ + 1}s_{2} \frac{∂}{∂s_{0}} , ℓ_{j} = \frac{j + 1}{μ + 1}.

S_{α,β}(X, λ) = ∏_{ℓ=α}^{β}(X − (λ + \frac{−(μ−1)ℓ+1}{μ+1})),

T_{α,β}(X, λ) = ∏_{ℓ=α}^{β}(X − (λ + \frac{2−(μ−1)ℓ}{μ+1})).

Démonstration Le principe du calcul s’appuie soit sur la Proposition 2.4, soit sur un calcul pareil à celui de [1], Prop. 2.2, 2.4. Voir aussi [2].

Il est facile de voir qu’un changement des variables,

t_{0} = \frac{s_{0}}{μ} , t_{1} = −\frac{s_{1}}{μ + 1},

transforme les équations dans une écriture plus légère des équations (4.1), (4.2).

(4.1)′.  [∏_{j=0}^{μ−1}(ϑ_{t_{0}} − ℓ_{j} + j − λ) − t_{1}^{μ+1}(\frac{∂}{∂t_{0}} )^{μ}]K_{0}^{λ}(t_{0}, t_{1}) = 0

(4.2)′. [(ϑ_{t_{0}} − ℓ_{k−1} + μ − 1 − λ) ∏_{j=0}^{μ−1}(ϑ_{t_{0}} − ℓ_{k+j} + j − λ) − \frac{t_{1}^{μ+1}}{μ + 1}(\frac{∂}{∂t_{0}} )^{μ}(ϑ_{t_{0}} − k − 1 − λ)]K_{k}^{λ}(t_{0}, t_{1}) = 0

Ici on a noté K_{k}^{λ}(t_{0}, t_{1}), les intégrales de périodes, après le changement de variables ci-dessus (un abus de notation).

En suite, on calcule les exposants caractéristiques des équations (4.1)′, (4.2)′ à leurs points singuliers. D’abord on détermine les points singuliers de ces équations. Dans ce but regardons le symbole principal des opérateurs.

On remarque facilement

le symbole principal de (4.1)’ est(t_{0}^{μ} − 1)σ(\frac{∂}{∂t_{0}} )^{μ}
le symbole principal de (4.2)’ est t_{0}(t_{0}^{μ} − 1)σ(\frac{∂}{∂t_{0}} )^{μ+1}

si on fixe t_{1} à une valeur non nulle convenablement choisie. Donc les points singuliers réguliers de (4.1)’ = \{1, ω, ω^{2}, ⋯, ω^{μ−1}, ∞\}, celles de (4.2)’ = \{0, 1, ω, ω^{2}, ⋯, ω^{μ−1}, ∞\} avec ω = e^{\frac{2πi}{μ}} . Grâce à la remarque 4 i), l’intégrale K_{k,γ}^{λ}(t_{0}, t_{1}) se ramifie hors de {t_{0} = 0} pour γ le cycle évanescent en question.

Proposition 4.2. Les exposants caractéristiques de (4.1)’ au point singulier t_{0} = ω^{j}, 0 ≤ j ≤ μ − 1, (correspondant à un point de la strate D_{M,−}^{(0)}) sont comme suit:

ρ = 0, 1, ⋯, μ − 2, \frac{1}{2} + λ.

Les exposants caractéristiques de (4.2)’ au point singulier t_{0} = ω^{j}, 0 ≤ j ≤ μ − 1, (correspondant à D_{M,−}^{(0)}):

ρ = 0, 1, ⋯, μ − 1, \frac{1}{2} + λ.

Au point t_{0} = 0,

ρ = 0, 1, ⋯, μ − 1, λ + k + 1.

Au point singulier t_{0} = +∞,:

ρ = \frac{μj − (k + 1)}{μ + 1} − λ, 0 ≤ j ≤ μ.

Les exposants sont rangés de sorte que leur somme soit égale à \frac{μ(μ+1)^{2}}{2} (relation de Riemann-Fuchs). Les exposants caractéristiques de (4.3)_{2j,o} au point singulier t_{0} = 0,(correspondant à D̃_{M}^{(0)}) :

ρ = 0, 1, ⋯, 2m, λ + j + \frac{1}{2}.

Les exposants caractéristiques de (4.3)_{2j+1,o} au point singulier t_{0} = 0,(correspondant à D̃_{M}^{(0)} ) :

ρ = 0, 1, ⋯, 2m, λ + j + m + \frac{3}{2}.

Démonstration

La preuve s’appuie sur les calculs formels d’après les équations (4.1)′, (4.2)′, (4.3) et la définition des exposants caractéristiques.

Pour obtenir l’équation relative de (4.2)′ aux points t = t_{0} = ω^{j}, il faut savoir compter les exposants caractéristiques de l’opérateur

(ϑ_{t} + α_{0}) ⋯ (ϑ_{t} + α_{μ}) − ∂_{t}^{μ}(ϑ_{t} + γ)
= t(t^{μ} − 1)∂_{t}^{μ+1} + [(\frac{μ(μ + 1)}{2} + α_{0} + ⋯ + α_{μ})t^{μ} − γ − μ]∂_{t}^{μ} + des termes de bas ordre.

La seconde égalité découle des formules:

(ϑ_{t} + α_{0}) ⋯ (ϑ_{t} + α_{μ}) = t^{μ+1}∂_{t}^{μ+1} + (\frac{μ(μ + 1)}{2} + α_{0} + ⋯ + α_{μ})t^{μ}∂_{t}^{μ} + ⋯

∂_{t}^{μ}(ϑ_{t} + γ) = (ϑ_{t} + γ + μ)∂_{t}^{μ}.

En appliquant la définition 3.1, on obtient l’équation relative

ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − μ + 1)(μ(ρ − μ) + \frac{μ(μ + 1)}{2} + ∑_{j=0}^{μ} α_{j} − γ − μ) = 0.

Afin de s’adapter à (4.2)′, on met α_{j} = \frac{μ}{μ+1}j − λ − \frac{k+1}{μ+1}, 0 ≤ j ≤ μ − 1, α_{μ} = −λ + μ − 1 − \frac{k}{μ+1}, γ = −λ − k − 1. En somme on obtient les exposants caractéristiques énoncés.

D’une façon analogue, on calcule les exposants caractéristiques de (4.1)′ à t = ω^{j} à l’aide de

(ϑ_{t} + α_{0}) ⋯ (ϑ_{t} + α_{μ−1}) − ∂_{t}^{μ}

= (t^{μ} − 1)∂_{t}^{μ} + (\frac{μ(μ − 1)}{2} + α_{0} + ⋯ + α_{μ−1})t^{μ−1}∂_{t}^{μ−1} + des termes de bas ordre.

Dans ce cas l’équation relative est

ρ(ρ − 1) ⋯ (ρ − μ + 2)(μ(ρ − μ + 1) + \frac{μ(μ − 1)}{2} + ∑_{j=0}^{μ−1} α_{j}) = 0.

Tous les autres cas se déduisent immédiatement de (4.3). C.Q.F.D.

L’énoncé suivant découle d’un résultat classique de Picard [12], [11].

Proposition 4.3. i) Soit Δ_{j} le cycle évanescent qui correspond à la valeur critique t = ω^{j} de l’intégrale K_{0}^{λ}(t). Soit Δ_{j+1} un autre cycle tel que ⟨Δ_{j}, Δ_{j+1}⟩ ≠ 0. Alors la matrice de monodromie de Picard-Lefschetz autour du point singulier t_{0} = ω^{j}, s’écrit sous la forme suivante:

(4.4)  [ \begin{matrix}K_{k,Δ_{j}}^{λ}(e^{2πi}(t − t_{0}) + t_{0}) \\ K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(e^{2πi}(t − t_{0}) + t_{0}) \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}e^{2π(λ+ \frac{1}{2} )i} & 0 \\ e^{2π(λ+ \frac{1}{2} )i} & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}K_{k,Δ_{j}}^{λ}(t) \\ K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(t) \end{matrix} ] ,

Pour les intégrales de (4.2)′, (4.3)_{2j,o}, (4.3)_{2j+1,o} la matrice de monodromie autour du point t = 0 s’écrit comme (4.4).

ii) On a comportement asymptotique près de t = ω^{j} comme suit.

Si λ + \frac{1}{2} ∉ Z

(4.5)  K_{k,Δ_{j}}^{λ}(t) = A_{k}(t − t_{0})^{λ+ \frac{1}{2}} (1 + hol(t − t_{0})),
K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(t) = A_{k}(t − t_{0})^{λ+ \frac{1}{2}} (1 + hol(t − t_{0})) + hol(t − t_{0}),

avec A_{k} ≠ 0.

Si λ + \frac{1}{2} ∈ Z, on a le comportement asymptotique (4.5) pour K_{k,Δ_{j}}^{λ}(t), et

(4.6)  K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(t) = A_{k}(t − t_{0})^{λ+ \frac{1}{2}} log(t − t_{0})(1 + hol(t − t_{0})) + hol(t − t_{0}).

iii) Pour μ pair, on a comportement asymptotique près de t = 0 comme suit.

Si k pair et λ + \frac{1}{2} ∉ Z,

(4.7)  K_{k,Δ_{j}}^{λ}(t) = A_{k}t^{λ+ \frac{1+k}{2}} (1 + hol(t)),
K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(t) = A_{k}t^{λ+ \frac{1+k}{2}} (1 + hol(t)) + hol(t).

Si k impair et λ + \frac{1}{2} ∉ Z,

(4.8)  K_{k,Δ_{j}}^{λ}(t) = A_{k}t^{λ+ \frac{μ+k}{2}} (1 + hol(t)),
K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(t) = A_{k}t^{λ+ \frac{μ+k}{2}} (1 + hol(t)) + hol(t).

Dans les cas où λ + \frac{1}{2} ∈ Z, il faut modifier le développement asymptotique de K_{k,Δ_{j+1}}^{λ}(t) comme dans (4.6).

5. Démonstration du Théorème 1.2

Pour démontrer le Théorème 1.2, il faut déjà quelques lemmes élémentaires. Les notations sont celles des chapitres précédents. Lemme 5.1. Soient x^{(2)}, ⋯, x^{(L)} les points non-critiques de l’application x → F (x, s′). Alors l’égalité suivante a lieu entre les deux intégrales

I_{P_{K,m}(x,y),Γ}(s) = ((\frac{∂}{∂s_{0}} )^{−1} \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(2)}, s′)})^{k_{2}} ⋯ ((\frac{∂}{∂s_{0}} )^{−1} \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(L)}, s′)})^{k_{L}}I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} y^{m},Γ}(s).

Ici

\frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)} = \frac{1}{| grad_{s′}f_{1}(x^{(i)}, s′) |} ∑_{j=1}^{μ−1} \frac{∂}{∂s_{j}} f_{1}(x^{(i)}, s′)\frac{∂}{∂s_{j}} ,

et

f_{1}(x^{(i)}, s′) = \frac{∂}{∂x}F (x, s′) |_{x=x^{(i)}} .

Où l’action de (\frac{∂}{∂s_{0}} )^{−1} sur la fonction de Dulac définie par l’expansion asymptotique près du point s_{0} = x dans un secteur simplement connexe du plan complexe C_{s_{0}} est donnée d’une façon suivante:

(\frac{∂}{∂s_{0}} )^{−1}[(s_{0} − x)^{ρ}(∑_{j≥0} a_{j}(s_{0} − x)^{j})] = (s_{0} − x)^{ρ}(∑_{j≥0} \frac{a_{j}}{ρ + j + 1}(s_{0} − x)^{j+1}).

Démonstration

On a le développement analogue à (2.3)′ en (x − x^{(i)}),

F (x, s′) = (x − x^{(i)})^{μ+1} + ∑_{ℓ=1}^{μ} f_{ℓ}(x^{(i)}, s′)(x − x^{(i)})^{ℓ} + F (x^{(i)}, s′).

De celui-ci, il est facile de voir

\frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)} ∫_{Γ}(x − x^{(1)})^{k_{1}}(F (x, s′) + s_{0})^{λ}dx = \frac{∂}{∂s_{0}} ∫_{Γ}(x − x^{(i)})(x − x^{(1)})^{k_{1}}(F (x, s′) + s_{0})^{λ}dx, i = 2, 3, · · · .

De ce dernier, on déduit la relation désirée. C.Q.F.D.

Lemme 5.2. Si l’intégrale I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} y^{m},Γ}(s) admet un développement asymptotique près du point de ramification s_{0} = s_{0}(s′), (s′, s_{0}(s′)) ∈ D_{M}^{(0)},

I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} y^{m},Γ}(s) ∼ ∑_{j≥0} a_{j}^{(k_{1})}(s′)(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ+j} + ∑_{j≥0} a_{j,1}^{(k_{1})}(s′)(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ+j} log(s_{0} − s_{0}(s′)),

avec a_{0}^{(k_{1})}(s′)·a_{0,1}^{(k_{1})}(s′) ≠ 0 sur la strate D_{M,−}^{(0)} (ou D_{M,1}^{(0)} ), alors développement asymptotique ci-dessous a lieu:

I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} (x−x^{(i)})y^{m},Γ}(s) ∼ ∑_{j≥0} a_{i,j}^{(k_{1})}(s′)(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ+j} + ∑_{j≥0} a_{i,j,1}^{(k_{1})}(s′)(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ+j} log(s_{0} − s_{0}(s′)),

avec a_{i,0}^{(k_{1})}(s′) · a_{i,0,1}^{(k_{1})}(s′) ≠ 0, sur la strate D_{M,−}^{(0)} (ou D̃_{M}^{(0)}).

Démonstration

D’après le Lemme 5.1, on a développement asymptotique suivant:

((\frac{∂}{∂s_{0}} )^{−1} \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)})I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} y^{m},Γ}(s)

∼ a_{0}^{(k_{1})}(s′)(−\frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)}s_{0}(s′))(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ} + a_{0,1}^{(k_{1})}(s′)(−\frac{∂s_{0}(s′)}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)})(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ} log(s_{0} − s_{0}(s′))+

+\frac{1}{ρ + 1}(\frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)}a_{0}^{(k_{1})}(s′))(s_{0} − s_{0}(s′))^{ρ+1} + · · · .

Donc l’énoncé désiré est réduit à l’inégalité,

\frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)}s_{0}(s′) ≠ 0.

Il est facile de voir que \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)},s′)}, considéré comme un champ de vecteur dans C_{s}^{μ}, ne peut pas être un champ de vecteurs logarithmique i.e. \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)},s′)} ∉ Der_{C_{s}^{μ}}(log D). Cela découle du fait que les éléments de Der_{C_{s}^{μ}}(log D) sont à coefficients polynomiaux quasihomogènes (voir la Proposition 2.2, le lemme 2.4) avec des poids quasihomogènes positifs, par contre \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)},s′)} est à coefficients constants de poids negatif. C’est- à -dire

que le vecteur normal à la surface s_{0} = s_{0}(s′) (i.e. D_{M}^{(0)} ) dans C_{s}^{μ} n’est pas normal à \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)},s′)}. On en déduit que

\frac{1}{| grad_{s′}f_{1}(x^{(i)}, s′) |} < (0, f_{1}(x^{(i)}, s′)), (1, grad_{s′}s_{0}(s′)) >= \frac{∂}{∂f_{1}(x^{(i)}, s′)}s_{0}(s′) ≠ 0.

C.Q.F.D.

En répétant l’argument du Lemme 5.2, pour chaque point de ramification (s′, s_{0}(s′)) ∈ D_{M}^{(0)}, on obtient l’énoncé suivant. On notera dans la suite la strate D_{M}^{(0)} ∩ {(s′, s_{0}); s_{0} = −F (x^{(1)}, s′)} par D_{M,1}^{(0)}. C’est une

strate analogue à D̃_{M}^{(0)}.

Proposition 5.3. La multiplicité des zéros de I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} y^{m},Γ} (s) ≢ 0 est égale à celle des zéros de l’intégrale I_{P_{K,m}(x,y),Γ}(s) à chaque point de ramification de la strate D_{M,−}^{(0)} ou D_{M,1}^{(0)}, si x^{(2)}, ⋯, x^{(L)} ne sont pas des points critiques de F (x, s′).

Pour savoir le comportement asymptotique de l’intégrale I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} ···(x−x^{(L)})^{k_{L}} y^{m},Γ}(s) près de la strate D_{M}^{(0)}, il suffit de savoir celui de I_{(x−x^{(1)})^{k_{1}} y^{m},Γ}(s).

5.2. Démonstration du Théorème 1.2

Pour estimer la multiplicité des zéros de I_{P_{K,m}(x,y),Γ}(s), d’abord on estime les exposants caractéristiques aux points de ramification de la strate D_{M}^{(0)}, à l’aide de la Proposition 4.2 et de la Proposition 5.3. Dans le cas où I_{P_{K,m}(x,y),Γ}(s) est holomorpe à s_{0} = s_{0}^{(j)} pour un certain j, notre argument d’estimation ci-dessous est toujours valable. Ici on considère le cas du nombre maximal (= μ) de points de ramification.

La contribution maximale ρ des exposants caractéristiques à chaque point est classifiée comme suit.

I) cas μ pair

Au point s_{0} = s_{0}^{(1)}, correspondant au point de la strate D_{M,1}^{(0)},

si k_{1} pair ρ = \frac{m}{ν} + \frac{k_{1}+1}{2}.

si k_{1} impair ρ = \frac{m}{ν} + \frac{k_{1}+μ}{2}.

A chaque point s_{0} = s_{0}^{(i)}, i = 2, ⋯ μ, correspondant au point de la strate D_{M,−}^{(0)}, ρ = \frac{m}{ν} + \frac{1}{2}.

II) cas μ impair

Dans ce cas là, on ne sait que des exposants caractéristiques au point de la strate D_{M,1}^{(0)}, dont le maximum est toujours égal à ρ = \frac{m}{ν} + \frac{1}{2}.

D’après la Définition 1.1 et la Proposition 5.3, la multiplicité N des zéros de l’intégrale peut être éstimé par 2ρ si ρ ∈ Z et par [ρ] + 1 si ρ ∉ Z.

De la liste ci-dessus se déduit immédiatement l’énoncé i), ii) du Théorème 1.2.

Quant à l’énoncé iii), on utilise le fait que I_{(x−x^{(1)})^{k}y^{m},Γ}(s) satisfait une équation différentielle aux singularités régulières de degré μ + 1, P_{x^{(1)}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s}) (voir la Proposition 2.4, ii)). Cela veut dire que les exposants caractéristiques de P_{x^{(1)}}^{(k)}(s, \frac{∂}{∂s}) au point hors discriminant D doivent être \{0, 1, ⋯, μ\} où la solution I_{(x−x^{(1)})^{k}y^{m},Γ}(s) est holomorphe. D’autre part, le lemme 5.1 implique que l’exposant caractéristique de I_{P_{K,m}(x,y),Γ}(s) est supérieur d’au plus k_{2} + ⋯ + k_{L} ≤ K à celui de I_{(x−x^{(1)})^{k}y^{m},Γ}(s). D’où vient l’énoncé désiré. C.Q.F.D.

6. La déformation verselle des singularités isolées simples d’hypersurface

Dans cette section, on regarde la déformation verselle des singularités isolées simples d’hypersurface:

(6.1)  \begin{matrix}A_{μ} : H(x, y; s) = x^{μ+1} + y^{2} + ∑_{i=0}^{μ−1} s_{i0}x^{i}, \\ D_{μ} : H(x, y; s) = x^{μ−1} + xy^{2} + ∑_{i=1}^{μ−2} s_{io}x^{i−1} + s_{01}y + s_{00}, \\ E_{6} : H(x, y; s) = x^{4} + y^{3} + s_{21}x^{2}y + s_{11}xy + s_{20}x^{2} + s_{10}x + s_{01}y + s_{00}, \\ E_{7} : H(x, y; s) = x^{3} + xy^{3} + s_{21}x^{2}y + s_{11}xy + s_{20}x^{2} + s_{02}y^{2} + s_{10}x + s_{01}y + s_{00}, \\ E_{8} : H(x, y; s) = x^{5} + y^{3} + s_{31}x^{3}y + s_{21}x^{2}y + s_{11}xy + s_{01}y + s_{30}x^{3} + s_{20}x^{2} + s_{10}x + s_{00}. \end{matrix}

Nous définissons un ensemble fini I ⊂ N^{2} associé à chaque singularité ci-dessus qui satisfait les conditions suivantes:

1. | I |= μ = le nombre de Milnor de la singularité.

2. A chaque élément (ν_{1}, ν_{2}) ∈ I correspond un monôme x^{ν_{1}}y^{ν_{2}} qui est un élément de la base de l’espace

C[x, y]/(\frac{∂}{∂x}H(x, y; 0)), \frac{∂}{∂y} H(x, y; 0)).

On remarque que toutes les singularités de la liste (6.1) sont quasihomogènes. C’est à dire, il existe (ρ_{1}, ρ_{2}) ∈ Q_{>0}^{2} tel que

(ρ_{1}x\frac{∂}{∂x} + ρ_{2}y \frac{∂}{∂y})H(x, y; 0) = H(x, y; 0).

On définit pour α ∈ N^{μ} le poids quasihomogènes d’un monôme s^{α}:

(6.2)  weight ( ∏_{(ν_{1},ν_{2})∈I} s_{ν_{1},ν_{2}}^{α_{ν_{1},ν_{2}}} ) = ⟨w, α⟩ = ∑_{(ν_{1},ν_{2})∈I} w_{ν_{1},ν_{2}}α_{ν_{1}ν_{2}}

où w_{ν_{1}ν_{2}} = 1 − (ρ_{1}ν_{1} + ρ_{2}ν_{2}). On définit pour chaque (ν_{1}, ν_{2}) ∈ I un réseau d’entiers L(ν_{1}, ν_{2}) selon Noumi [9]. Dans les cas de A_{μ}, E_{6}, E_{8} :

L(ν_{1}, ν_{2}) = ((ν_{1}, ν_{2}) + L) ∩ N^{2}

où L = Z(\frac{1}{ρ_{1}} , 0) + Z(0, \frac{1}{ρ_{1}} ) ⊂ Z^{2}. Soit

(6.3) C_{ν_{1}ν_{2}}(β_{1}, β_{2}) = (−1)^{ρ_{1}(β_{1}−ν_{1})+ρ_{2}(β_{2}−ν_{2})} \frac{Γ(ρ_{1}(β_{1} + 1))Γ(ρ_{2}(β_{2} + 1))}{Γ(ρ_{1}(ν_{1} + 1))Γ(ρ_{2}(ν_{2} + 1))}  si  (β_{1}, β_{2}) ∈ L(ν_{1}, ν_{2})
= 0  si  (β_{1}, β_{2}) ∉ L(ν_{1}, ν_{2}).

Dans les cas de D_{μ}, E_{7} : L = Z(\frac{1}{ρ_{1}} , 0) + Z(1, \frac{1}{ρ_{2}} ), L(ν_{1}, ν_{2}) = ((ν_{1}, ν_{2}) + L) ∩ N^{2}. Soit

(6.4) C_{ν_{1}ν_{2}}(β_{1}, β_{2})

= (−1)^{ρ_{1}(β_{1}−ν_{1})+ρ_{2}(1−ρ_{1})(β_{2}−ν_{2})} \frac{Γ(ρ_{1}[β_{1} + 1 − ρ_{2}(β_{2} + 1)])Γ(ρ_{2}(β_{2} + 1))}{Γ(ρ_{1}[ν_{1} + 1 − ρ_{2}(ν_{2} + 1)])Γ(ρ_{2}(ν_{2} + 1))} si (β_{1}, β_{2}) ∈ L(ν_{1}, ν_{2})

= 0  si  (β_{1}, β_{2}) ∉ L(ν_{1}, ν_{2}).

Alors on peut introduire un système des “coordonnées plates” dans l’espace de paramètres de déformation C_{s}^{μ} (ou bien R^{μ}) [9]. Notamment,

(6.5)  t_{0} := t_{00} = s_{00} + ∑_{⟨w,α⟩=1} C_{00}(ℓ(α))\frac{s^{α}}{α!}

(6.6)  t_{ν_{1},ν_{2}} = ∑_{⟨w,α⟩=1−(ρ_{1}ν_{1}+ρ_{2}ν_{2})} C_{ν_{1}ν_{2}}(ℓ(α))\frac{s^{α}}{α!}  pour  (ν_{1}, ν_{2}) ≠ (0, 0)

où la fonction linéaire ℓ(α) est définie comme suit:

ℓ(α) = (∑_{i=0}^{μ−1} i α_{i0}, ν_{2})  pour  A_{μ}

ℓ(α) = ( ∑_{(ν_{1},ν_{2})≠(0,0)} ν_{1}α_{ν_{1}ν_{2}}, ∑_{(ν_{1},ν_{2})≠(0,0)} ν_{2}α_{ν_{1},ν_{2}} )  pour  D_{μ}, E_{μ}.

Le changement de coordonées s → t est un difféomorphisme. Desormais nous nous serverons de la notation t = (t_{0}, t′), où t′ = (t_{ν_{1}ν_{2}}), (ν_{1}, ν_{2}) ∈ I \ {0, 0}.

Soit H(x, y; s) un des polynômes de la liste (6.1). On prend un cycle évanescent γ_{s} ⊂ {(x, y) ∈ R^{2} : H(x, y; s) = 0}. Alors on peut définir l’intégrale d’Abel y associée :

I_{x^{k_{1}} y^{k_{2}} ,γ_{s}}(s) = ∫_{γ_{s}} x^{k_{1}}y^{k_{2}} \frac{dx ∧ dy}{dF} ,

et un vecteur

K(s) = (I_{x^{k_{1}} y^{k_{2}}} (s))_{(k_{1},k_{2})∈I}.

L’énoncé suivant met à jour l’avantage d’écrire des coordinnées comme (6.5), (6.6) dans nos études.

Théorème 6.1. Si on définit une base des intégrales d’Abel J(t) = (J_{ν_{1}ν_{2}}(t))_{(ν_{1},ν_{2})∈I} comme suit:

J_{ν_{1}ν_{2}}(t) = ∫_{γ_{s(t)}} \frac{∂}{∂t_{ν_{1}ν_{2}}} F (x, y, s(t))\frac{dx ∧ dy}{dF} ,

alors les énoncés suivants ont lieu.

1. Il existe une matrice P (t′) ∈ GL(μ, C[t′]) telle que:

(6.7)  K(s(t)) = P (t′) · J(t)

où P (t′) = \frac{∂s_{ν}}{∂tν̃} pour les indices ν̃, ν ∈ I.

2. Les intégrales satisfont un système d’équations différentielles:

(6.8)  S̃(t)\frac{∂}{∂t_{0}} J(t) = Λ · J(t)

où Λ = diag(w_{ν_{1}ν_{2}})_{(ν_{1},ν_{2})∈I}. La matrice S̃(t) ∈ End(C^{μ}) ⊗ C[t] satisfait les conditions ci-dessous:

\frac{∂}{∂t_{0}} S̃(t) = id_{μ},

(6.9)  det S̃(t(s)) = Δ_{μ}(s)

où Δ_{μ}(s) est le discriminant de la déformation verselle.

On note D := {s ∈ C^{μ} : Δ_{μ}(s) = 0}. En reprenant les notations depuis le début du §6, on formule l’énoncé central de la section comme suit.

Théorème 6.2. Soit γ_{s} ⊂ {(x, y) ∈ R^{2} : H(x, y; s) = 0} un cycle évanescent de la déformation verselle de la liste (6.1). Alors il existe un ensemble ouvert dense U ⊂ R^{μ} \ D tel que la multiplicité des zéros N de l’intégrale d’Abel (1.1.3)’ non-nulle

I_{P,Q,γ_{s}}(s) := ∫_{γ_{s}} P (x, y)dx + Q(x, y)dy

doit satisfaire à chaque point s ∈ U l’inégalité suivante:

N ≤ μ(1 + [ρ_{1}(K − 1) + ρ_{2}(K − 1)]) − 1.

On va s’intéresser à la dérivée de l’intégrale (1.1.3)’

\frac{∂}{∂s_{0}} I_{P,Q,γ_{s}}(s) = ∫_{γ_{s}} \frac{d(P (x, y)dx + Q(x, y)dy)}{dF} = ∫_{γ_{s}} \frac{(−P_{y}(x, y) + Q_{x}(x, y))dx ∧ dy}{dF} ,

que l’on note par

I_{R,γ_{s}}(s) := ∑_{0≤k_{1}+k_{2}≤K−1} ∫_{γ_{s}} R_{k_{1}k_{2}}x^{k_{1}}y^{k_{2}} \frac{dx ∧ dy}{dF} .

On montre que la multiplicité des zéros de l’intégrale I_{R,γ_{s}}(s) ne dépasse pas μ(1+[ρ_{1}(K −1)+ρ_{2}(K −1)])−2.

Il est facile de voir qu’il existe des polynômes P_{ν_{1},ν_{2}}^{(k)}(•) de degré au plus v_{0} := [ρ_{1}(K − 1) + ρ_{2}(K − 1)] pour un vecteur quelconque (R_{k_{1}k_{2}}) ∈ R^{\frac{(K+1)K}{2}} :

∑_{0≤k_{1}+k_{2}≤K−1} R_{k_{1}k_{2}}I_{x^{k_{1}} y^{k_{2}}} (s(t)) = ∑_{(ν_{1},ν_{2})∈I} P_{ν_{1},ν_{2}}^{(k)}(t_{0} − t̃_{0}) · J_{ν_{1}ν_{2}}(t),

avec t̃_{0} ∈ C^{μ} \ D.

Notons le vecteur de taille μ(v_{0} + 1) :

J̃(t) =^{t} (J_{00}(t), …, J_{μ_{1}μ_{2}}(t), (t_{0} − t̃_{0})J_{00}(t), …, (t_{0} − t̃_{0})J_{μ_{1}μ_{2}}(t), …
…, (t_{0} − t̃_{0})^{v_{0}}J_{00}(t), …, (t_{0} − t̃_{0})^{v_{0}}J_{μ_{1}μ_{2}}(t)).

Ici (μ_{1}, μ_{2}) ∈ I tel que μ_{1} + μ_{2} = max_{(ν_{1},ν_{2})∈I} ν_{1} + ν_{2}. On note M = μ(v_{0} + 1). Notre théorème 6.2 se déduit du lemme suivant.

Lemme 6.3. Il existe des polynômes δ^{(i)}(t), i ∈ N de degré \frac{M(M+1)}{2}(μ!)^{2} tels que pour (t̃_{0}, t′) ∈ R^{μ} \ D, qui se trouve hors des zéros de δ^{(i)}(t), l’énoncé suivant soit valide. Si un vecteur r⃗ ∈ R^{M} \ {0} satisfait la relation suivante,

(6.10)  ⟨r⃗, \frac{1}{ℓ!} (\frac{d}{dt_{0}} )^{ℓ} J̃(t̃_{0}, t′)⟩ = 0,

pour 0 ≤ ℓ ≤ M − 1 alors (6.10) est valable pour ℓ ≥ M = μ(v_{0} + 1) aussi.

L’ensemble {t ∈ R^{μ}; δ^{(i)}(t) ≠ 0, i ∈ N} est un ouvert dense de R^{μ} \ D.

Démonstration D’abord on établit la relation entre J̃(t̃_{0}, t′) et (\frac{∂}{∂t_{0}} )^{ℓ} J̃(t̃_{0}, t′). Dans ce but, on introduit J(t) =^{t} (J_{00}(t), …, J_{μ_{1}μ_{2}}(t)). Notons le poids quasihomogène d’une forme x^{ν_{1}}y^{ν_{2}}dxdy/dF par λ_{ν_{1}ν_{2}} = ρ_{1}(ν_{1} + 1) + ρ_{2}(ν_{2} + 1) − 1. D’après (6.8) les coefficients de développement de Taylor de J(t) s’écrivent sous la forme suivante:

(6.11)  (\frac{∂}{∂t_{0}} )^{ℓ} J(t̃_{0}, t′) = S̃^{−ℓ}(t̃_{0}, t′)(Λ − (ℓ − 1)id_{μ}) … (Λ − id)Λ·J(t̃_{0}, t′)

où Λ = diag(λ_{00}, …, λ_{μ_{1}μ_{2}}). A l’aide de la formule (6.11) on conclut facilement la relation suivante:

(6.12)  (\frac{∂}{∂t_{0}} )^{ℓ} J̃(t̃_{0}, t′) = Σ^{(ℓ)} · J̃(t̃_{0}, t′).

Ici Σ^{(ℓ)} est une matrice M × M, dont la composante σ_{ij}^{(ℓ)}, ∈ End(C^{μ}) ⊗ C[t] (i, j) ∈ [0, v_{0}]^{2} est detérminée comme suit:

(6.13)  σ_{ij}^{(ℓ)} = \{ \begin{matrix}S̃^{−ℓ}Λ(Λ − id_{μ}) … (Λ − (ℓ − 1)id_{μ}) & 0 ≤ i = j ≤ v_{0} \\ iℓS̃^{−(ℓ+j−i)}Λ(Λ − id_{μ}) … (Λ − (ℓ + j − i)id_{μ}) & 0 ≤ j < i ≤ v_{0} \\ 0 & i < j où ℓ + j − i < 0. \end{matrix}

C’est-à-dire:

Σ^{(ℓ)} = ( \begin{matrix}σ_{00}^{(ℓ)} & σ_{01}^{(ℓ)} & ⋯ & σ_{0v_{0}}^{(ℓ)} \\ σ_{10}^{(ℓ)} & σ_{11}^{(ℓ)} & ⋯ & σ_{1v_{0}}^{(ℓ)} \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ σ_{v_{0}0}^{(ℓ} & σ_{v_{0}1}^{(ℓ)} & ⋯ & σ_{v_{0}v_{0}}^{(ℓ)} \end{matrix} ) .

A l’aide de la matrice Σ^{(ℓ)}, la condition (6.10) se transforme en l’équation suivante:

(6.14)  ⟨r⃗, Σ^{(ℓ)} · J̃(t̃_{0}, t′)⟩ = 0

pour 0 ≤ ℓ ≤ μ − 1. Puisque (t̃_{0}, t′) ∉ D, les valeurs propres de la matrice S̃(t̃_{0}, t′) sont sans multiplicité. Par consequence, S̃(t̃_{0}, t′) est diagonalisable à l’aide d’une matrice T à coefficients de fonctions semi-algébriques. C’est-à-dire:

(6.15)  T^{−1}S̃(t̃_{0}, t′)T = diag(t̃_{0} − τ_{1}(t′), t̃_{0} − τ_{2}(t′), …, t̃_{0} − τ_{μ}(t′)),

où τ_{i}(t′) ≠ τ_{j}(t′) pour i ≠ j.

En tenant compte de (6.12), (6.13), (6.14) on peut voir que l’existence d’une collection de nombres,dépendant de (t̃_{0}, t′, λ_{00}, ⋯, λ_{μ_{1}μ_{2}}), d_{M}^{(i)}(t̃_{0}, t′), d_{M−1}^{(i)}(t̃_{0}, t′), …, d_{0}^{(i)}(t̃_{0}, t′), i ≥ 0, satisfaisant (6.16) ci-dessous est une condition suffisante pour que (6.10) pour ℓ ≥ μ − 1 entraîne (6.10) pour ℓ ≥ μ aussi:

(6.16) d_{M}^{(i)}(t̃_{0}, t′)\frac{S̃^{−(M−1)}}{(M + i)!} (Λ − (M + i − 1)id_{μ}) … (Λ − i · id_{μ}) + \frac{d_{M−1}^{(i)}(t̃_{0}, t′)}{(M + i − 1)!}S̃^{−M−i+1}(Λ − (μ + i − 2)id_{μ}) …

… (Λ − i · id_{μ}) + … + d_{0}^{(i)}(t̃_{0}, t′) · \frac{S̃^{−i}}{i!} = 0,

avec d_{M}^{(i)}(t̃_{0}, t′) ≠ 0. Vu (6.15), la relation (6.16) est équivalente à l’équation suivante:

∑_{ℓ=1}^{M} d_{ℓ}^{(0)} \frac{(t̃_{0} − τ_{ν}(t′))^{−ℓ}}{ℓ!} · ∏_{b=0}^{ℓ−1}(λ_{ν} − b) + d_{0}^{(0)} = 0, ν ∈ I,

∑_{ℓ=0}^{M} \frac{d_{ℓ}^{(i)}(t̃_{0} − τ_{ν}(t′))^{−ℓ}}{(ℓ + i)!} ∏_{b=i}^{ℓ+i−1}(λ_{ν} − b) = 0

Celui-là est, à son tour, équivalente à l’équation ci-dessous:

Σ̃^{(i)} · d⃗^{(i)} = 0, i ∈ N

où Σ̃^{(i)} =

( \begin{matrix}\frac{1}{(M+i)!} ∏_{b=i}^{M+i−1}(λ_{00}−b), & \frac{(t̃_{0}−τ_{1})}{(M+i−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−2}(λ_{00}−b), & ⋯, \\ \frac{1}{(M+i)!} ∏_{b=i}^{M+i−1}(λ_{01}−b), & \frac{(t̃_{0}−τ_{2})}{(M+i−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−2}(λ_{01}−b), & ⋯, \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{(M+1)!} ∏_{b=i}^{M+i−1}(λ_{μ_{1}μ_{2}} −b) & \frac{(t̃_{0}−τμ)}{(M+i−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−2}(λ_{μ_{1}μ_{2}} −b) & ⋯, \\ \frac{1}{(M+i−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−2}(λ_{00}−b) & \frac{(t̃_{0}−τ_{1})}{(M+i−2)!} ∏_{b=i}^{M+i−3}(λ_{00}−b), & ⋯ \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{(M+i−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−2}(λ_{μ_{1}μ_{2}} −b) & \frac{(t̃_{0}−τμ)}{(M+i−2)!} ∏_{b=i}^{M+i−3}(λ_{μ_{1}μ_{2}} −b), & ⋯, \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{(M+i−v_{0})!} ∏_{b=i}^{M+i−v_{0}−1}(λ_{00}−b) & \frac{(t̃_{0}−τ_{1})}{(M+i−v_{0}−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−v_{0}−2}(λ_{00}−b), & ··· , \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{1}{(M+i−v_{0})!} ∏_{b=i}^{M+i−v_{0}−1}(λ_{μ_{1}μ_{2}} −b) & \frac{(t̃_{0}−τμ)}{(M+i−v_{0}−1)!} ∏_{b=i}^{M+i−v_{0}−2}(λ_{μ_{1}μ_{2}} −b), & ··· , \end{matrix}

\begin{matrix}⋯, & ⋯, & ⋯, & ⋯ & (λ_{00}−i) \frac{(t̃_{0}−τ_{1})^{M−1}}{(i+1)!} , & \frac{(t̃_{0}−τ_{1})^{M}}{i!} \\ ⋯, & ⋯, & ⋯, & ⋯ & (λ_{01}−i) \frac{(t̃_{0}−τ_{2})^{M−1}}{(i+1)!} , & \frac{(t̃_{0}−τ_{2})^{M}}{i!} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋯, & ⋯, & ⋯, & ⋯ & (λ_{μ_{1},μ_{2}} −i) \frac{(t̃_{0}−τμ)^{M−1}}{(i+1)!} , & \frac{(t̃_{0}−τμ)^{M}}{i!} \\ ⋯ & ⋯, & ⋯, & ⋯, & \frac{(t̃_{0}−τ_{1})^{M−1}}{i!} , & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋯, & ⋯, & ⋯, & ⋯, & \frac{(t̃_{0}−τμ)^{M−1}}{i!} , & 0 \\ ⋮ & ⋮ & & & & ⋮ \\ ··· , & \frac{(t̃_{0}−τ_{1})^{M−v_{0}}}{i!} , & 0, & ⋯, & 0, & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ··· , & \frac{(t̃_{0}−τμ)^{M−v_{0}}}{i!} , & 0, & ⋯, & 0, & 0 \end{matrix} ) .

d⃗^{(i)} = (d_{M}^{(i)}, d_{M−1}^{(i)}, ⋯, d_{0}^{(i)}) ∈ R^{M+1}, M = μ(v_{0} + 1).

Le vecteur d⃗^{(i)} est un normal aux M vecteurs colonnes de la matrice Σ̃^{(i)}. Si on note ces M vecteurs colonnes par v_{1}^{(i)}, ⋯, v_{M}^{(i)}, d’après algèbre linéaire on obtient l’expression suivante:

d⃗^{(i)} = const.v_{2}^{(i)} ∧ ⋯ ∧ v_{M}^{(i)}.

On en déduit que

d_{M}^{(i)}(t̃_{0}(t′), τ_{1}(t′), ⋯, τ_{μ}(t′), λ_{00}, ⋯, λ_{μ_{1}μ_{2}}) = Σ̃^{(i)} ( \begin{matrix}2, 3, ⋯, M + 1 \\ 1, 2, ⋯, M \end{matrix} )

i.e. un mineur M × M de la matrice Σ̃^{(i)}. Si on définit

δ_{M}^{(i)}(t) = ∏_{ρ∈𝔖_{μ},σ∈𝔖_{I}} d_{M}^{(i)}(t_{0}, τ_{ρ(1)}(t′), ⋯, τ_{ρ(μ)}(t′), λ_{σ(00)}, ⋯, λ_{σ(μ_{1}μ_{2})}),

alors δ_{M}^{(i)}(t) est un polynôme de degré \frac{M(M+1)}{2}(μ!)^{2}. Ici 𝔖_{I} indique le groupe de permutation de μ indices de I. On note par

(6.17)  B(t′) = ∏_{1≤i<j≤μ}(τ_{i}(t′) − τ_{j}(t′))^{2}

le polynôme définissant l’ensemble de bifurcation. Alors il existent un entier L ≥ 0 (eventuellement on calcule L = \frac{(M·(μ−1)!^{2})}{2}) et des polynômes Q_{j}^{(i)}(λ_{00}, ⋯, λ_{μ_{1}μ_{2}}), j = 0, ⋯, \frac{M(M+1)}{2μ}(μ!)^{2} − L invariants sous l’action de 𝔖_{I} tels que,

δ_{M}^{(i)}(t) = ( ∑_{\frac{(μ−1)ℓ}{2} +j= \frac{M(M+1)}{2μ} (μ!)^{2}−L} Q_{j}^{(i)}(λ)(Δ_{μ}(t))^{j}(B(t′))^{ℓ})Δ_{μ}(t)^{L}.

Ici Q_{0}^{(i)}(λ) ≠ 0 ou bien Q_{\frac{M(M+1)}{2μ} (μ!)^{2}−L}^{(i)}(λ) ≠ 0.

Evidemment δ_{M}^{(i)}(t̃_{0}, t′) = 0 pour les zéros (t̃_{0}, t′) de d_{M}^{(i)}(t̃_{0}, τ_{1}, ⋯, τ_{μ}, λ_{00}, ⋯, λ_{μ_{1}μ_{2}}) on a donc démontré l’énoncé du lemme pour t = (t_{0}, t′) qui satisfait

Δ_{μ}(s(t)) ≠ 0, δ_{M}^{(i)}(t) ≠ 0, i = 0, 1, 2, · · · .

Au voisinage de t tel que B(t′) assez grand par rapport à Δ_{μ}(s(t)), il est un ouvert dense. Il est aussi un ouvert dense au voisinage de t tel que t_{0} assez grand par rapport à B(t′). En tenant compte de la quasihomogéneité, c’est un emsemble ouvert dense de R^{μ}. Cela démontre le lemme. C.Q.F.D.

Remarque 5. Pour J(t) de (6.11), B.Dubrovin [5] a obtenu l’équation suivante:

[Δ_{μ}(s(t))(\frac{∂}{∂t_{0}} )^{μ} + g_{μ−1}(t)(Λ − id_{μ})(\frac{∂}{∂t_{0}} )^{μ−1} + g_{μ−1}(t)(Λ − id_{μ})(Λ − 2id_{μ})\frac{∂}{∂t_{0}}^{μ−2} + ⋯

⋯ + g_{1}(t)(Λ − id_{μ}) ⋯ (Λ − (μ − 1)id_{μ})\frac{∂}{∂t_{0}} + (Λ − id_{μ}) ⋯ (Λ − μ · id_{μ})]J(t) = 0,

pour la matrice diagonale Λ de (6.8) et des polynômes g_{i}(t) de degré i en t_{0} t.q.

det(S̃(t) + λ) = Δ_{μ}(s(t)) + ∑_{i=0}^{μ−1} λ^{μ−i}g_{i}(t).

C’est une conséquence de l’équation (6.11) après application du théorème de Cayley-Hamilton à la matrice S̃(t). Cela implique que la multiplicité des zéros d’une intégrale

∑_{(ν_{1},ν_{2})∈I} P_{ν_{1},ν_{2}}J_{ν_{1}ν_{2}}(t)

avec P_{ν_{1},ν_{2}} ∈ R ne doit pas dépasser μ hors de l’ensemble critique D = {t; Δ_{μ}(s(t)) = 0}.

En fait, on peut déduire de la démonstration du Thórème 1.2 iii) une estimation analogue pour I_{x^{k}y^{m}dx}(s) .

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Moscow Independent University Bol’shoj Vlasijevskij Pereulok 11, MOSCOW, 121002, Russia E-mails: tanabe@mccme.ru, tanabe@mpim-bonn.mpg.de

Λ : Chemin de mésure V ar_{Λ}arg Figure Figure

Λ Λ Λ′ D^{−} D^{+} t^{(1)} t^{(2)} t^{(3)} t^{(μ)} Re^{iϵ} Re^{\frac{i}{2} ϵ}, t = iℑRe^{iϵ} t = iℑRe^{\frac{i}{2} ϵ}

Stratification logarithmique du discriminant A_{3} M : l’ensemble de Maxwell

rank Der(log D)(p^{(0)}) = 2 rank Der(log D)(p^{(−1)}) = 3 rank Der(log D)(p^{(1)}) = 1 p^{(−1)} ∈ D^{(−1)} p^{(0)} ∈ D^{(0)} p^{(1)} ∈ D^{(1)} D^{(2)}